esquema de diferencias centrales

En matemáticas aplicadas , el esquema de diferencias centrales es un método de diferencias finitas que optimiza la aproximación del operador diferencial en el nodo central del parche considerado y proporciona soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales. ^{[ 1 ]} Es uno de los esquemas utilizados para resolver la ecuación integrada de convección-difusión y para calcular la propiedad transportada Φ en las caras e y w, donde e y w son abreviaturas de este y oeste (las direcciones de la brújula se utilizan habitualmente para indicar direcciones en las mallas computacionales). Las ventajas del método son que es fácil de entender e implementar, al menos para relaciones materiales simples; y que su tasa de convergencia es más rápida que la de otros métodos de diferencias finitas, como las diferencias hacia adelante y hacia atrás. El lado derecho de la ecuación de convección-difusión, que básicamente resalta los términos de difusión, puede representarse utilizando la aproximación de diferencias centrales. Para simplificar la solución y el análisis, se puede utilizar lógicamente la interpolación lineal para calcular los valores de la cara de la celda para el lado izquierdo de esta ecuación, que no es más que los términos convectivos. Por lo tanto, los valores de la cara de la celda de la propiedad para una cuadrícula uniforme se pueden escribir como: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \Phi _ {e}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _ {P}+\Phi _ {E})}$$$${\displaystyle \Phi _ {w}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _ {W}+\Phi _ {P})}$$

La ecuación de convección-difusión es una representación colectiva de las ecuaciones de difusión y convección, y describe o explica todo fenómeno físico que involucra convección y difusión en la transferencia de partículas, energía y otras cantidades físicas dentro de un sistema físico: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {div} (\rho u\varphi )=\operatorname {div} (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi };\,}$$ donde Г es el coeficiente de difusión y Φ es la propiedad .

La integración formal de la ecuación de convección-difusión en estado estacionario sobre un volumen de control da como resultado:

Esta ecuación representa el balance de flujos en un volumen de control. El lado izquierdo proporciona el flujo convectivo neto, y el lado derecho contiene el flujo difusivo neto y la generación o destrucción de la propiedad dentro del volumen de control.

En ausencia de la ecuación del término fuente, uno se convierte en

Ecuación de continuidad :

Suponiendo un volumen de control e integrando la ecuación 2 sobre el volumen de control se obtiene:

La integración de la ecuación 3 produce:

Resulta conveniente definir dos variables para representar el flujo de masa convectivo por unidad de área y la conductancia de difusión en las caras de las células, por ejemplo: $${\displaystyle F=\rho u}$$$${\displaystyle D=\Gamma /\delta x}$$

Arrogante${\displaystyle A_{e}=A_{w}}$Podemos escribir la ecuación integrada de convección-difusión como: $${\displaystyle F_{e}\varphi _{e}-F_{w}\varphi _{w}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

Y la ecuación de continuidad integrada es la siguiente: $${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$$

En un esquema de diferencias centrales, intentamos la interpolación lineal para calcular los valores de las caras de las celdas para los términos de convección.

Para una cuadrícula uniforme, podemos escribir los valores de la cara de la celda de la propiedad Φ como $${\displaystyle \varphi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{E}+\varphi _{P}),\quad \varphi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{P}+\varphi _{W})}$$

Al sustituir esto en la ecuación integrada de convección-difusión, obtenemos: $${\displaystyle F_{e}{\frac {\varphi _{E}+\varphi _{P}}{2}}-F_{w}{\frac {\varphi _{W}+\varphi _{P}}{2}}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

Y al reorganizar: $${\displaystyle \left[\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)+(F_{e}-F_{w})\right]\varphi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)\varphi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)\varphi _{E}}$$$${\ Displaystyle a_ {P} \ varphi _ {P} = a_ {W} \ varphi _ {W} + a_ {E} \ varphi _ {E}}$$

• Actualmente se utilizan de forma regular en la solución de las ecuaciones de Euler y las ecuaciones de Navier-Stokes .
• Los resultados obtenidos mediante la aproximación por diferencias centrales han mostrado mejoras notables en la precisión en regiones suaves.
• La representación de ondas de choque y la definición de la capa límite pueden mejorarse en mallas gruesas. ^{[ 3 ]}

• Más sencillo de programar, requiere menos tiempo de procesamiento por paso y funciona bien con técnicas de aceleración multigrid.
• Tiene un parámetro libre en conjunto con la disipación de cuarta diferencia, que es necesario para aproximarse a un estado estacionario.
• Más preciso que el esquema ascendente de primer orden si el número de Peclet es menor que 2. ^{[ 3 ]}

• Un poco más disipativo
• Conduce a oscilaciones en la solución o divergencia si el número de Peclet local es mayor que 2. ^{[ 4 ]}

• Método de diferencias finitas
• Diferencia finita
• Serie Taylor
• teorema de Taylor
• Ecuación de convección-difusión
• Difusión
• Convección
• Número de Peclet
• Interpolación lineal
• Derivada simétrica
• Esquema de diferencias ascendentes para convección

• Dinámica de fluidos computacional: Fundamentos con aplicaciones – John D. Anderson, ISBN 0-07-001685-2
• Dinámica de fluidos computacional, volumen 1 – Klaus A. Hoffmann, Steve T. Chiang, ISBN 0-9623731-0-9

• Convección y difusión unidimensionales en estado estacionario#Esquema de diferencias centrales
• Diferencias finitas
• Métodos de diferencias centrales. Archivado el 5 de noviembre de 2013 en Wayback Machine.
• Un esquema de diferencias finitas conservador para las ecuaciones de Poisson-Nernst-Planck