Diferencia finita

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f ( x + b ) − f ( x + a ) . Las diferencias finitas (o los cocientes de diferencias asociados ) se utilizan a menudo como aproximaciones de derivadas, como en la diferenciación numérica .

El operador de diferencia , comúnmente denotado${\displaystyle \Delta }$( Delta mayúscula ), es el operador que asigna una función f a la función${\displaystyle \Delta [f]}$definido por $${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$$ Una ecuación en diferencias es una ecuación funcional que involucra el operador de diferencias finitas, al igual que una ecuación diferencial involucra derivadas . Existen muchas similitudes entre las ecuaciones en diferencias y las ecuaciones diferenciales. Ciertas relaciones de recurrencia pueden escribirse como ecuaciones en diferencias reemplazando la notación de iteración por diferencias finitas.

En análisis numérico , las diferencias finitas se utilizan ampliamente para aproximar derivadas , y el término "diferencia finita" se usa a menudo como abreviatura de "aproximación de derivadas mediante diferencias finitas". ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Las diferencias finitas fueron introducidas por Brook Taylor en 1715 y también han sido estudiadas como objetos matemáticos abstractos e independientes en obras de George Boole (1860), L.M. Milne-Thomson (1933) y Károly Jordan (1939). Las diferencias finitas remontan sus orígenes a uno de los algoritmos de Jost Bürgi ( c. 1592 ) y a trabajos de otros autores, incluido Isaac Newton . El cálculo formal de diferencias finitas puede considerarse una alternativa al cálculo de infinitesimales . ^{[ 4 ]}

Se suelen considerar tres tipos básicos: diferencias finitas hacia adelante , hacia atrás y centrales . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Adiferencia hacia adelante , denotada${\displaystyle \Delta _{h}[f]}$de una función f es una función definida como $${\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$$

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h puede ser variable o constante. Cuando no se especifica, el valor predeterminado para h es 1; es decir, $${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

ALa diferencia hacia atrás utiliza los valores de la función en x y x − h , en lugar de los valores en x + h y x :$${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).}$$

Finalmente, elLa diferencia central viene dada por $${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{\tfrac {h}{2}}[f](x)+\nabla _{\tfrac {h}{2}}[f](x).}$$

La aproximación de derivadas mediante diferencias finitas desempeña un papel fundamental en los métodos de diferencias finitas para la solución numérica de ecuaciones diferenciales , especialmente en problemas de valores en la frontera .

La derivada de una función f en un punto x se define por el límite$${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

Si h tiene un valor fijo (distinto de cero) en lugar de tender a cero, entonces el lado derecho de la ecuación anterior se escribiría así: $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$$

Por lo tanto, la diferencia hacia adelante dividida por h aproxima la derivada cuando h es pequeño. El error en esta aproximación se puede derivar del teorema de Taylor . Suponiendo que f es dos veces diferenciable, tenemos $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

La misma fórmula se aplica a la diferencia hacia atrás: $${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

Sin embargo, la diferencia central (también llamada centrada) proporciona una aproximación más precisa. Si f es tres veces diferenciable, $${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).}$$

El principal problema del método de diferencias centrales, sin embargo, es que las funciones oscilantes pueden dar como resultado una derivada nula. Si f ( nh ) = 1 para n impar y f ( nh ) = 2 para n par, entonces f '( nh ) = 0 si se calcula con el esquema de diferencias centrales . Esto es particularmente problemático si el dominio de f es discreto. Véase también Derivada simétrica .

Los autores para quienes las diferencias finitas significan aproximaciones de diferencias finitas definen las diferencias hacia adelante/hacia atrás/centrales como los cocientes que se dan en esta sección (en lugar de emplear las definiciones dadas en la sección anterior). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

De forma análoga, se pueden obtener aproximaciones de diferencias finitas para derivadas de orden superior y operadores diferenciales. Por ejemplo, utilizando la fórmula de diferencias centrales anterior para f ′( x + ⁠ h / 2 ⁠ ) y f ′( x − ⁠ h / 2 ⁠ ) y aplicando una fórmula de diferencias centrales para la derivada de f ′ en x , obtenemos la aproximación de diferencias centrales de la segunda derivada de f : 

Central de segundo orden

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}~.}$$

De forma similar, podemos aplicar otras fórmulas de diferenciación de manera recursiva.

Avance de segundo orden

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}~.}$$

Retroceso de segundo orden

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}~.}$$

De manera más general, las diferencias hacia adelante, hacia atrás y centrales de orden n vienen dadas, respectivamente, por:

Adelante

$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{n-j}{\binom {n}{j}}f{\bigl (}x+jh{\bigr )},}$$

Hacia atrás

$${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}f(x-jh),}$$

Central

$${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-j\right)h\right)~.}$$

Estas ecuaciones utilizan coeficientes binomiales después del signo de sumatoria que se muestra como${\textstyle \ {\binom {n}{j}}~.}$Cada fila del triángulo de Pascal proporciona el coeficiente para cada valor de j .

Nótese que la diferencia central, para n impar , tendrá h multiplicada por números no enteros. Esto suele ser un problema porque equivale a cambiar el intervalo de discretización. El problema puede remediarse sustituyendo el promedio de${\textstyle \delta ^{n}[f](x-{\tfrac {h}{2}})}$ y ${\textstyle \delta ^{n}[f](x+{\tfrac {h}{2}}).}$

Las diferencias finitas hacia adelante aplicadas a una secuencia se denominan a veces transformada binomial de la secuencia y poseen varias propiedades combinatorias interesantes. Estas diferencias pueden evaluarse mediante la integral de Nörlund-Rice . La representación integral para este tipo de series resulta interesante, ya que la integral a menudo puede evaluarse mediante expansión asintótica o técnicas de punto de silla ; por el contrario, la serie de diferencias finitas hacia adelante puede ser extremadamente difícil de evaluar numéricamente, debido a que los coeficientes binomiales crecen rápidamente para valores grandes de n .

La relación de estas diferencias de orden superior con las derivadas respectivas es directa, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{(\mathrm {d} x)^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}\!\left(h^{2}\right).}$$

Las diferencias de orden superior también se pueden utilizar para construir mejores aproximaciones. Como se mencionó anteriormente, la diferencia de primer orden aproxima la derivada de primer orden hasta un término de orden h . Sin embargo, la combinación $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$$ aproxima f ′( x ) hasta un término de orden h ² . Esto se puede demostrar expandiendo la expresión anterior en serie de Taylor , o utilizando el cálculo de diferencias finitas, que se explica más adelante.

Si es necesario, la diferencia finita puede centrarse en cualquier punto combinando diferencias hacia adelante, hacia atrás y centrales.

En ocasiones, las derivadas de orden inferior de una función pueden conocerse analíticamente, pero las de orden superior no. En estos casos, las derivadas de orden superior pueden aproximarse mediante diferencias finitas de derivadas de orden inferior, lo que suele ser más preciso y numéricamente más estable que las diferencias finitas de la función f ( x ) misma. Esto se denomina a veces diferenciación seminumérica. ^{[ 5 ]} Por ejemplo, cuando se dispone de la derivada de primer orden f '( x ) pero no de la de segundo orden f ''( x ) , esta última puede aproximarse mediante diferencias centrales de segundo orden de f '( x ) : $${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}~.}$$

Para un polinomio dado de grado n ≥ 1 , expresado en la función P ( x ) , con números reales a ≠ 0 y b y términos de orden inferior (si los hay) marcados como lote : $${\displaystyle P(x)=ax^{n}+\;bx^{n-1}+~l.o.t.}$$

Después de n diferencias por pares, se puede obtener el siguiente resultado, donde h ≠ 0 es un número real que marca la diferencia aritmética: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!}$$

Solo queda el coeficiente del término de orden superior. Como este resultado es constante con respecto a x , cualquier diferencia adicional entre pares tendrá el valor 0 .

Utilizando álgebra lineal, se pueden construir aproximaciones de diferencias finitas que emplean un número arbitrario de puntos a la izquierda y un número (posiblemente diferente) de puntos a la derecha del punto de evaluación, para cualquier orden de derivada. Esto implica resolver un sistema lineal tal que la expansión de Taylor de la suma de esos puntos alrededor del punto de evaluación se aproxime mejor a la expansión de Taylor de la derivada deseada. Dichas fórmulas se pueden representar gráficamente en una cuadrícula hexagonal o romboidal. ^{[ 7 ]} Esto es útil para diferenciar una función en una cuadrícula, donde, a medida que uno se acerca al borde de la cuadrícula, se deben muestrear cada vez menos puntos en un lado. ^{[ 8 ]} Se pueden construir aproximaciones de diferencias finitas para plantillas no estándar (e incluso no enteras) dada una plantilla arbitraria y un orden de derivada deseado. ^{[ 9 ]}

Una aplicación importante de las diferencias finitas se encuentra en el análisis numérico , especialmente en las ecuaciones diferenciales numéricas , cuyo objetivo es la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . La idea consiste en reemplazar las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial por diferencias finitas que las aproximan. Los métodos resultantes se denominan métodos de diferencias finitas .

Las aplicaciones comunes del método de diferencias finitas se encuentran en disciplinas de la ciencia computacional y la ingeniería, como la ingeniería térmica , la mecánica de fluidos , etc.

La serie de Newton consta de los términos de la ecuación de diferencias finitas de Newton , llamada así en honor a Isaac Newton ; en esencia, es la fórmula de interpolación de Gregory-Newton ^{[ 10 ]} (llamada así en honor a Isaac Newton y James Gregory ), publicada por primera vez en sus Principia Mathematica en 1687, ^{[ 11 ] [ 12 ]} es decir, el análogo discreto de la expansión continua de Taylor,

lo cual se cumple para cualquier función polinómica f y para muchas (pero no todas) las funciones analíticas . (No se cumple cuando f es de tipo exponencial) .${\displaystyle \pi }$Esto se ve fácilmente, ya que la función seno se anula en múltiplos enteros de${\displaystyle \pi }$; la serie de Newton correspondiente es idénticamente cero, ya que todas las diferencias finitas son cero en este caso. Sin embargo, claramente, la función seno no es cero.) Aquí, la expresión $${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$$ es el coeficiente binomial y $${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$$ es el " factorial descendente " o "factorial inferior", mientras que el producto vacío ( x ) ₀ se define como  1. En este caso particular, se asume que los cambios en los valores de x , h = 1 son pasos unitarios .

Nótese la correspondencia formal de este resultado con el teorema de Taylor . Históricamente, esto, así como la identidad de Chu-Vandermonde , $${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$$ (que se derivan de ello y corresponden al teorema del binomio ), se incluyen en las observaciones que maduraron hasta convertirse en el sistema del cálculo umbral .

Las expansiones en serie de Newton pueden ser superiores a las expansiones en serie de Taylor cuando se aplican a cantidades discretas como espines cuánticos (véase la transformación de Holstein-Primakoff ), funciones de operadores bosónicos o estadísticas de conteo discretas. ^{[ 13 ]}

Para ilustrar cómo se puede usar la fórmula de Newton en la práctica, consideremos los primeros términos de la duplicación de la secuencia de Fibonacci f = 2, 2, 4, ... Se puede encontrar un polinomio que reproduce estos valores, calculando primero una tabla de diferencias y luego sustituyendo las diferencias que corresponden a x ₀ (subrayado) en la fórmula de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

Para el caso de pasos no uniformes en los valores de x , Newton calcula las diferencias divididas , $${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$$ la serie de productos, $${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$$ y el polinomio resultante es el producto escalar , ^{[ 14 ]}$${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).}$$

En el análisis con números p -ádicos , el teorema de Mahler establece que la suposición de que f es una función polinómica puede debilitarse hasta llegar a la suposición de que f es simplemente continua.

El teorema de Carlson proporciona condiciones necesarias y suficientes para que una serie de Newton sea única, si es que existe. Sin embargo, en general, una serie de Newton no existe.

La serie de Newton, junto con la serie de Stirling y la serie de Selberg , es un caso especial de la serie de diferencias generales , todas las cuales se definen en términos de diferencias finitas progresivas escaladas adecuadamente.

En una forma comprimida y ligeramente más general, y con nodos equidistantes, la fórmula se lee: $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$$

La diferencia hacia adelante puede considerarse como un operador , llamado operador de diferencia , que mapea la función f a Δ _h [ f ] . ^{[ 15 ] [ 16 ]} Este operador equivale a$${\displaystyle \Delta _{h}=\operatorname {T} _{h}-\operatorname {I} ,}$$donde T _h es el operador de desplazamiento con paso h , definido por T _h [ f ]( x ) = f ( x + h ) , e I es el operador identidad .

La diferencia finita de órdenes superiores se puede definir de manera recursiva como Δ ⁿ _h ≡ Δ _h (Δ ^{n − 1} _h ) . Otra definición equivalente es Δ ⁿ _h ≡ [T _h − I] ⁿ .

El operador de diferencia Δ _h es un operador lineal , como tal satisface Δ _h [ α f + β g ]( x ) = α Δ _h [ f ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x ) .

También satisface una regla especial de Leibniz :

${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}{\bigl (}fg{\bigr )}(x)={\bigl (}\operatorname {\Delta } _{h}f(x){\bigr )}g(x+h)+f(x){\bigl (}\operatorname {\Delta } _{h}g(x){\bigr )}~.}$

Reglas similares de Leibniz se aplican a las diferencias hacia atrás y centrales.

Aplicando formalmente la serie de Taylor con respecto a h , se obtiene la ecuación del operador. $${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}=h\operatorname {D} +{\frac {1}{2!}}h^{2}\operatorname {D} ^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}\operatorname {D} ^{3}+\cdots =e^{h\operatorname {D} }-\operatorname {I} ,}$$ donde D denota el operador de derivada continua convencional, que mapea f a su derivada f ′ . La expansión es válida cuando ambos lados actúan sobre funciones analíticas , para h suficientemente pequeño ; en el caso especial en que la serie de derivadas termina (cuando la función operada es un polinomio finito ) la expresión es exacta, para todos los tamaños de paso finitos, h . Por lo tanto T _h = e ^{h D} , e invirtiendo formalmente la exponencial se obtiene $${\displaystyle h\operatorname {D} =\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots ~.}$$ Esta fórmula es válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio.

Incluso para funciones analíticas, no se garantiza la convergencia de la serie de la derecha; puede tratarse de una serie asintótica . Sin embargo, puede utilizarse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, al conservar los dos primeros términos de la serie se obtiene la aproximación de segundo orden de f  ′( x ) mencionada al final de la sección §  Diferencias de orden superior .

Las fórmulas análogas para los operadores de diferencias finitas hacia atrás y centrales son: $${\displaystyle h\operatorname {D} =-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{ and }}\quad h\operatorname {D} =2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right)~.}$$

El cálculo de diferencias finitas está relacionado con el cálculo umbral de combinatoria. Esta correspondencia notablemente sistemática se debe a la identidad de los conmutadores de las cantidades umbrales con sus análogos continuos ( límites h → 0 ).

Un gran número de relaciones diferenciales formales del cálculo estándar que involucran funciones f ( x ) se mapean sistemáticamente a análogos umbrales de diferencias finitas que involucran f ( x T ⁻¹ _h ) .

Por ejemplo, el análogo umbral de un monomio x ⁿ es una generalización del factorial descendente anterior ( símbolo k de Pochhammer ), $${\displaystyle (x)_{n}=\left(x\operatorname {T} _{h}^{-1}\right)^{n}=x\left(x-h\right)\left(x-2h\right)\cdots {\bigl (}x-\left(n-1\right)h{\bigr )},}$$ de modo que $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},}$$ de ahí la fórmula de interpolación de Newton anterior (haciendo coincidir los coeficientes en la expansión de una función arbitraria f ( x ) en tales símbolos), y así sucesivamente.

Por ejemplo, el seno umbral es $${\displaystyle \sin \left(x\operatorname {T} _{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots }$$

Como en el límite continuo , la autofunción de ⁠ Δ _h / h ⁠ también resulta ser una exponencial,

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},}$

y por lo tanto las sumas de Fourier de funciones continuas se mapean fácilmente y fielmente a sumas de Fourier umbrales , es decir, involucrando los mismos coeficientes de Fourier que multiplican estas exponenciales de base umbral. ^{[ 17 ]} Esta exponencial umbral equivale así a la función generadora exponencial de los símbolos de Pochhammer .

Así, por ejemplo, la función delta de Dirac se corresponde con su función umbral, la función seno cardinal.$${\displaystyle \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},}$$ y así sucesivamente. ^{[ 18 ]} Las ecuaciones en diferencias a menudo se pueden resolver con técnicas muy similares a las que se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales .

El operador inverso del operador de diferencia directa, es decir, la integral umbral, es el operador de suma indefinida o antidiferencia.

• Una diferencia finita generalizada se define generalmente como$${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$$donde μ = ( μ ₀ , …, μ _N ) es su vector de coeficientes. Una diferencia infinita es una generalización adicional, donde la suma finita anterior se reemplaza por una serie infinita . Otra forma de generalización es hacer que los coeficientes μ _k dependan del punto x : μ _k = μ _k ( x ) , considerando así la diferencia finita ponderada . También se puede hacer que el paso h dependa del punto x : h = h ( x ) . Tales generalizaciones son útiles para construir diferentes módulos de continuidad .
• La diferencia generalizada puede verse como los anillos de polinomios R [ T _h ] . Conduce a álgebras de diferencias.
• El operador de diferencia se generaliza a la inversión de Möbius sobre un conjunto parcialmente ordenado .
• Como operador de convolución: Mediante el formalismo de las álgebras de incidencia , los operadores de diferencia y otras inversiones de Möbius pueden representarse mediante la convolución con una función en el poset, llamada función de Möbius μ ; para el operador de diferencia, μ es la secuencia (1, −1, 0, 0, 0, …) .

Las diferencias finitas pueden considerarse en más de una variable. Son análogas a las derivadas parciales en varias variables.

Algunas aproximaciones de derivadas parciales son: $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$$

Alternativamente, para aplicaciones en las que el cálculo de f es el paso más costoso, y se deben calcular tanto la primera como la segunda derivada, una fórmula más eficiente para el último caso es: $${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$$ ya que los únicos valores que hay que calcular que no se necesitan ya para las cuatro ecuaciones anteriores son f ( x + h , y + k ) y f ( x − h , y − k ) .

Para funciones con${\displaystyle N}$variables${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}$, evaluando el completo${\displaystyle m}$El tensor de derivada de orden -ésimo mediante diferencias finitas requiere${\displaystyle O(N^{m})}$llamadas de la función${\displaystyle f}$(donde hemos utilizado la notación Big O para denotar el comportamiento de escalamiento asintótico), o${\displaystyle O(N^{m-m'})}$llamadas de la${\displaystyle m'}$derivada de orden -ésimo de la función${\displaystyle f}$(dónde${\displaystyle m'<m}$). Sin embargo, para muchas clases de funciones, la${\displaystyle m}$El tensor de derivadas de orden -ésimo es disperso, o sus bloques fuera de la diagonal pueden tener un rango bajo. En estos casos, pueden existir algoritmos que puedan estimar numéricamente el${\displaystyle m}$tensor de derivada de orden -ésimo usando menos de${\displaystyle O(N^{m-m'})}$llamadas de la${\displaystyle m'}$derivada de orden -ésimo, por ejemplo cuando${\displaystyle m=2}$y${\displaystyle m'=1}$; en este último caso es posible estimar la matriz hessiana utilizando únicamente${\displaystyle O(1)}$gradientes , en lugar de${\displaystyle O(N)}$gradientes como los requeriría el algoritmo de diferencias finitas convencional. ^{[ 23 ]}

• "Cálculo de diferencias finitas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tabla de fórmulas útiles de diferencias finitas generadas con Mathematica
• D. Gleich (2005), Cálculo finito: un tutorial para resolver sumas complicadas
• Derivada segunda discreta a partir de puntos espaciados de forma desigual