Universalidad de la función zeta

En matemáticas , la universalidad de las funciones zeta reside en la notable capacidad de la función zeta de Riemann y otras funciones similares (como las funciones L de Dirichlet ) para aproximar con una precisión arbitraria funciones holomorfas no nulas .

La universalidad de la función zeta de Riemann fue demostrada por primera vez por Sergei Mikhailovitch Voronin en 1975 ^{[ 1 ]} y a veces se la conoce como el teorema de universalidad de Voronin .

La función zeta de Riemann en la franja 1/2 < Re( s ) < 1; 103 < Im( s ) < 109.

Declaración formal

A continuación se presenta una formulación matemáticamente precisa de la universalidad de la función zeta de Riemann $ζ (s)$ .

Sea $U$ un subconjunto compacto de la franja.

\left\{\ s\in \mathbb {C

tal que el complemento de $U$ sea conexo . Sea $f : U \to ℂ$ una función continua en $U$ que es holomorfa en el interior de $U$ y no tiene ceros en $U.$ Entonces, para cualquier $ε > 0$ existe un $t \geq 0$ tal que

a pesar de $s\in U.$ Más aún: la densidad inferior del conjunto de valores $t$ que satisfacen la desigualdad anterior es positiva. Más precisamente, $0~<~\liminf _{T\to \infty }~{\frac {1}{\ T\ }}\ \lambda \!\left(\left\{\ t\in [0,T]\;:\;\max _{s\in U}{\Bigl |}\ \zeta (s+it)-f(s)\ {\Bigr |}<\varepsilon \ \right\}\right),$ dónde $\lambda$ es la medida de Lebesgue sobre los números reales y $\liminf$ es el límite inferior .

Discusión

La condición de que el complemento de U sea conexo significa esencialmente que U no contiene ningún agujero.

El significado intuitivo de la primera afirmación es el siguiente: es posible mover U mediante algún desplazamiento vertical de tal manera que la función f en U se aproxime mediante la función zeta en la copia desplazada de U , con una precisión de ε.

La función f no puede tener ceros en U. Esta es una restricción importante; si partimos de una función holomorfa con un cero aislado, entonces cualquier función holomorfa "cercana" también tendrá un cero. Según la hipótesis de Riemann , la función zeta de Riemann no tiene ceros en la franja considerada, por lo que no podría aproximar dicha función. La función f ( s ) = 0 que es idénticamente cero en U puede aproximarse mediante ζ : podemos elegir primero la función "cercana" g ( s ) = ε /2 (que es holomorfa y no tiene ceros) y encontrar un desplazamiento vertical tal que ζ aproxime g con una precisión de ε /2, y por lo tanto f con una precisión de ε .

La figura adjunta muestra la función zeta en una parte representativa de la franja correspondiente. El color del punto s codifica el valor ζ ( s ) de la siguiente manera: el tono representa el argumento de ζ ( s ), donde el rojo denota valores reales positivos, y luego en sentido antihorario a través del amarillo, verde, cian, azul y púrpura. Los colores fuertes denotan valores cercanos a 0 (negro = 0), los colores débiles denotan valores alejados de 0 (blanco = ∞). La imagen muestra tres ceros de la función zeta, aproximadamente en 1/2 + 103.7 i , 1/2 + 105.5 i y 1/2 + 107.2 i . El teorema de Voronin esencialmente establece que esta franja contiene todos los posibles patrones de color "analíticos" que no utilizan el negro ni el blanco.

El significado general de la afirmación sobre la densidad inferior es el siguiente: si se da una función f y un ε > 0 , entonces existe una probabilidad positiva de que un desplazamiento vertical elegido al azar produzca una aproximación de f con una precisión ε .

El interior de U puede estar vacío, en cuyo caso no se requiere que f sea holomorfa. Por ejemplo, si tomamos U como un segmento de línea , entonces una función continua f : U → C es una curva en el plano complejo , y vemos que la función zeta codifica cualquier curva posible (es decir, cualquier figura que se pueda dibujar sin levantar el lápiz) con precisión arbitraria en la franja considerada.

El teorema, tal como está enunciado, se aplica únicamente a las regiones U contenidas en la franja. Sin embargo, si permitimos traslaciones y escalamientos, también podemos encontrar codificadas en las funciones zeta versiones aproximadas de todas las funciones holomorfas no nulas definidas en otras regiones. En particular, dado que la función zeta en sí misma es holomorfa, versiones de sí misma están codificadas dentro de ella a diferentes escalas, la característica distintiva de un fractal . ^{[ 2 ]}

La naturaleza sorprendente del teorema se puede resumir de esta manera: la función zeta de Riemann contiene "todos los comportamientos posibles" en su interior y, por lo tanto, es "caótica" en cierto sentido, pero es una función analítica perfectamente suave con una definición sencilla.

Boceto de prueba

A continuación se presenta un esbozo de la demostración expuesta en (Voronin y Karatsuba, 1992) ^{[ 3 ]} . Consideramos únicamente el caso en que U es un disco centrado en 3/4:

U=\{s\in \mathbb {C

y argumentaremos que toda función holomorfa no nula definida en U puede aproximarse mediante la función ζ en una traslación vertical de este conjunto.

Pasando al logaritmo , basta con demostrar que para toda función holomorfa g : U → C y todo ε > 0 existe un número real t tal que

\left|\ln \zeta (s+it)-g(s)\right|<\varepsilon \quad {\text{para todo}}\quad s\in U.

Primero aproximaremos g ( s ) con el logaritmo de ciertos productos finitos que recuerdan al producto de Euler para la función ζ :

\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1},

dónde $\mathbb {P}$ denota el conjunto de todos los números primos.

Si $\theta =(\theta _{p})_{p\in \mathbb {P} }$ es una secuencia de números reales, uno para cada primo p , y M es un conjunto finito de primos, definimos

\zeta _{M}(s,\theta )=\prod _{p\in M}\left(1-{\frac {e^{-2\pi i\theta _{p}}}{p^{s}}}\right)^{-1}.

Consideramos la secuencia específica

{\hat {\theta }}=\left({\frac {1}{4}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{4}},{\frac {5}{4}},\ldots \right)

y afirman que g ( s ) puede aproximarse mediante una función de la forma $\ln(\zeta _{M}(s,{\hat {\theta }}))$ para un conjunto adecuado M de primos. La prueba de esta afirmación utiliza el espacio de Bergman , erróneamente llamado espacio de Hardy en (Voronin y Karatsuba, 1992), ^{[ 3 ]} en H de funciones holomorfas definidas en U , un espacio de Hilbert . Definimos

u_{k}(s)=\ln \left(1-{\frac {e^{-\pi ik/2}}{p_{k}^{s}}}\right)

donde p _k denota el k -ésimo número primo . Entonces se puede demostrar que la serie

\sum _ {k=1}^{\infty }u_ {k}

La serie converge condicionalmente en H ; es decir, para cada elemento v de H , existe una reordenación de la serie que converge en H a v . Este argumento utiliza un teorema que generaliza el teorema de la serie de Riemann a un espacio de Hilbert. Debido a la relación entre la norma en H y el valor absoluto máximo de una función, podemos aproximar nuestra función g ( s ) con un segmento inicial de esta serie reordenada, como se requiere.

Mediante una versión del teorema de Kronecker , aplicada a los números reales ${\frac {\ln 2}{2\pi }},{\frac {\ln 3}{2\pi }},{\frac {\ln 5}{2\pi }},\ldots ,{\frac {\ln p_{N}}{2\pi }}$ (que son linealmente independientes sobre los racionales), podemos encontrar valores reales de t tales que $\ln(\zeta _{M}(s,{\hat {\theta }}))$ se aproxima por $\ln(\zeta _{M}(s+it,0))$ . Además, para algunos de estos valores t , $\ln(\zeta _{M}(s+it,0))$ aproximaciones $\ln(\zeta (s+it))$ , terminando la prueba.

El teorema se enuncia sin demostración en el §11.11 de (Titchmarsh y Heath-Brown, 1986), ^{[ 4 ]} la segunda edición de una monografía de Titchmarsh de 1951; un resultado más débil se da en el Teorema 11.9. Aunque el teorema de Voronin no se demuestra allí, se derivan dos corolarios del mismo:

Dejar ${\tfrac {1}{2}}<\sigma <1$ estar fijo. Entonces la curva $\gamma (t)=(\zeta (\sigma +it),\zeta '(\sigma +it),\dots ,\zeta ^{(n-1)}(\sigma +it))$ es denso en $\mathbb {C} ^{n}.$
Dejar $\Phi$ Sea cualquier función continua, y sea $h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}$ sean constantes reales. Entonces $\zeta (s)$ no puede satisfacer la ecuación diferencial-diferencial $\Phi \{\zeta (s+h_{1}),\zeta '(s+h_{1}),\dots ,\zeta ^{(n_{1})}(s+h_{1}),\zeta (s+h_{2}),\zeta '(s+h_{2}),\dots ,\zeta ^{(n_{2})}(s+h_{2}),\dots \}=0$ a menos que $\Phi$ desaparece de forma idéntica.

Universalidad efectiva

Algunos trabajos recientes se han centrado en la universalidad efectiva . Bajo las condiciones establecidas al comienzo de este artículo, existen valores de t que satisfacen la desigualdad (1). Un teorema de universalidad efectiva establece una cota superior para el menor de estos valores de t .

Por ejemplo, en 2003, Garunkštis demostró que si $f(s)$ es analítico en $|s|\leq .05$ con $\max _{\left|s\right|\leq .05}\left|f(s)\right|\leq 1$ , entonces para cualquier ε en $0<\épsilon <1/2$ , existe un número $t$ en $0\leq t\leq \exp({\exp({10/\epsilon ^{13}})})$ de tal manera que $\max _{\left|s\right|\leq .0001}\left|\log \zeta (s+{\frac {3}{4}}+it)-f(s)\right|<\epsilon .$ Por ejemplo, si $\epsilon =1/10$ , entonces el límite para t es $t\leq \exp({\exp({10/\epsilon ^{13}})})=\exp({\exp({10^{14}})})$ .

También se pueden obtener límites para la medida de estos valores t , en términos de ε : $\liminf _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\,\lambda \!\left(\left\{t\in [0,T]:\max _{\left|s\right|\leq .0001}\left|\log \zeta (s+{\frac {3}{4}}+it)-f(s)\right|<\epsilon \right\}\right)\geq {\frac {1}{\exp({\epsilon ^{-13}})}}.$ Por ejemplo, si $\epsilon =1/10$ , entonces el lado derecho es $1/\exp({10^{13}})$ Véase. ^{[ 5 ]}^{: 210}

Universalidad de otras funciones zeta

Se han realizado trabajos que demuestran que la universalidad se extiende a las funciones zeta de Selberg . ^{[ 6 ]}

Las funciones L de Dirichlet muestran no solo universalidad, sino un cierto tipo de universalidad conjunta que permite aproximar cualquier conjunto de funciones mediante el mismo valor o valores de t en diferentes funciones L , donde cada función a aproximar se empareja con una función L diferente . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{: Sección 4}

Se ha demostrado una propiedad de universalidad similar para la función zeta de Lerch. $L(\lambda ,\alpha ,s)$ , al menos cuando el parámetro α es un número trascendental . ^{[ 8 ]}^{: Sección 5} También se ha demostrado que las secciones de la función zeta de Lerch tienen una forma de universalidad conjunta. ^{[ 8 ]}^{: Sección 6}

Referencias

↑ Voronin, SM (1975) "Teorema sobre la universalidad de la función zeta de Riemann". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. 39, pp. 475-486. Reimpreso en Math. USSR Izv. 9, 443-445, 1975.
↑ Woon, SC (1994-06-11). "La función zeta de Riemann es un fractal". arXiv : chao-dyn/9406003 .
^ Karatsuba , AA ; Voronin, SM (julio de 1992). La función Zeta de Riemann . Walter de Gruyter. pag. 396 . ISBN 3-11-013170-6.
↑ Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney («Roger») (1986). The Theory of the Riemann Zeta-function (2.ª ed.). Oxford: Oxford UP, págs. 308-309 . ISBN 0-19-853369-1.
↑ Ramūnas Garunkštis; Antanas Laurinčikas; Kohji Matsumoto; Jörn Steuding; Rasa Steuding (2010). "Aproximación uniforme efectiva mediante la función zeta de Riemann" . Publicaciones Matemáticas . 54 (1): 209– 219. doi : 10.5565/publmat_54110_12 . JSTOR 43736941 .
↑ Paulio Drungilas; Ramūnas Garunkštis; Audrius Kačėnas (2013). "Universalidad de la función zeta de Selberg para el grupo modular". Foro Matemático . 25 (3). doi : 10.1515/form.2011.127 . ISSN 1435-5337 . S2CID 54965707 .
↑ B. Bagchi (1982). "Un teorema de universalidad para las funciones L de Dirichlet". Mathematische Zeitschrift . 181 (3): 319– 334. doi : 10.1007/BF01161980 . S2CID 120930513 .
1 2 3 Kohji Matsumoto (2013). "Una revisión de la teoría de la universalidad para las funciones zeta y L". Arando y explorando formas de onda altas. Actas del 7.º Seminario China-Japón . El 7.º Seminario China-Japón sobre Teoría de Números. Vol. 11. Fukuoka, Japón: World Scientific. págs. 95-144 . arXiv : 1407.4216 . Bibcode : 2014arXiv1407.4216M . ISBN 978-981-4644-92-1.

Lecturas adicionales

Karatsuba, Anatoly A.; Voronin, SM (2011). La función Zeta de Riemann . Exposiciones de Gruyter en Matemáticas. Berlín: de Gruyter. ISBN 978-3110131703.
Laurinčikas, Antanas (1996). Teoremas límite para la función zeta de Riemann . Matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 352. Berlín: Springer. doi : 10.1007/978-94-017-2091-5 . ISBN 978-90-481-4647-5.
Steuding, Jörn (2007). Distribución de valores de las funciones L. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1877. Berlín: Springer. p. 19. arXiv : 1711.06671 . doi : 10.1007 /978-3-540-44822-8 . ISBN 978-3-540-26526-9.
Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986). La teoría de la función zeta de Riemann (2.ª ed.). Oxford: Oxford UP ISBN 0-19-853369-1.

Enlaces externos

Teorema de universalidad de Voronin , por Matthew R. Watkins
Radiografía de la función zeta. Investigación visual para determinar si la función zeta es real o puramente imaginaria. Permite comprender su complejidad en la banda crítica.

[1] Voronin, SM (1975) "Teorema sobre la universalidad de la función zeta de Riemann". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. 39, pp. 475-486. Reimpreso en Math. USSR Izv. 9, 443-445, 1975.

[2] Woon, SC (1994-06-11). "La función zeta de Riemann es un fractal". arXiv : chao-dyn/9406003 .

[Karatsuba1992-3] Karatsuba , AA ; Voronin, SM (julio de 1992). La función Zeta de Riemann . Walter de Gruyter. pag. 396 . ISBN 3-11-013170-6.

[4] Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney («Roger») (1986). The Theory of the Riemann Zeta-function (2.ª ed.). Oxford: Oxford UP, págs. 308-309 . ISBN 0-19-853369-1.

[5] Ramūnas Garunkštis; Antanas Laurinčikas; Kohji Matsumoto; Jörn Steuding; Rasa Steuding (2010). "Aproximación uniforme efectiva mediante la función zeta de Riemann" . Publicaciones Matemáticas . 54 (1): 209– 219. doi : 10.5565/publmat_54110_12 . JSTOR 43736941 .

[6] Paulio Drungilas; Ramūnas Garunkštis; Audrius Kačėnas (2013). "Universalidad de la función zeta de Selberg para el grupo modular". Foro Matemático . 25 (3). doi : 10.1515/form.2011.127 . ISSN 1435-5337 . S2CID 54965707 .

[7] B. Bagchi (1982). "Un teorema de universalidad para las funciones L de Dirichlet". Mathematische Zeitschrift . 181 (3): 319– 334. doi : 10.1007/BF01161980 . S2CID 120930513 .

[matsumoto-8] 1 2 3 Kohji Matsumoto (2013). "Una revisión de la teoría de la universalidad para las funciones zeta y L". Arando y explorando formas de onda altas. Actas del 7.º Seminario China-Japón . El 7.º Seminario China-Japón sobre Teoría de Números. Vol. 11. Fukuoka, Japón: World Scientific. págs. 95-144 . arXiv : 1407.4216 . Bibcode : 2014arXiv1407.4216M . ISBN 978-981-4644-92-1.

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