Asociador

En álgebra abstracta , el término asociador se utiliza de distintas maneras como medida de la no asociatividad de una estructura algebraica . Los asociadores se estudian habitualmente como sistemas triples .

Para un anillo o álgebra no asociativa R , el asociador es la función multilineal dada por ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]:R\times R\times R\to R}$

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz).}$

Al igual que el conmutador

${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

mide el grado de no conmutatividad , el asociador mide el grado de no asociatividad de R. Para un anillo asociativo o álgebra, el asociador es idénticamente cero.

El asociador en cualquier anillo obedece a la identidad

${\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz].}$

El asociador es alternante precisamente cuando R es un anillo alternativo .

El asociador es simétrico en sus dos argumentos más a la derecha cuando R es un álgebra anterior a Lie .

El núcleo es el conjunto de elementos que se asocian con todos los demás: es decir, los n en R tales que

${\displaystyle [n,R,R]=[R,n,R]=[R,R,n]=\{0\}\ .}$

El núcleo es un subanillo asociativo de R.

Un cuasigrupo Q es un conjunto con una operación binaria tal que para cada a , b en Q , las ecuaciones y tienen soluciones únicas x , y en Q . En un cuasigrupo Q , el asociador es la función definida por la ecuación ${\displaystyle \cdot :Q\times Q\to Q}$${\displaystyle a\cdot x=b}$${\displaystyle y\cdot a=b}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot ):Q\times Q\times Q\to Q}$

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=(a\cdot (b\cdot c))\cdot (a,b,c)}$

para todos a , b , c en Q . Al igual que con su análogo de teoría de anillos, el asociador de cuasigrupo es una medida de no asociatividad de Q .

En el álgebra de dimensiones superiores , donde puede haber morfismos no idénticos entre expresiones algebraicas, un asociador es un isomorfismo.

${\displaystyle a_{x,y,z}:(xy)z\mapsto x(yz).}$

En la teoría de categorías , el asociador expresa las propiedades asociativas del funtor del producto interno en categorías monoidales .

• Conmutador
• Álgebra no asociativa
• Cuasi-biálgebra  : analiza el asociador de Drinfeld

• Bremner, M.; Hentzel, I. (marzo de 2002). "Identidades para el asociador en álgebras alternativas". Journal of Symbolic Computation . 33 (3): 255–273. CiteSeerX  10.1.1.85.1905 . doi :10.1006/jsco.2001.0510.
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Introducción a las álgebras no asociativas . Dover. ISBN 0-486-68813-5.