Análisis de datos topológicos

En matemáticas aplicadas , el análisis topológico de datos ( ATD ) es un enfoque para el análisis de conjuntos de datos que utiliza técnicas de topología . La extracción de información de conjuntos de datos de alta dimensionalidad, incompletos y ruidosos suele ser un desafío. El ATD proporciona un marco general para analizar dichos datos de manera independiente de la métrica elegida, ofreciendo reducción de dimensionalidad y robustez frente al ruido. Además, hereda la funtorialidad , un concepto fundamental de las matemáticas modernas, de su naturaleza topológica, lo que le permite adaptarse a nuevas herramientas matemáticas.

La motivación inicial es estudiar la forma de los datos. TDA combina la topología algebraica con otras herramientas de las matemáticas puras para permitir un estudio matemáticamente riguroso de la "forma". La herramienta principal es la homología persistente , una adaptación de la homología a los datos de nubes de puntos . La homología persistente se ha aplicado a muchos tipos de datos en diversos campos. Además, su fundamento matemático también tiene importancia teórica. Las características únicas de TDA la convierten en un puente prometedor entre la topología y la geometría.

El primer algoritmo sobre todos los campos para la homología persistente en el contexto de la topología algebraica fue descrito por Barannikov ^{[ 11 ]} a través de la reducción a la forma canónica mediante matrices triangulares superiores. El algoritmo para la homología persistente sobre${\displaystyle F_{2}}$fue dado por Edelsbrunner et al. ^{[ 8 ]} Afra Zomorodian y Carlsson dieron el algoritmo práctico para calcular la homología persistente sobre todos los cuerpos. ^{[ 10 ]} El libro de Edelsbrunner y Harer ofrece orientación general sobre topología computacional. ^{[ 19 ]}

Un problema que surge en la computación es la elección del complejo. El complejo de Čech y el complejo de Vietoris-Rips parecen los más naturales a primera vista; sin embargo, su tamaño crece rápidamente con el número de puntos de datos. Se prefiere el complejo de Vietoris-Rips al de Čech porque su definición es más sencilla y el complejo de Čech requiere un esfuerzo adicional para definirlo en un espacio métrico finito general. Se han estudiado métodos eficientes para reducir el coste computacional de la homología. Por ejemplo, el complejo α y el complejo testigo se utilizan para reducir la dimensión y el tamaño de los complejos. ^{[ 20 ]}

Recientemente, la teoría discreta de Morse ha demostrado ser prometedora para la homología computacional, ya que puede reducir un complejo simplicial dado a un complejo celular mucho más pequeño que es homotópico al original. ^{[ 21 ]} Esta reducción puede realizarse, de hecho, a medida que se construye el complejo utilizando la teoría de matroides , lo que conlleva mejoras adicionales en el rendimiento. ^{[ 22 ]} Otro algoritmo reciente ahorra tiempo al ignorar las clases de homología con baja persistencia. ^{[ 23 ]}

Existen varios paquetes de software disponibles, como javaPlex , Dionysus , Perseus , PHAT , DIPHA , GUDHI , Ripser y TDAstats . Otter et al. ^{[ 24 ]} realizan una comparación entre estas herramientas. Giotto-tda es un paquete de Python dedicado a integrar TDA en el flujo de trabajo de aprendizaje automático mediante scikit-learn.API. El paquete R TDA es capaz de calcular conceptos de reciente invención como el paisaje y el estimador de distancia kernel. ^{[ 25 ]} Topology ToolKit está especializado para datos continuos definidos en variedades de baja dimensión (1, 2 o 3), como las que se encuentran típicamente en la visualización científica . Cubicle está optimizado para grandes datos de imágenes en escala de grises (de gigabytes) en dimensión 1, 2 o 3 utilizando complejos cúbicos y la teoría discreta de Morse . Otro paquete R, TDAstats , utiliza la biblioteca Ripser para calcular la homología persistente. ^{[ 26 ]}

Es imposible visualizar directamente datos de alta dimensión. Se han desarrollado numerosos métodos para extraer una estructura de baja dimensión del conjunto de datos, como el análisis de componentes principales y el escalamiento multidimensional . ^{[ 27 ]} Sin embargo, es importante señalar que el problema en sí está mal planteado, ya que se pueden encontrar muchas características topológicas diferentes en el mismo conjunto de datos. Por lo tanto, el estudio de la visualización de espacios de alta dimensión es de vital importancia para el análisis topológico de datos (TDA), aunque no necesariamente implique el uso de homología persistente. No obstante, recientemente se han realizado intentos para utilizar la homología persistente en la visualización de datos. ^{[ 28 ]}

Carlsson et al. propusieron un método general llamado MAPPER . ^{[ 29 ]} Hereda la idea de Jean-Pierre Serre de que un recubrimiento preserva la homotopía. ^{[ 30 ]} Una formulación generalizada de MAPPER es la siguiente:

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$sean espacios topológicos y dejemos que${\displaystyle f\colon X\to Z}$Sea un mapa continuo.${\displaystyle \mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ser una cubierta abierta finita de${\displaystyle Z}$La salida de MAPPER es el nervio de la cubierta de retroceso${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$, donde cada preimagen se divide en sus componentes conexas. ^{[ 28 ]} Este es un concepto muy general, del cual el grafo de Reeb ^{[ 31 ]} y los árboles de fusión son casos especiales.

Esta no es exactamente la definición original. ^{[ 29 ]} Carlsson et al. eligen${\displaystyle Z}$ser${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y cubrirlo con conjuntos abiertos tales que como máximo dos se intersequen. ^{[ 3 ]} Esta restricción significa que la salida tiene la forma de una red compleja . Debido a que la topología de una nube de puntos finita es trivial, se utilizan métodos de agrupamiento (como el enlace simple ) para producir el análogo de conjuntos conectados en la preimagen.${\displaystyle f^{-1}(U)}$cuando MAPPER se aplica a datos reales.

Matemáticamente hablando, MAPPER es una variación del grafo de Reeb . Si el${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$es como máximo unidimensional, entonces para cada${\displaystyle i\geq 0}$,$${\displaystyle H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).}$$^{[ 32 ]} La flexibilidad añadida también tiene desventajas. Un problema es la inestabilidad, ya que un cambio en la elección de la cobertura puede provocar un cambio importante en la salida del algoritmo. ^{[ 33 ]} Se ha trabajado para superar este problema. ^{[ 28 ]}

Tres aplicaciones exitosas de MAPPER se pueden encontrar en Carlsson et al. ^{[ 34 ]} Un comentario sobre las aplicaciones en este artículo de J. Curry es que "una característica común de interés en las aplicaciones es la presencia de brotes o zarcillos". ^{[ 35 ]}

Existe una implementación gratuita de MAPPER, escrita por Daniel Müllner y Aravindakshan Babu, disponible en línea . MAPPER también constituye la base de la plataforma de IA de Ayasdi.

La persistencia multidimensional es importante para TDA. El concepto surge tanto en la teoría como en la práctica. La primera investigación de la persistencia multidimensional se realizó al principio del desarrollo de TDA. ^{[ 36 ]} Carlsson-Zomorodian introdujo la teoría de la persistencia multidimensional en ^{[ 37 ]} y en colaboración con Singh ^{[ 38 ]} introdujo el uso de herramientas del álgebra simbólica (métodos de base de Gröbner) para calcular módulos MPH. Su definición presenta la persistencia multidimensional con n parámetros como una${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$Módulo graduado sobre un anillo de polinomios en n variables. Se aplican herramientas del álgebra conmutativa y homológica al estudio de la persistencia multidimensional en el trabajo de Harrington-Otter-Schenck-Tillman. ^{[ 39 ]} La primera aplicación que aparece en la literatura es un método para la comparación de formas, similar a la invención de TDA. ^{[ 40 ]}

La definición de un módulo de persistencia n -dimensional en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es ^{[ 35 ]}

• espacio vectorial${\displaystyle V_{s}}$se asigna a cada punto en${\displaystyle s=(s_{1},\ldots ,s_{n})}$
• mapa${\displaystyle \rho _{s}^{t}\colon V_{s}\to V_{t}}$se asigna si${\displaystyle s\leq t}$(${\displaystyle s_{i}\leq t_{i},i=1,\ldots ,n)}$
• Los mapas satisfacen${\displaystyle \rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}}$a pesar de${\displaystyle r\leq s\leq t}$

Podría ser conveniente señalar que existen controversias sobre la definición de persistencia multidimensional. ^{[ 35 ]}

Una de las ventajas de la persistencia unidimensional es su representabilidad mediante un diagrama o código de barras. Sin embargo, no existen invariantes completos discretos de módulos de persistencia multidimensionales. ^{[ 41 ]} La razón principal de esto es que la estructura de la colección de indescomponibles se complica enormemente por el teorema de Gabriel en la teoría de las representaciones de carcaj, ^{[ 42 ]} aunque un módulo de persistencia n-dimensional finitamente generado puede descomponerse de forma única en una suma directa de indescomponibles debido al teorema de Krull-Schmidt. ^{[ 43 ]}

No obstante, se han establecido muchos resultados. Carlsson y Zomorodian introdujeron el invariante de rango.${\displaystyle \rho _{M}(u,v)}$, definido como el${\displaystyle \rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}\colon M_{u}\to M_{v})}$, en el cual${\displaystyle M}$es un módulo n-graduado finitamente generado. En una dimensión, es equivalente al código de barras. En la literatura, el invariante de rango se suele denominar número de Betti persistente (PBN). ^{[ 19 ]} En muchos trabajos teóricos, los autores han utilizado una definición más restringida, un análogo de la persistencia de conjuntos de subnivel. Específicamente, los números de Betti de persistencia de una función${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$están dadas por la función${\displaystyle \beta _{f}\colon \Delta ^{+}\to \mathrm {N} }$, tomando cada uno${\displaystyle (u,v)\in \Delta ^{+}}$a${\displaystyle \beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))}$, dónde${\displaystyle \Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}}$y${\displaystyle X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}}$.

Algunas propiedades básicas incluyen la monotonicidad y el salto diagonal. ^{[ 44 ]} Los números de Betti persistentes serán finitos si${\displaystyle X}$es un subespacio compacto y localmente contraíble de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. ^{[ 45 ]}

Utilizando un método de foliación, las PBN k-dim se pueden descomponer en una familia de PBN 1-dim por deducción de dimensionalidad. ^{[ 46 ]} Este método también ha llevado a una prueba de que las PBN multi-dim son estables. ^{[ 47 ]} Las discontinuidades de las PBN solo ocurren en puntos${\displaystyle (u,v)(u\leq v)}$donde o${\displaystyle u}$es un punto discontinuo de${\displaystyle \rho _{M}(\star ,v)}$o ${\displaystyle v}$es un punto discontinuo de${\displaystyle \rho (u,\star )}$bajo el supuesto de que${\displaystyle f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})}$y${\displaystyle X}$es un espacio topológico compacto y triangulable. ^{[ 48 ]}

El espacio persistente, una generalización del diagrama persistente, se define como el multiconjunto de todos los puntos con multiplicidad mayor que 0 y la diagonal. ^{[ 49 ]} Proporciona una representación estable y completa de las PBN. Un trabajo en curso de Carlsson et al. intenta dar una interpretación geométrica de la homología persistente, lo que podría proporcionar información sobre cómo combinar la teoría del aprendizaje automático con el análisis topológico de datos. ^{[ 50 ]}

El primer algoritmo práctico para calcular la persistencia multidimensional se inventó muy pronto. ^{[ 51 ]} Después de eso, se han propuesto muchos otros algoritmos, basados ​​en conceptos como la teoría discreta de Morse ^{[ 52 ]} y la estimación de muestras finitas. ^{[ 53 ]}

El paradigma estándar en TDA se suele denominar persistencia de subnivel . Además de la persistencia multidimensional, se han realizado numerosos trabajos para extender este caso particular.

Una ventaja de la teoría de categorías es su capacidad para elevar los resultados concretos a un nivel superior, mostrando relaciones entre objetos aparentemente no conectados. Peter Bubenik et al. ^{[ 64 ]} ofrece una breve introducción a la teoría de categorías adaptada al TDA.

La teoría de categorías es el lenguaje del álgebra moderna y se ha utilizado ampliamente en el estudio de la geometría algebraica y la topología. Se ha señalado que "la observación clave de ^{[ 10 ]} es que el diagrama de persistencia producido por ^{[ 8 ]} depende únicamente de la estructura algebraica que contiene este diagrama". ^{[ 65 ]} El uso de la teoría de categorías en TDA ha demostrado ser fructífero. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

Siguiendo las anotaciones hechas en Bubenik et al., ^{[ 65 ]} la categoría de indexación${\textstyle P}$es cualquier conjunto reservado (no necesariamente${\displaystyle \mathbb {N} }$o${\displaystyle \mathbb {R} }$), la categoría objetivo${\displaystyle D}$es cualquier categoría (en lugar de la comúnmente utilizada)${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$), y functores${\textstyle P\to D}$se denominan módulos de persistencia generalizados en${\displaystyle D}$, encima${\textstyle P}$.

Una ventaja de usar la teoría de categorías en TDA es una comprensión más clara de los conceptos y el descubrimiento de nuevas relaciones entre las demostraciones. Tomemos dos ejemplos para ilustrarlo. La comprensión de la correspondencia entre entrelazamiento y emparejamiento es de gran importancia, ya que el emparejamiento ha sido el método utilizado al principio (modificado de la teoría de Morse). Un resumen de los trabajos se puede encontrar en Vin de Silva et al. ^{[ 66 ]} Muchos teoremas se pueden demostrar mucho más fácilmente en un entorno más intuitivo. ^{[ 63 ]} Otro ejemplo es la relación entre la construcción de diferentes complejos a partir de nubes de puntos. Se ha observado desde hace tiempo que los complejos de Čech y Vietoris-Rips están relacionados. Específicamente,${\displaystyle V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)}$. ^{[ 67 ]} La relación esencial entre los complejos de Cech y Rips se puede ver mucho más claramente en lenguaje categórico. ^{[ 66 ]}

El lenguaje de la teoría de categorías también ayuda a expresar los resultados en términos reconocibles para la comunidad matemática en general. La distancia de cuello de botella se usa ampliamente en TDA debido a los resultados sobre estabilidad con respecto a la distancia de cuello de botella. ^{[ 13 ] [ 16 ]} De hecho, la distancia de entrelazado es el objeto terminal en una categoría de poset de métricas estables en módulos de persistencia multidimensionales en un cuerpo primo . ^{[ 63 ] [ 68 ]}

Los haces , un concepto central en la geometría algebraica moderna , están intrínsecamente relacionados con la teoría de categorías. En términos generales, los haces son la herramienta matemática para comprender cómo la información local determina la información global. Justin Curry considera la persistencia de conjuntos de nivel como el estudio de fibras de funciones continuas. Los objetos que estudia son muy similares a los de MAPPER, pero con la teoría de haces como fundamento teórico. ^{[ 35 ]} Aunque ningún avance en la teoría de TDA ha utilizado aún la teoría de haces, resulta prometedor, ya que existen muchos teoremas hermosos en geometría algebraica relacionados con ella. Por ejemplo, una pregunta teórica natural es si diferentes métodos de filtrado dan como resultado el mismo resultado. ^{[ 69 ]}

La estabilidad es de vital importancia para el análisis de datos, ya que los datos reales contienen ruido. Mediante el uso de la teoría de categorías, Bubenik et al. han distinguido entre teoremas de estabilidad suaves y duros, y han demostrado que los casos suaves son formales. ^{[ 65 ]} Específicamente, el flujo de trabajo general de TDA es

El teorema de estabilidad suave afirma que${\displaystyle HF}$es Lipschitz continua y el teorema de estabilidad dura afirma que${\displaystyle J}$es Lipschitz continua.

La distancia de cuello de botella se utiliza ampliamente en TDA. El teorema de isometría afirma que la distancia de intercalación${\displaystyle d_{I}}$es igual a la distancia del cuello de botella. ^{[ 63 ]} Bubenik et al. han abstraído la definición a la que existe entre functores${\displaystyle F,G\colon P\to D}$ cuando${\textstyle P}$está equipado con una proyección sublineal o una familia superlineal, en la que aún permanece una pseudométrica. ^{[ 65 ]} Considerando los magníficos caracteres de la distancia de entrelazamiento, ^{[ 70 ]} aquí introducimos la definición general de distancia de entrelazamiento (en lugar de la primera introducida): ^{[ 13 ]} Sea${\displaystyle \Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}} }$(una función de${\textstyle P}$a${\textstyle P}$que es monótono y satisface${\displaystyle x\leq \Gamma (x)}$ a pesar de${\textstyle x\in P}$). A${\displaystyle (\Gamma ,K)}$-La intercalación entre F y G consiste en transformaciones naturales.${\displaystyle \varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma }$y${\displaystyle \psi \colon G\Rightarrow FK}$, de tal manera que${\displaystyle (\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }}$y${\displaystyle (\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}}$.

Los dos resultados principales son ^{[ 65 ]}

• Dejar${\textstyle P}$Sea un conjunto preordenado con una proyección sublineal o una familia superlineal.${\textstyle H:D\to E}$ser un functor entre categorías arbitrarias${\textstyle D,E}$. Entonces, para cualesquiera dos functores${\textstyle F,G\colon P\to D}$, tenemos${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$.
• Dejar${\textstyle P}$ser un conjunto parcialmente ordenado de un espacio métrico${\textstyle Y}$,${\textstyle X}$Sea un espacio topológico. Y sea${\textstyle f,g\colon X\to Y}$(no necesariamente continuas) sean funciones, y${\textstyle F,G}$ser el diagrama de persistencia correspondiente. Entonces${\displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$.

Estos dos resultados resumen muchos resultados sobre la estabilidad de diferentes modelos de persistencia.

Para el teorema de estabilidad de la persistencia multidimensional, consulte la subsección de persistencia.

El teorema de estructura es de vital importancia para TDA; como comentó G. Carlsson, "lo que hace que la homología sea útil como discriminador entre espacios topológicos es el hecho de que existe un teorema de clasificación para grupos abelianos finitamente generados". ^{[ 3 ]} (véase el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados ).

El argumento principal utilizado en la demostración del teorema de estructura original es el teorema de estructura estándar para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . ^{[ 10 ]} Sin embargo, este argumento falla si el conjunto de indexación es${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$. ^{[ 3 ]}

En general, no todos los módulos de persistencia pueden descomponerse en intervalos. ^{[ 71 ]} Se han realizado muchos intentos para relajar las restricciones del teorema de estructura original. El caso de módulos de persistencia puntualmente finitos dimensionales indexados por un subconjunto localmente finito de${\displaystyle \mathbb {R} }$se resuelve basándose en el trabajo de Webb. ^{[ 72 ]} El resultado más notable lo realizó Crawley-Boevey, que resolvió el caso de${\displaystyle \mathbb {R} }$El teorema de Crawley-Boevey establece que cualquier módulo de persistencia puntual de dimensión finita es una suma directa de módulos de intervalo. ^{[ 73 ]}

Para comprender la definición de su teorema, es necesario introducir algunos conceptos. Un intervalo en${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$se define como un subconjunto${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$tener la propiedad que si${\displaystyle r,t\in I}$y si hay un${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle r\leq s\leq t}$, entonces${\displaystyle s\in I}$También. Un módulo de intervalos${\displaystyle k_{I}}$asigna a cada elemento${\displaystyle s\in I}$el espacio vectorial${\displaystyle k}$y asigna el espacio vectorial cero a los elementos en${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I}$Todos los mapas${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$son el mapa cero, a menos que${\displaystyle s,t\in I}$y${\displaystyle s\leq t}$, en cuyo caso${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$es el mapa identidad. ^{[ 35 ]} Los módulos de intervalo son indescomponibles. ^{[ 74 ]}

Aunque el resultado de Crawley-Boevey es un teorema muy poderoso, todavía no se extiende al caso q-manso. ^{[ 71 ]} Un módulo de persistencia es q-manso si el rango de${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$es finito para todos${\displaystyle s<t}$. Existen ejemplos de módulos de persistencia q-mansos que no son puntualmente finitos. ^{[ 75 ]} Sin embargo, resulta que un teorema de estructura similar sigue siendo válido si se eliminan las características que existen solo en un valor de índice. ^{[ 74 ]} Esto se cumple porque las partes de dimensión infinita en cada valor de índice no persisten, debido a la condición de rango finito. ^{[ 76 ]} Formalmente, la categoría observable${\displaystyle \mathrm {Ob} }$se define como${\displaystyle \mathrm {Pers} /\mathrm {Eph} }$, en el cual${\displaystyle \mathrm {Eph} }$denota la subcategoría completa de${\displaystyle \mathrm {Pers} }$cuyos objetos son los módulos efímeros (${\displaystyle \rho _{s}^{t}=0}$cuando sea${\displaystyle s<t}$). ^{[ 74 ]}

Tenga en cuenta que los resultados extendidos que se enumeran aquí no se aplican a la persistencia en zigzag, ya que el análogo de un módulo de persistencia en zigzag sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$No es inmediatamente obvio.

Los datos reales son siempre finitos, por lo que su estudio requiere tener en cuenta la estocasticidad. El análisis estadístico nos permite separar las características verdaderas de los datos de los artefactos introducidos por el ruido aleatorio. La homología persistente no posee un mecanismo inherente para distinguir entre características de baja y alta probabilidad.

Una forma de aplicar la estadística al análisis de datos topológicos es estudiar las propiedades estadísticas de las características topológicas de las nubes de puntos. El estudio de los complejos simpliciales aleatorios ofrece algunas claves para comprender la topología estadística. Katharine Turner et al. ^{[ 77 ]} ofrece un resumen de trabajos en esta línea.

Una segunda forma es estudiar las distribuciones de probabilidad en el espacio de persistencia. El espacio de persistencia${\displaystyle B_{\infty }}$es${\displaystyle \coprod _{n}B_{n}/{\backsim }}$, dónde${\displaystyle B_{n}}$es el espacio de todos los códigos de barras que contienen exactamente${\displaystyle n}$los intervalos y las equivalencias son${\displaystyle \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}}$si${\displaystyle x_{n}=y_{n}}$. ^{[ 78 ]} Este espacio es bastante complicado; por ejemplo, no es completo bajo la métrica de cuello de botella. El primer intento realizado para estudiarlo fue por Yuriy Mileyko et al. ^{[ 79 ]} El espacio de diagramas de persistencia${\displaystyle D_{p}}$en su artículo se define como$${\displaystyle D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}}$$dónde${\displaystyle \Delta }$es la línea diagonal en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Una buena propiedad es que${\displaystyle D_{p}}$es completo y separable en la métrica de Wasserstein${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}$La esperanza matemática, la varianza y la probabilidad condicional pueden definirse en el sentido de Fréchet . Esto permite adaptar muchas herramientas estadísticas al análisis de datos topológicos (TDA). Los trabajos sobre pruebas de significación de hipótesis nula ^{[ 80 ]} , intervalos de confianza ^{[ 81 ]} y estimaciones robustas ^{[ 82 ]} son ​​avances notables.

Una tercera forma es considerar la cohomología del espacio probabilístico o de los sistemas estadísticos directamente, llamados estructuras de información y que consisten básicamente en la tripleta (${\displaystyle \Omega ,\Pi ,P}$), espacio muestral , variables aleatorias y leyes de probabilidad. ^{[ 83 ] [ 84 ]} Las variables aleatorias se consideran particiones de las n probabilidades atómicas (vistas como un (n-1)-símplex de probabilidad,${\displaystyle |\Omega |=n}$) en la red de particiones (${\displaystyle \Pi _{n}}$). Las variables aleatorias o módulos de funciones medibles proporcionan los complejos de cocadenas, mientras que la cofrontera se considera como el álgebra homológica general descubierta por primera vez por Gerhard Hochschild con una acción izquierda que implementa la acción de condicionamiento. La primera condición de cociclo corresponde a la regla de la cadena de la entropía, lo que permite derivar de forma única, salvo la constante multiplicativa, la entropía de Shannon como la primera clase de cohomología. La consideración de una acción izquierda deformada generaliza el marco a las entropías de Tsallis. La cohomología de la información es un ejemplo de topos anillado. La información mutua k-multivariada aparece en las expresiones de cofronteras, y su anulación, relacionada con la condición de cociclo, da condiciones equivalentes para la independencia estadística. ^{[ 85 ]} Los mínimos de información mutua, también llamados sinergia, dan lugar a interesantes configuraciones de independencia análogas a los enlaces homotópicos. Debido a su complejidad combinatoria, solo se ha investigado el subcaso simplicial de la cohomología y de la estructura de la información en los datos. Aplicadas a los datos, estas herramientas cohomológicas cuantifican las dependencias e independencias estadísticas, incluyendo cadenas de Markov e independencia condicional , en el caso multivariado. ^{[ 86 ]} Cabe destacar que la información mutua generaliza el coeficiente de correlación y la covarianza a dependencias estadísticas no lineales. Estos enfoques se desarrollaron de forma independiente y solo indirectamente relacionados con los métodos de persistencia, pero pueden entenderse aproximadamente en el caso simplicial utilizando el Teorema de Hu Kuo Tin, que establece una correspondencia biunívoca entre las funciones de información mutua y una función finita medible de un conjunto con operador de intersección, para construir el esqueleto complejo de Čech . La cohomología de la información ofrece una interpretación y aplicación directas en términos de neurociencia (teoría del ensamblaje neuronal y cognición cualitativa ^{[ 87 ]} ), física estadística y redes neuronales profundas, cuya estructura y algoritmo de aprendizaje están impuestos por el complejo de variables aleatorias y la regla de la cadena de información. ^{[ 88 ]}

Los paisajes de persistencia, introducidos por Peter Bubenik, son una forma diferente de representar códigos de barras, más adecuada para el análisis estadístico. ^{[ 89 ]} El paisaje de persistencia de un módulo persistente${\displaystyle M}$se define como una función${\displaystyle \lambda$ :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}} ,${\displaystyle \lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)}$, dónde${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$denota la recta real extendida y${\displaystyle \beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))}$El espacio de paisajes de persistencia es muy interesante: hereda todas las buenas propiedades de la representación de códigos de barras (estabilidad, fácil representación, etc.), pero las cantidades estadísticas se pueden definir fácilmente y se pueden superar algunos problemas del trabajo de Y. Mileyko et al., como la no unicidad de las expectativas, ^{[ 79 ]} . Existen algoritmos eficaces para el cálculo con paisajes de persistencia. ^{[ 90 ]} Otro enfoque consiste en utilizar la persistencia revisada, que es la persistencia de imagen, de núcleo y de conúcleo. ^{[ 91 ]}

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