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Conmutador

En matemáticas , el conmutador indica hasta qué punto una determinada operación binaria no es conmutativa . Existen diferentes definiciones utilizadas en la teoría de grupos y e...

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En matemáticas , el conmutador indica hasta qué punto una determinada operación binaria no es conmutativa . Existen diferentes definiciones utilizadas en la teoría de grupos y en la teoría de anillos .

teoría de grupos

El conmutador de dos elementos, g y h , de un grupo G , es el elemento

[ g , h ] = g −1 h −1 gh . [ 1 ]

Este elemento es igual a la identidad del grupo si y solo si g y h conmutan (es decir, si y solo si gh = hg ).

El conjunto de todos los conmutadores de un grupo no es, en general, cerrado bajo la operación de grupo, pero el subgrupo de G generado por todos los conmutadores es cerrado y se denomina grupo derivado o subgrupo conmutador de G. Los conmutadores se utilizan para definir grupos nilpotentes y resolubles , así como el mayor grupo cociente abeliano .

La definición de conmutador anterior se utiliza a lo largo de este artículo, pero muchos teóricos de grupos definen el conmutador como

[ g , h ] = ghg ​​−1 h −1 . [ 2 ]

Utilizando la primera definición, esto se puede expresar como [ g −1 , h −1 ] .

Identidades (teoría de grupos)

Las identidades de conmutador son una herramienta importante en la teoría de grupos . [ 3 ] La expresión a x denota el conjugado de a por x , definido como x −1 ax .

  1. incógnitay=incógnita[incógnita,y].{\displaystyle x^{y}=x[x,y].}
  2. [y,incógnita]=[incógnita,y]−1.{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}
  3. [incógnita,zy]=[incógnita,y]⋅[incógnita,z]y{\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}y[incógnitaz,y]=[incógnita,y]z⋅[z,y].{\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}
  4. [incógnita,y−1]=[y,incógnita]y−1{\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}y[incógnita−1,y]=[y,incógnita]incógnita−1.{\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}
  5. [[incógnita,y−1],z]y⋅[[y,z−1],incógnita]z⋅[[z,incógnita−1],y]incógnita=1{\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}y[[incógnita,y],zincógnita]⋅[[z,incógnita],yz]⋅[[y,z],incógnitay]=1.{\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}

La identidad (5) también se conoce como la identidad de Hall-Witt , en honor a Philip Hall y Ernst Witt . Es un análogo en teoría de grupos de la identidad de Jacobi para el conmutador en teoría de anillos (véase la siguiente sección).

Nota: la definición anterior del conjugado de a por x es utilizada por algunos teóricos de grupos. [ 4 ] Muchos otros teóricos de grupos definen el conjugado de a por x como xax −1 . [ 5 ] Esto se escribe a menudoincógnitaa{\displaystyle {}^{x}a}. Se observan identidades similares en estas convenciones.

También se utilizan muchas identidades que son verdaderas módulo ciertos subgrupos. Estas pueden ser particularmente útiles en el estudio de grupos resolubles y grupos nilpotentes . Por ejemplo, en cualquier grupo, las segundas potencias se comportan bien:

(incógnitay)2=incógnita2y2[y,incógnita][[y,incógnita],y].{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}

Si el subgrupo derivado es central, entonces

(incógnitay)norte=incógnitanorteynorte[y,incógnita](norte2).{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}

teoría de anillos

Los anillos a menudo no admiten la división. Por lo tanto, el conmutador de dos elementos a y b de un anillo (o cualquier álgebra asociativa ) se define de manera diferente por

[a,b]=ab−ba.{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}

El conmutador es cero si y solo si a y b conmutan. En álgebra lineal , si dos endomorfismos de un espacio se representan mediante matrices conmutativas en términos de una base, entonces se representan de la misma manera en términos de cualquier base. Al usar el conmutador como corchete de Lie , toda álgebra asociativa puede transformarse en un álgebra de Lie .

El anticonmutador de dos elementos a y b de un anillo o álgebra asociativa se define por

{a,b}=ab+ba.{\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}

A veces[a,b]+{\displaystyle [a,b]_{+}}se utiliza para denotar anticonmutador, mientras que[a,b]−{\displaystyle [a,b]_{-}}luego se usa para conmutador. [ 6 ] El anticonmutador se usa con menos frecuencia, pero puede usarse para definir álgebras de Clifford y álgebras de Jordan y en la derivación de la ecuación de Dirac en física de partículas .

El conmutador de dos operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert es un concepto fundamental en mecánica cuántica , ya que cuantifica la precisión con la que se pueden medir simultáneamente las dos observables descritas por estos operadores. El principio de incertidumbre es, en última instancia, un teorema sobre dichos conmutadores, en virtud de la relación de Robertson-Schrödinger . [ 7 ] En el espacio de fases , los conmutadores equivalentes de productos estrella de funciones se denominan corchetes de Moyal y son completamente isomorfos a las estructuras de conmutadores del espacio de Hilbert mencionadas.

Identidades (teoría de anillos)

El conmutador tiene las siguientes propiedades:

Identidades del álgebra de Lie

  1. [A+B,do]=[A,do]+[B,do]{\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}
  2. [A,A]=0{\displaystyle [A,A]=0}
  3. [A,B]=−[B,A]{\displaystyle [A,B]=-[B,A]}
  4. [A,[B,do]]+[B,[do,A]]+[do,[A,B]]=0{\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}

La relación (3) se llama anticonmutatividad , mientras que (4) es la identidad de Jacobi .

Identidades adicionales

  1. [A,Bdo]=[A,B]do+B[A,do]{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}
  2. [A,BdoD]=[A,B]doD+B[A,do]D+Bdo[A,D]{\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}
  3. [A,BdoDmi]=[A,B]doDmi+B[A,do]Dmi+Bdo[A,D]mi+BdoD[A,mi]{\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}
  4. [AB,do]=A[B,do]+[A,do]B{\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}
  5. [ABdo,D]=AB[do,D]+A[B,D]do+[A,D]Bdo{\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}
  6. [ABdoD,mi]=ABdo[D,mi]+AB[do,mi]D+A[B,mi]doD+[A,mi]BdoD{\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}
  7. [A,B+do]=[A,B]+[A,do]{\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}
  8. [A+B,do+D]=[A,do]+[A,D]+[B,do]+[B,D]{\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}
  9. [AB,doD]=A[B,do]D+[A,do]BD+doA[B,D]+do[A,D]B=A[B,do]D+Ado[B,D]+[A,do]DB+do[A,D]B{\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}
  10. [[A,do],[B,D]]=[[[A,B],do],D]+[[[B,do],D],A]+[[[do,D],A],B]+[[[D,A],B],do]{\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}

Si A es un elemento fijo de un anillo R , la identidad (1) puede interpretarse como una regla de Leibniz para la aplicaciónanuncioA:R→R{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}dado poranuncioA⁡(B)=[A,B]{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}En otras palabras, el mapa ad A define una derivación en el anillo R. Las identidades (2) y (3) representan reglas de Leibniz para más de dos factores y son válidas para cualquier derivación. Las identidades (4) a (6) también pueden interpretarse como reglas de Leibniz. Las identidades (7) y (8) expresan la bilinealidad Z.

De la identidad (9), se obtiene que el conmutador de potencias enteras de elementos de anillo es:

[Anorte,BMETRO]=∑norte=0norte−1∑metro=0METRO−1AnorteBmetro[A,B]BMETRO−metro−1Anorte−norte−1=∑norte=0norte−1∑metro=0METRO−1BmetroAnorte[A,B]Anorte−norte−1BMETRO−metro−1{\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]B^{M-m-1}A^{N-n-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{m}A^{n}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}}

Algunas de las identidades anteriores se pueden extender al anticonmutador utilizando la notación de subíndice ± anterior. [ 8 ] Por ejemplo:

  1. [AB,do]±=A[B,do]−+[A,do]±B{\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}
  2. [AB,doD]±=A[B,do]−D+Ado[B,D]−+[A,do]−DB+do[A,D]±B{\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}
  3. [[A,B],[do,D]]=[[[B,do]+,A]+,D]−[[[B,D]+,A]+,do]+[[[A,D]+,B]+,do]−[[[A,do]+,B]+,D]{\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}
  4. [A,[B,do]±]+[B,[do,A]±]+[do,[A,B]±]=0{\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}
  5. [A,Bdo]±=[A,B]−do+B[A,do]±=[A,B]±do∓B[A,do]−{\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}
  6. [A,Bdo]=[A,B]±do∓B[A,do]±{\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}

Identidades exponenciales

Consideremos un anillo o álgebra en la que la exponencialmiA=exp⁡(A)=1+A+12¡A2+⋯{\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }se puede definir de manera significativa, como un álgebra de Banach o un anillo de series de potencias formales .

En un anillo de este tipo, el lema de Hadamard aplicado a conmutadores anidados da como resultado:miABmi−A = B+[A,B]+12¡[A,[A,B]]+13¡[A,[A,[A,B]]]+⋯ = mianuncioA(B).{\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}(Para la última expresión, véase la derivación adjunta más abajo). Esta fórmula subyace a la expansión de Baker-Campbell-Hausdorff de log(exp( A ) exp( B )).

Una expansión similar expresa el conmutador de grupo de expresiones.miA{\displaystyle e^{A}}(análogo a los elementos de un grupo de Lie ) en términos de una serie de conmutadores anidados (corchetes de Lie), miAmiBmi−Ami−B=exp([A,B]+12¡[A+B,[A,B]]+13¡(12[A,[B,[B,A]]]+[A+B,[A+B,[A,B]]])+⋯).{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}

Anillos graduados y álgebras

Cuando se trabaja con álgebras graduadas , el conmutador suele ser reemplazado por el conmutador graduado , definido en componentes homogéneas como

[ω,η]gramor:=ωη−(−1)grados⁡ωgrados⁡ηηω.{\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}

Derivación adjunta

Especialmente si se trabaja con múltiples conmutadores en un anillo R , otra notación resulta útil. Para un elementoincógnita∈R{\displaystyle x\in R}, definimos la aplicación adjuntaadincógnita:R→R{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}por:

anuncioincógnita⁡(y)=[incógnita,y]=incógnitay−yincógnita.{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}

Esta aplicación es una derivación en el anillo R :

adincógnita(yz) = adincógnita(y)z+yadincógnita(z).{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}

Por la identidad de Jacobi , también es una derivación sobre la operación de conmutación:

adincógnita[y,z] = [adincógnita(y),z]+[y,adincógnita(z)].{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}

Al componer tales mapeos, obtenemos, por ejemplo,anuncioincógnita⁡anuncioy⁡(z)=[incógnita,[y,z]]{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}yanuncioincógnita2(z) = anuncioincógnita(anuncioincógnita(z)) = [incógnita,[incógnita,z]].{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}Podemos considerarad{\displaystyle \mathrm {ad} }sí mismo como un mapeo,ad:R→minorted(R){\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}, dóndeminorted(R){\displaystyle \mathrm {End} (R)}es el anillo de aplicaciones de R en sí mismo con la composición como operación de multiplicación. Entoncesad{\displaystyle \mathrm {ad} }es un homomorfismo de álgebra de Lie que preserva el conmutador:

anuncio[incógnita,y]=[anuncioincógnita,anuncioy].{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}

Por el contrario, no siempre es un homomorfismo de anillos: usualmenteanuncioincógnitay≠anuncioincógnita⁡anuncioy{\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}.

Regla general de Leibniz

La regla general de Leibniz , que expande las derivadas repetidas de un producto, puede escribirse de forma abstracta utilizando la representación adjunta:

incógnitanortey=∑k=0norte(nortek)anuncioincógnitak(y)incógnitanorte−k.{\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}

Reemplazarincógnita{\displaystyle x}mediante el operador de diferenciación∂{\displaystyle \partial }, yy{\displaystyle y}mediante el operador de multiplicaciónmetroF:gramo↦Fgramo{\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}, obtenemosanuncio⁡(∂)(metroF)=metro∂(F){\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}y aplicando ambos lados a una función g , la identidad se convierte en la regla de Leibniz usual para la n- ésima derivada.∂norte(Fgramo){\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}.

Véase también

Notas

Referencias

  • Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª  ed.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
  • Griffiths, David J. (2004), Introducción a la mecánica cuántica (2.ª  ed.), Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X
  • Herstein, IN (1975), Temas de álgebra (2.ª  ed.), Wiley, ISBN 0471010901
  • Lavrov, PM (2014), "Identidades de tipo Jacobi en álgebras y superálgebras", Física Teórica y Matemática , 179 (2): 550– 558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L , doi : 10.1007/s11232-014-0161-2 , S2CID 119175276 
  • Liboff, Richard L. (2003), Introducción a la mecánica cuántica (4.ª  ed.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
  • McKay, Susan (2000), Finite p-groups , Queen Mary Maths Notes, vol.  18, University of London , ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994 
  • McMahon, D. (2008), Teoría cuántica de campos , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8

Lecturas adicionales

  • McKenzie, R.; Snow, J. (2005), "Variedades modulares de congruencia: teoría de conmutadores" , en Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (eds.), Teoría estructural de autómatas, semigrupos y álgebra universal , NATO Science Series II, vol.  207, Springer, pp. 273–329 , doi : 10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN  9781402038174