Lema de tres subgrupos

En matemáticas , más concretamente en teoría de grupos , el lema de los tres subgrupos es un resultado relativo a los conmutadores . Es consecuencia de la identidad homónima de Philip Hall y Ernst Witt .

En lo que sigue, se empleará la siguiente notación:

• Si H y K son subgrupos de un grupo G , el conmutador de H y K , denotado por [ H , K ], se define como el subgrupo de G generado por los conmutadores entre elementos de ambos subgrupos. Si L es un tercer subgrupo, se seguirá la convención de que [ H , K , L ] = [[ H , K ], L ].
• Si x e y son elementos de un grupo G , el conjugado de x por y se denotará por${\displaystyle x^{y}}$.
• Si H es un subgrupo de un grupo G , entonces el centralizador de H en G se denotará por C _G ( H ).

Sean X , Y y Z subgrupos de un grupo G , y supongamos que

${\displaystyle [X,Y,Z]=1}$y${\displaystyle [Y,Z,X]=1.}$

Entonces${\displaystyle [Z,X,Y]=1}$. ^{[ 1 ]}

En términos más generales, para un subgrupo normal${\displaystyle N}$de${\displaystyle G}$, si${\displaystyle [X,Y,Z]\subsetetoq N}$y${\displaystyle [Y,Z,X]\subsetetoq N}$, entonces${\displaystyle [Z,X,Y]\subsetetoq N}$. ^{[ 2 ]}

Identidad de Hall - Witt

Si${\displaystyle x,y,z\in G}$, entonces

${\displaystyle [x,y^{-1},z]^{y}\cdot [y,z^{-1},x]^{z}\cdot [z,x^{-1},y]^{x}=1.}$

Demostración del lema de los tres subgrupos

Dejar${\displaystyle x\in X}$,${\displaystyle y\in Y}$, y${\displaystyle z\in Z}$. Entonces${\displaystyle [x,y^{-1},z]=1=[y,z^{-1},x]}$y, por la identidad Hall - Witt anterior, se deduce que${\displaystyle [z,x^{-1},y]^{x}=1}$y entonces${\displaystyle [z,x^{-1},y]=1}$. Por lo tanto,${\displaystyle [z,x^{-1}]\in \mathbf {C} _ {G}(Y)}$a pesar de${\displaystyle z\in Z}$y${\displaystyle x\in X}$Dado que estos elementos generan${\displaystyle [Z,X]}$, concluimos que${\displaystyle [Z,X]\subseteq \mathbf {C} _{G}(Y)}$y por lo tanto${\displaystyle [Z,X,Y]=1}$.

• Conmutador
• Serie central inferior
• El lema de Grün
• Identidad jacobina

• I. Martin Isaacs (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1.ª  ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.