Clase Selberg

En matemáticas , la clase de Selberg es una definición axiomática de una clase de funciones L. Los miembros de la clase son series de Dirichlet que obedecen cuatro axiomas que parecen capturar las propiedades esenciales que satisfacen la mayoría de las funciones comúnmente llamadas funciones L o funciones zeta . Aunque la naturaleza exacta de la clase es conjetural, se espera que su definición conduzca a una clasificación de su contenido y a una elucidación de sus propiedades, incluyendo una comprensión de su relación con las formas automórficas y la hipótesis de Riemann . La clase fue definida por Atle Selberg en ( Selberg 1992 ), quien prefirió no usar la palabra "axioma" que autores posteriores han empleado. ^{[ 1 ]}

La definición formal de la clase S es el conjunto de todas las series de Dirichlet.

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

absolutamente convergentes para Re( s ) > 1 que satisfacen cuatro axiomas (o supuestos, como los llama Selberg):

• Sin esa condición , habría:${\displaystyle a_{n}=O(n^{\varepsilon })}$

${\displaystyle L(s+1/3,\chi _{4})L(s-1/3,\chi _{4})}$

lo cual viola la hipótesis de Riemann.

• Sin esta ecuación funcional tendríamos funciones L de Dirichlet para cualquier carácter imprimitivo. Si es un carácter de Dirichlet inducido por , entonces tenemos:${\textstyle \chi }$${\textstyle \chi ^{\star }}$

${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-\chi ^{\star }(p)p^{-s}\right)}$

Aunque esta función satisface cualquier otro axioma, de los factores adicionales se deduce que tiene infinitos ceros en . Estos no son simétricos con respecto a y, sin la ecuación funcional propuesta por Selberg, es difícil distinguir entre los ceros triviales y no triviales de esta función.${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=0}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$

• Si la función F satisface la ecuación funcional con diferentes factores gamma, entonces, utilizando la fórmula de Stirling para la función gamma, se puede demostrar:

${\displaystyle \gamma _{2}(s)=C\cdot \gamma _{1}(s)\quad {\text{where: }}C\in \mathbb {R} }$.

Sin embargo, mediante la fórmula de multiplicación , el mismo factor gamma puede expresarse de muchas maneras diferentes, utilizando distintos números de funciones gamma con constantes diferentes. A pesar de esto, Selberg demostró que la suma es independiente de la fórmula del factor gamma elegida.${\textstyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}}$

• La condición de que la parte real de μ _i sea no negativa se debe a que existen funciones L conocidas que no satisfacen la hipótesis de Riemann cuando μ _i es negativo. En concreto, existen formas de Maass asociadas a autovalores excepcionales, para las cuales se cumple la conjetura de Ramanujan-Petersson , y que poseen una ecuación funcional, pero no satisfacen la hipótesis de Riemann.

• Tener el producto de Euler es esencial, como lo demuestra el notable contraejemplo dado por Davenport y Heilbronn:

${\displaystyle F(s)={\frac {1-\alpha i}{2}}L(s,\chi _{5})+{\frac {1+\alpha i}{2}}L(s,{\overline {\chi }}_{5})\quad {\text{for: }}\alpha ={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}}$

A pesar de tener continuación analítica, tener coeficientes periódicos (satisfaciendo así la conjetura de Ramanujan) y satisfacer la ecuación funcional, tienen ceros que se encuentran fuera de la línea crítica.

La clase de Selberg es cerrada bajo la multiplicación de funciones: el producto de cualquier par de funciones pertenecientes a S también está en S. También es fácil comprobar que si F está en S , entonces la función involucrada en la ecuación funcional:

${\displaystyle {\overline {F({\overline {s}})}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\overline {a_{n}}}{n^{s}}}}$

satisface los axiomas y también está en S. Si F es una función entera en S , entonces para también está en S.${\textstyle F(s+it)}$${\textstyle t\in \mathbb {R} }$

De la conjetura de Ramanujan se deduce que, para todo : ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\vert a_{i}\vert =O(n^{1+\epsilon })}$

Entonces, la función que define la serie de Dirichlet converge absolutamente en el semiplano: . ${\textstyle \operatorname {Re} (s)>1}$

A pesar de la versión inusual del producto de Euler en los axiomas, mediante la exponenciación de la serie de Dirichlet, se puede deducir que a _n es una secuencia multiplicativa y que

${\displaystyle F_{p}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{p^{n}}}{p^{ns}}}{\text{ for Re}}(s)>1.}$

De ello se deduce que para cada factor del producto de Euler: ${\textstyle \theta <{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle \log F_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}}$

es absolutamente convergente en . Entonces es absolutamente convergente y en esta región. En el semiplano de convergencia absoluta de la función de la serie de Dirichlet original es absolutamente convergente producto de factores no nulos, entonces para funciones en la clase de Selberg en . ${\textstyle \operatorname {Re} (s)>{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle F_{p}(s)}$${\displaystyle F_{p}(s)\neq 0}$${\textstyle F(s)\neq 0}$${\textstyle \operatorname {Re} (s)>1}$

De la ecuación funcional se deduce que cada polo del factor gamma γ( s ) en debe cancelarse con un cero de F . Estos ceros se denominan ceros triviales ; los demás ceros de F se denominan ceros no triviales . Todos los ceros no triviales se encuentran en la franja crítica, , y según la ecuación funcional, los ceros no triviales son simétricos respecto a la línea crítica, . ${\textstyle {\text{Re}}(s)<0}$${\textstyle 0<{\text{Re}}(s)<1}$${\textstyle {\text{Re}}(s)={\frac {1}{2}}}$

The real non-negative number

${\displaystyle d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}}$

is called the degree (or dimension) of F. Since this sum is independent of the choice of functional equation, it is well-defined for any function F. If F and G are in the Selberg class, then degree of their product is:

${\displaystyle d_{FG}=d_{F}+d_{G}.}$

It can be shown that F = 1 is the only function in S whose degree is ${\textstyle d_{F}<1}$. Kaczorowski & Perelli (2011) showed that the only cases of ${\textstyle d_{F}<2}$ are the Dirichlet L-functions for primitive Dirichlet characters (including the Riemann zeta-function). Denoting the number of non-trivial zeros of F with 0 ≤ Im(s) ≤ T by N_F(T),^[2] Selberg showed that:

${\displaystyle N_{F}(T)=d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}+O(\log T).}$

An explicit version of the result was proven by Palojärvi (2019).

It was proven by Kaczorowski & Perelli (2003) that for F in the Selberg class, ${\textstyle F(1+it)\neq 0}$ for ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ is equivalent to

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{p\leq x}\vert a_{p}\vert ^{2}}{\pi (x)}}=\kappa _{F},}$

where ${\displaystyle \kappa _{F}>0}$ is a real number and ${\textstyle \pi }$ is the prime-counting function. This result can be thought of as a generalization of the prime number theorem. Nagoshi & Steuding (2010) showed that functions satisfying the prime-number theorem condition have a universality property for the strip ${\textstyle \sigma <Re(s)<1}$, where ${\textstyle \sigma =\max \lbrace {\frac {1}{2}},1-{\frac {1}{d_{F}}}\rbrace }$. It generalizes the universality property of the Riemann zeta function and Dirichlet L-functions.

A function ${\displaystyle F\neq 1}$ in S is called primitive if, whenever it is written as ${\displaystyle F=F_{1}\cdot F_{2}}$, with both of function in Selberg class, then ${\displaystyle F=F_{1}}$ or ${\displaystyle F=F_{2}}$. As a consequence that degree is additive with respect to multiplication of functions and only function of degree ${\displaystyle d_{F}<1}$ is ${\displaystyle F=1}$, every function F ≠ 1 can be written as a product of primitive functions. However, uniqueness of this factorization is still unproven.

The prototypical example of an element in S is the Riemann zeta function.^[3] Also, most of generalizations of the zeta function, like Dirichlet L-functions or Dedekind zeta functions, belong to the Selberg class.

Ejemplos de funciones primitivas incluyen la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet de caracteres de Dirichlet primitivos o algunas funciones L de Artin para representaciones irreducibles del grupo de Galois de la extensión de Galois de los números racionales (en el caso general de la no existencia de polos de la función L de Artin que violan el axioma de analicidad es objeto de la conjetura de Artin ).

Otro ejemplo es la función L del discriminante modular Δ,

${\displaystyle L(s,\Delta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)/n^{11/2}}{n^{s}}},}$

donde es la función tau de Ramanujan . ^{[ 4 ]} Este ejemplo puede considerarse una función L "normalizada" o "desplazada" para la función L de Ramanujan original, definida como ${\textstyle \tau (n)}$

${\displaystyle L(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}},}$

cuyos coeficientes satisfacen . Tiene la ecuación funcional ${\textstyle \vert \tau (n)\vert \leq n^{\frac {11}{2}}}$

${\displaystyle ({\frac {1}{2\pi }})^{s}\Gamma (s)L(s)=({\frac {1}{2\pi }})^{12-s}\Gamma (12-s)L(12-s)}$

y se espera que tenga todos los ceros no triviales en la línea . ${\textstyle Re(s)=6}$

Todos los ejemplos conocidos son funciones L automorfas , y los recíprocos de F _p ( s ) son polinomios en p ^{− s} de grado acotado. ^{[ 5 ]}

En ( Selberg 1992 ), Selberg hizo conjeturas sobre las funciones en S :

• Conjetura 1: Para todo F en S , existe un entero n _F tal que y n _F  = 1 siempre que F sea primitivo.$${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)}$$
• Conjetura 2: Para distintos F primitivos ,  F ′ ∈  S ,$${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}{\overline {a_{p}^{\prime }}}}{p}}=O(1).}$$
• Conjetura 3: Si F está en S con factorización primitiva χ es un carácter de Dirichlet primitivo, y la función también está en S , entonces las funciones F _i ^χ son elementos primitivos de S (y, en consecuencia, forman la factorización primitiva de F ^χ ).$${\displaystyle F=\prod _{i=1}^{m}F_{i},}$$$${\displaystyle F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}}$$
• Hipótesis generalizada de Riemann para S : Para todo F en S , los ceros no triviales de F se encuentran todos en la línea Re( s ) = 1/2.

Las dos primeras conjeturas de Selberg se conocen a menudo de forma conjunta como la conjetura de ortogonalidad de Selberg .

Se conjetura que la clase de Selberg es igual a la clase de funciones L automórficas . Se espera que las funciones primitivas estén asociadas con representaciones automórficas irreducibles.

Se conjetura que todos los recíprocos de los factores F _p ( s ) de los productos de Euler son polinomios en p ^{− s} de grado acotado.

Se conjetura que, para cualquier F en la clase de Selberg, es un entero no negativo. El mejor resultado particular debido a Kaczorowski y Perelli muestra esto solo para . ${\textstyle d_{F}}$${\textstyle d_{F}<2}$

La conjetura de ortogonalidad de Selberg tiene numerosas consecuencias para las funciones de la clase de Selberg:

• La factorización de la función F en S en funciones primitivas sería única.
• Si es una factorización de F en S en funciones primitivas, entonces . En particular, esto implica que si y solo si F es una función primitiva. ^{[ 6 ]}${\textstyle F=F_{1}^{e_{1}}\dots F_{n}^{e_{n}}}$${\textstyle n_{F}=e_{1}^{2}+\dots +e_{n}^{2}}$${\textstyle n_{F}=1}$
• Las funciones en S no tienen ceros en . Esto implica que satisfacen una generalización del teorema de los números primos y poseen una propiedad de universalidad.${\textstyle Re(s)=1}$
• Si F tiene un polo de orden m en s  = 1, entonces F ( s )/ζ( s ) ^m es entero. En particular, implican la conjetura de Dedekind. ^{[ 7 ]}
• M. Ram Murty demostró en ( Murty 1994 ) que la conjetura de ortogonalidad implica la conjetura de Artin . ^{[ 8 ]}
• En el mismo artículo, Murty demostró que la conjetura de ortogonalidad implica la reciprocidad de Langlands para las funciones L de Artin de extensiones resolubles.
• Las funciones L de representaciones automorfas cuspidales irreducibles que satisfacen la conjetura de Ramanujan son primitivas. ^{[ 9 ]}

La hipótesis generalizada de Riemann para S implica muchas generalizaciones diferentes de la hipótesis original de Riemann, siendo las más notables la hipótesis generalizada de Riemann para funciones L de Dirichlet y la hipótesis extendida de Riemann para funciones zeta de Dedekind, con múltiples consecuencias en la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números , la teoría de cuerpos de clases y numerosas ramas de las matemáticas.

Combinadas con la hipótesis generalizada de Riemann, diferentes versiones de la conjetura de ortogonalidad implican ciertas tasas de crecimiento para la función y su derivada logarítmica. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

Si la clase de Selberg es igual a la clase de funciones L automorfas , entonces la hipótesis de Riemann para S sería equivalente a la hipótesis de Gran Riemann .

• Lista de funciones zeta

• Selberg, Atle (1992), "Conjeturas y resultados antiguos y nuevos sobre una clase de series de Dirichlet", Actas de la Conferencia de Amalfi sobre Teoría Analítica de Números (Maiori, 1989) , Salerno: Univ. Salerno, pp.  367–385 , MR  1220477 , Zbl  0787.11037Reimpreso en Collected Papers, vol . 2 , Springer-Verlag, Berlín (1991)
• Conrey, J. Brian ; Ghosh, Amit (1993), "Sobre la clase de Selberg de series de Dirichlet: grados pequeños", Duke Mathematical Journal , 72 (3): 673–693 , arXiv : math.NT/9204217 , doi : 10.1215/s0012-7094-93-07225-0 , MR  1253620 , Zbl  0796.11037

• Murty, M. Ram (1994), "Conjeturas de Selberg y funciones L de Artin ", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 31 (1): 1– 14, arXiv : math/9407219 , doi : 10.1090/s0273-0979-1994-00479-3 , MR  1242382 , S2CID  265909 , Zbl  0805.11062

• Murty, M. Ram (2008), Problemas en teoría analítica de números , Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas, vol. 206 (Segunda ed.), Springer-Verlag , Capítulo 8, doi : 10.1007/978-0-387-72350-1 , ISBN 978-0-387-72349-5, MR  2376618 , Zbl  1190.11001

• Kaczorowski, Jerzy y Perelli, Alberto (2011). "Sobre la estructura de la clase de Selberg, VII" (PDF) . Annals of Mathematics . 173 : 1397–1441 . doi : 10.4007/annals.2011.173.3.4 .

• Palojärvi, Neea (2019). "Sobre los límites superiores e inferiores explícitos para el número de ceros de la clase de Selberg". J. Number Theory . 194 : 218–250 . arXiv : 1709.07170 . doi : 10.1016/j.jnt.2018.07.006 .

• Kaczorowski, J. y Perelli, A. (2003). "Sobre el teorema de los números primos para la clase de Selberg". Archiv der Mathematik . 80 (3): 255– 263. doi : 10.1007/s00013-003-0032-9 . MR  1981179 .

• Nagoshi, Hirofumi y Steuding, Jörn (2010). "Sobre el teorema de los números primos para la clase de Selberg" . Lithuanian Mathematical Journal . 50 : 293–311 . doi : 10.1007/s10986-010-9087-z .