Álgebra alternativa

En álgebra abstracta , un álgebra alternativa es un álgebra en la que la multiplicación no necesita ser asociativa , solo alternativa . Es decir, uno debe tener

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

para todos los valores de x e y en el álgebra.

Toda álgebra asociativa es alternativa, dado que la alternancia es simplemente una forma débil de asociatividad. Sin embargo, también lo son algunas álgebras estrictamente no asociativas, como los octoniones .

Las álgebras alternativas se denominan así porque son las álgebras para las cuales el asociador es alternante . El asociador es una aplicación trilineal dada por

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

Por definición, una aplicación multilineal es alternante si se anula siempre que dos de sus argumentos sean iguales. Las identidades alternativas izquierda y derecha para un álgebra son equivalentes a ^{[ 1 ].}

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0}$

Ambas identidades en conjunto implican que:

${\displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]+}$

${\displaystyle -[x,x+y,x+y]=}$

${\displaystyle =[x,x+y,-y]=}$

${\displaystyle =[x,x,-y]-[x,y,y]=0}$

a pesar de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$. Esto es equivalente a la identidad flexible ^{[ 2 ]}

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

El asociador de un álgebra alternativa es, por lo tanto, alternante. Recíprocamente , cualquier álgebra cuyo asociador sea alternante es claramente alternativa. Por simetría, cualquier álgebra que satisfaga dos cualesquiera de las siguientes condiciones:

• Identidad alternativa de izquierda:${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• Identidad alternativa correcta:${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• identidad flexible:${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

es alternativa y, por lo tanto, satisface las tres identidades.

Un asociador alternante es siempre totalmente antisimétrico. Es decir,

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

para cualquier permutación${\displaystyle \sigma }$. Lo contrario se cumple siempre que la característica del campo base no sea 2.

• Toda álgebra asociativa es alternativa.
• Los octoniones forman un álgebra alternativa no asociativa, un álgebra de división normada de dimensión 8 sobre los números reales . ^{[ 3 ]}
• En términos más generales, cualquier álgebra de octoniones es alternativa.

El teorema de Artin establece que en un álgebra alternativa la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa . ^{[ 4 ]} Recíprocamente, cualquier álgebra para la cual esto sea cierto es claramente alternativa. De ello se deduce que las expresiones que involucran solo dos variables pueden escribirse sin ambigüedad y sin paréntesis en un álgebra alternativa. Una generalización del teorema de Artin establece que siempre que tres elementos${\displaystyle x,y,z}$en un asociado de álgebra alternativa (es decir,${\displaystyle [x,y,z]=0}$), la subálgebra generada por esos elementos es asociativa.

Un corolario del teorema de Artin es que las álgebras alternativas son asociativas de potencia , es decir, la subálgebra generada por un solo elemento es asociativa. ^{[ 5 ]} Lo contrario no tiene por qué ser cierto: los sedeniones son asociativos de potencia pero no alternativos.

Las identidades de Moufang

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

se cumple en cualquier álgebra alternativa. ^{[ 2 ]}

En un álgebra alternativa unitaria, los inversos multiplicativos son únicos siempre que existan. Además, para cualquier elemento invertible${\displaystyle x}$y todo${\displaystyle y}$uno tiene

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

Esto es equivalente a decir que el asociador${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$desaparece para todos los tales${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son invertibles entonces${\displaystyle xy}$También es invertible con inversa${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$El conjunto de todos los elementos invertibles es, por lo tanto, cerrado bajo la multiplicación y forma un bucle de Moufang . Este bucle de unidades en un anillo o álgebra alternativa es análogo al grupo de unidades en un anillo o álgebra asociativa.

El teorema de Kleinfeld establece que cualquier anillo alternativo simple no asociativo es un álgebra de octoniones generalizada sobre su centro . ^{[ 6 ]} La teoría de la estructura de los anillos alternativos se presenta en el libro Rings That Are Nearly Associative de Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov y Shirshov. ^{[ 7 ]}

Todo anillo de división alternativo finito es un cuerpo finito según el teorema de Artin-Zorn .

El plano proyectivo sobre cualquier anillo de división alternativo es un plano de Moufang .

Toda álgebra de composición es un álgebra alternativa. ^{[ 8 ]}

• Álgebra sobre un cuerpo
• Álgebra de Maltsev
• Anillo de Zorn

• Schafer, Richard D. (1995). Introducción a las álgebras no asociativas . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 . 
• Zhevlakov, KA; Slin'ko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Anillos que son casi asociativos . Prensa académica . ISBN 0-12-779850-1. SEÑOR 0518614 . Zbl 0487.17001 .  

• Zhevlakov, KA (2001) [1994], "Anillos y álgebras alternativas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press