Espino

Existen fundamentalmente dos marcos conceptuales para abordar la noción de espinor: el punto de vista de la teoría de la representación y el punto de vista geométrico .

El lenguaje de las álgebras de Clifford ^{[ 2 ]} (a veces llamadas álgebras geométricas ) proporciona una imagen completa de las representaciones de espín de todos los grupos de espín y las diversas relaciones entre dichas representaciones, mediante la clasificación de las álgebras de Clifford . Esto elimina en gran medida la necesidad de construcciones ad hoc .

En detalle, sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita con forma bilineal simétrica no degenerada g . El álgebra de Clifford Cℓ( V , g ) es el álgebra generada por V sujeta a la relación de anticonmutación xy + yx = 2 g ( x , y ) . Es una versión abstracta del álgebra generada por las matrices gamma o de Pauli . Si V = ℂ ⁿ con la forma estándar g ( x , y ) = x ^T y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _n , se escribe Cℓ _n (ℂ) para esta álgebra de Clifford; dado que toda forma bilineal simétrica no degenerada en un espacio vectorial complejo es equivalente a la estándar, esta notación se usa a menudo siempre que dim _ℂ ( V ) = n . Si n = 2 k es par, entonces Cℓ _n (ℂ) es isomorfo, no canónicamente, a Mat(2 ^k , ℂ) , por lo que tiene un único módulo irreducible Δ de dimensión 2 ^k . Si n = 2 k + 1 es impar, entonces Cℓ _n (ℂ) es isomorfo a Mat(2 ^k , ℂ) ⊕ Mat(2 ^k , ℂ) , y por lo tanto tiene dos módulos irreducibles no equivalentes, cada uno de dimensión 2 ^k . El álgebra de Lie so ( V , g ) se incrusta en la parte par del álgebra de Clifford, equipada con el corchete conmutador, y por lo tanto actúa sobre estos módulos. Cuando n es impar, los dos módulos irreducibles de Clifford se restringen a representaciones irreducibles isomorfas de so ( V , g ) ; esta representación se llama representación de espín y a menudo se denota Δ . Cuando n es par, el único módulo de Clifford irreducible Δ permanece irreducible para el álgebra de Clifford completa, pero al restringirlo al álgebra de Clifford par, o equivalentemente al grupo de espín, se divide como $${\displaystyle \Delta =\Delta _{+}\oplus \Delta _{-},}$$ donde Δ ₊ y Δ ₋ son las representaciones de Weyl, o de medio espín.

Las representaciones irreducibles sobre los números reales en el caso en que V es un espacio vectorial real son mucho más complejas, y para obtener más detalles, se remite al lector al artículo sobre el álgebra de Clifford .

Los espinores forman un espacio vectorial , generalmente sobre los números complejos , dotado de una representación lineal del grupo de espín que no se factoriza a través de una representación del grupo de rotaciones (véase el diagrama). El grupo de espín es el grupo de rotaciones que mantiene el control de la clase de homotopía. Los espinores son necesarios para codificar información básica sobre la topología del grupo de rotaciones porque ese grupo no es simplemente conexo , pero el grupo de espín simplemente conexo es su doble recubrimiento . Así, para cada rotación hay dos elementos del grupo de espín que la representan. Los vectores geométricos y otros tensores no pueden percibir la diferencia entre estos dos elementos, pero producen signos opuestos cuando afectan a cualquier espinor bajo la representación. Si pensamos en los elementos del grupo de espín como clases de homotopía de familias de rotaciones uniparamétricas, cada rotación está representada por dos clases de homotopía distintas de caminos hacia la identidad. Si una familia de rotaciones de un parámetro se visualiza como una cinta en el espacio, donde el parámetro de longitud de arco de esa cinta es el parámetro (su marco tangente, normal y binormal en realidad da la rotación), entonces estas dos clases de homotopía distintas se visualizan en los dos estados del rompecabezas del truco del cinturón (arriba). El espacio de espinores es un espacio vectorial auxiliar que puede construirse explícitamente en coordenadas, pero en última instancia solo existe salvo isomorfismo, ya que no hay una construcción "natural" de ellos que no dependa de elecciones arbitrarias como los sistemas de coordenadas. Una noción de espinores puede asociarse, como tal objeto matemático auxiliar, con cualquier espacio vectorial equipado con una forma cuadrática como el espacio euclidiano con su producto escalar estándar , o el espacio de Minkowski con su métrica de Lorentz . En este último caso, las "rotaciones" incluyen los impulsos de Lorentz , pero por lo demás la teoría es sustancialmente similar.

En física, un campo espinorial es un campo cuyos valores pertenecen a una representación espinorial. En el espacio de Minkowski , o más generalmente en una variedad espaciotemporal que admite una estructura de espín , se forma un fibrado espinorial asociado al fibrado de espín principal y a una representación de espín elegida; los campos espinoriales son secciones de este fibrado. En el espaciotiempo plano, este fibrado puede trivializarse, por lo que los campos espinoriales se suelen escribir simplemente como funciones con valores espinoriales en el espaciotiempo.

Los campos espinoriales más comunes en física relativista son los campos espinoriales de Dirac , Weyl y Majorana . Un espinor de Dirac es una sección del fibrado espinorial complejo completo. En dimensiones pares, cuando la representación de espín se divide en mitades quirales, las secciones de los dos sumandos se denominan espinores de Weyl . Un espinor de Majorana es un espinor que satisface una condición de realidad, cuando la representación de espín correspondiente la admite.

Los campos espinoriales entran en la física a través de ecuaciones como la ecuación de Dirac y la ecuación de Weyl , que son ecuaciones diferenciales de primer orden en el fibrado espinorial. Estas ecuaciones describen campos relativistas de espín 1/2 y desempeñan un papel fundamental en la teoría cuántica de campos y la geometría diferencial. Para más detalles, véase espinor de Dirac , espinor de Weyl , espinor de Majorana y fibrado espinorial .

Una importante aplicación matemática de la construcción de espinores es posibilitar la construcción explícita de representaciones lineales de las álgebras de Lie de los grupos ortogonales especiales y, por consiguiente, representaciones espinoriales de los propios grupos. A un nivel más profundo, se ha descubierto que los espinores son fundamentales para los enfoques del teorema del índice de Atiyah-Singer y que proporcionan construcciones, en particular, para representaciones de series discretas de grupos semisimples .

Las representaciones de espín de las álgebras de Lie ortogonales especiales se distinguen de las representaciones tensoriales dadas por la construcción de Weyl mediante los pesos . Mientras que los pesos de las representaciones tensoriales son combinaciones lineales enteras de las raíces del álgebra de Lie, los de las representaciones de espín son combinaciones lineales semienteras de las mismas. Se pueden encontrar detalles explícitos en el artículo sobre representaciones de espín .

El espinor puede describirse, en términos sencillos, como "vectores de un espacio cuyas transformaciones están relacionadas de una manera particular con rotaciones en el espacio físico". ^{[ 3 ]} Dicho de otro modo:

Los espinores... proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número${\displaystyle n}$de dimensiones, cada espinor tiene${\displaystyle 2^{\nu }}$componentes donde${\displaystyle n=2\nu +1}$o${\displaystyle 2\nu }$. ^{[ 4 ]}

Se han formulado varias maneras de ilustrar analogías cotidianas en términos del truco de la placa , los tangloides y otros ejemplos de entrelazamiento de orientación .

No obstante, el concepto se considera generalmente notoriamente difícil de entender, como lo ilustra la declaración de Michael Atiyah que relata el biógrafo de Dirac, Graham Farmelo:

Nadie comprende del todo los espinores. Su álgebra se entiende formalmente, pero su significado general es misterioso. En cierto sentido, describen la "raíz cuadrada" de la geometría y, al igual que comprender la raíz cuadrada de −1 llevó siglos, lo mismo podría ocurrir con los espinores. ^{[ 5 ]}

El álgebra de Clifford Cℓ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) se construye a partir de una unidad escalar, 1, dos vectores unitarios ortogonales, σ ₁ y σ ₂ , y una unidad pseudoescalar i = σ ₁ σ ₂ . De las definiciones anteriores, es evidente que ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1 , y ( σ ₁ σ ₂ ) ( σ ₁ σ ₂ ) = − σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ = −1 .

La subálgebra par Cℓ ⁰ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$), abarcado por elementos base de grado uniforme de Cℓ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$), determina el espacio de espinores a través de sus representaciones. Está formado por combinaciones lineales reales de 1 y σ ₁ σ ₂ . Como álgebra real, Cℓ ⁰ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) es isomorfo al campo de los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$. Como resultado, admite una operación de conjugación (análoga a la conjugación compleja ), a veces llamada la inversa de un elemento de Clifford, definida por $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}}$$ que, según las relaciones de Clifford, se puede escribir $${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

La acción de un elemento par de Clifford γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) sobre vectores, considerados como elementos graduados 1 de Cℓ _2,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$), se determina mapeando un vector general u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ al vector $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$ dónde${\displaystyle \gamma ^{*}}$es el conjugado de${\displaystyle \gamma }$y el producto es la multiplicación de Clifford. En esta situación, un espinor ^{[ e ]} es un número complejo ordinario. La acción de${\displaystyle \gamma }$en un espín${\displaystyle \phi }$se obtiene mediante la multiplicación compleja ordinaria: $${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

Una característica importante de esta definición es la distinción entre vectores ordinarios y espinores, que se manifiesta en cómo los elementos de grado par actúan sobre cada uno de ellos de maneras diferentes. En general, una rápida comprobación de las relaciones de Clifford revela que los elementos de grado par conmutan conjugados con los vectores ordinarios: $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

Por otro lado, en comparación con su acción sobre los espinores${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$, la acción de${\displaystyle \gamma }$En los vectores ordinarios aparece como el cuadrado de su acción sobre los espinores.

Consideremos, por ejemplo, la implicación que esto tiene para las rotaciones planas. Rotar un vector un ángulo θ corresponde a γ ² = exp( θ σ ₁ σ ₂ ) , de modo que la acción correspondiente sobre los espinores es mediante γ = ± exp( θ σ ₁ σ ₂ /2) . En general, debido a la ramificación logarítmica , es imposible elegir un signo de forma consistente. Por lo tanto, la representación de las rotaciones planas sobre los espinores es bivaluada.

En las aplicaciones de espinores en dos dimensiones, es común aprovechar el hecho de que el álgebra de elementos con grado par (es decir, el anillo de números complejos) es idéntica al espacio de espinores. Así, por un uso indebido del lenguaje , a menudo se confunden ambos conceptos. Se puede entonces hablar de "la acción de un espinor sobre un vector". En un contexto general, tales afirmaciones carecen de sentido. Pero en dimensiones 2 y 3 (como se aplica, por ejemplo, a los gráficos por computadora ) sí tienen sentido.

El álgebra de Clifford Cℓ _3,0 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) se construye a partir de una unidad escalar, 1, tres vectores unitarios ortogonales, σ ₁ , σ ₂ y σ ₃ , los tres bivectores unitarios σ ₁ σ ₂ , σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ y el pseudoescalar i = σ ₁ σ ₂ σ ₃ . Es sencillo demostrar que ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1 , y ( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² = ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ² = −1 .

La subálgebra de elementos de grado par está compuesta por dilataciones escalares, $${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$ y rotaciones vectoriales $${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$ dónde

corresponde a una rotación vectorial a través de un ángulo θ alrededor de un eje definido por un vector unitario v = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ + a ₃ σ ₃ .

Como caso especial, es fácil ver que, si v = σ ₃ , esto reproduce la rotación σ ₁ σ ₂ considerada en la sección anterior; y que dicha rotación deja invariantes los coeficientes de los vectores en la dirección σ _{3 , ya que}

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

Los bivectores σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ y σ ₁ σ ₂ son, de hecho, los cuaterniones i , j , y k de Hamilton , descubiertos en 1843:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

Con la identificación de los elementos de grado par con el álgebra${\displaystyle \mathbb {H} }$de cuaterniones, como en el caso de dos dimensiones la única representación del álgebra de elementos de grado par es sobre sí misma. ^{[ f ]} Así, los espinores (reales ^{[ g ]} ) en tres dimensiones son cuaterniones, y la acción de un elemento de grado par sobre un espinor viene dada por la multiplicación cuaterniónica ordinaria.

Nótese que en la expresión (1) para una rotación vectorial a través de un ángulo θ , el ángulo que aparece en γ se redujo a la mitad . Por lo tanto, la rotación espinorial γ ( ψ ) = γψ (multiplicación cuaterniónica ordinaria) rotará el espinor ψ a través de un ángulo que es la mitad de la medida del ángulo de la rotación vectorial correspondiente. Una vez más, el problema de elevar una rotación vectorial a una rotación espinorial es bivaluado: la expresión (1) con (180° + θ /2) en lugar de θ /2 producirá la misma rotación vectorial, pero el negativo de la rotación espinorial.

La representación de rotaciones en 3D mediante espinores/cuaterniones se está volviendo cada vez más común en la geometría computacional y otras aplicaciones, debido a la notable brevedad de la matriz de espín correspondiente y la simplicidad con la que se pueden multiplicar entre sí para calcular el efecto combinado de rotaciones sucesivas alrededor de diferentes ejes.

Dado un espacio vectorial V y una forma cuadrática g, una representación matricial explícita del álgebra de Clifford Cℓ( V , g ) se puede definir de la siguiente manera. Elija una base ortonormal e ¹ ... e ⁿ para V ie g ( e ^μ e ^ν ) = η ^μν donde η ^μμ = ±1 y η ^μν = 0 para μ ≠ ν . Sea k = ⌊ n /2⌋ . Fije un conjunto de matrices 2 ^k × 2 ^k γ ¹ ... γ ⁿ tal que γ ^μ γ ^ν + γ ^ν γ ^μ = 2 η ^μν 1 (es decir, fije una convención para las matrices gamma ). Entonces, la asignación e ^μ → γ ^μ se extiende de forma única a un homomorfismo de álgebras Cℓ( V , g ) → Mat(2 ^k , ℂ) enviando el monomio e ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ e ^{μ _k} en el álgebra de Clifford al producto γ ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ γ ^{μ _k} de matrices y extendiéndolo linealmente. El espacio${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$El espacio sobre el que actúan las matrices gamma es ahora un espacio de espinores. Sin embargo, es necesario construir explícitamente dichas matrices. En dimensión 3, definir las matrices gamma como las matrices sigma de Pauli da lugar a los conocidos espinores de dos componentes utilizados en la mecánica cuántica no relativista . Del mismo modo, usar las matrices gamma de Dirac de 4 × 4 da lugar a los espinores de Dirac de 4 componentes utilizados en la teoría cuántica de campos relativista de 3+1 dimensiones . En general, para definir matrices gamma del tipo requerido, se pueden usar las matrices de Weyl-Brauer .

En esta construcción, la representación del álgebra de Clifford Cℓ( V , g ) , el álgebra de Lie so ( V , g ) , y el grupo Spin Spin( V , g ) , dependen de la elección de la base ortonormal y de la elección de las matrices gamma. Esto puede generar confusión en cuanto a las convenciones, pero los invariantes como las trazas son independientes de las elecciones. En particular, todas las cantidades físicamente observables deben ser independientes de dichas elecciones. En esta construcción, un espinor puede representarse como un vector de 2 ^k números complejos y se denota con índices de espinor (generalmente α , β , γ ). En la literatura física, estos índices se utilizan a menudo para denotar espinores incluso cuando se utiliza una construcción de espinor abstracta.

Hay al menos dos maneras diferentes, pero esencialmente equivalentes, de definir espinores de forma abstracta. Un enfoque busca identificar los ideales mínimos para la acción izquierda de Cℓ( V , g ) sobre sí mismo. Estos son subespacios del álgebra de Clifford de la forma Cℓ( V , g ) ω , que admiten la acción evidente de Cℓ( V , g ) por multiplicación izquierda: c : xω → cxω . Hay dos variaciones sobre este tema: se puede encontrar un elemento primitivo ω que sea un elemento nilpotente del álgebra de Clifford, o uno que sea idempotente . La construcción a través de elementos nilpotentes es más fundamental en el sentido de que se puede producir un idempotente a partir de él. ^{[ 17 ]} De esta manera, las representaciones de espinores se identifican con ciertos subespacios del álgebra de Clifford misma. El segundo enfoque consiste en construir un espacio vectorial utilizando un subespacio distinguido de V , y luego especificar la acción del álgebra de Clifford externamente a ese espacio vectorial.

En ambos enfoques, la noción fundamental es la de un subespacio isotrópico W. Cada construcción depende de una libertad inicial para elegir este subespacio. En términos físicos, esto corresponde al hecho de que no existe un protocolo de medición que pueda especificar una base del espacio de espín, incluso si se proporciona una base preferida de V.

Como se indicó anteriormente, sea ( V , g ) un espacio vectorial complejo n -dimensional dotado de una forma bilineal no degenerada. Si V es un espacio vectorial real, entonces reemplazamos V por su complejización.${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$y sea g la forma bilineal inducida en${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$. Sea W un subespacio isotrópico maximal, es decir, un subespacio maximal de V tal que g | _W = 0 . Si n = 2 k es par, entonces sea W ′ un subespacio isotrópico complementario a W . Si n = 2 k + 1 es impar, sea W ′ un subespacio isotrópico maximal con W ∩ W ′ = 0 , y sea U el complemento ortogonal de W ⊕ W ′ . En ambos casos de dimensión par e impar, W y W ′ tienen dimensión k . En el caso de dimensión impar, U es unidimensional, generado por un vector unitario u .

Dado que W ′ es isotrópico, la multiplicación de elementos de W ′ dentro de Cℓ( V , g ) es sesgada . Por lo tanto, los vectores en W ′ anticonmutan, y Cℓ( W ′ , g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0) es simplemente el álgebra exterior Λ ^∗ W ′ . En consecuencia, el producto k -ésimo de W ′ consigo mismo, W ′ ^k , es unidimensional. Sea ω un generador de W ′ ^k . En términos de una base w ′ ₁ , ..., w ′ _k de W ′ , una posibilidad es establecer $${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

Nótese que ω ² = 0 (es decir, ω es nilpotente de orden 2) y, además, w ′ ω = 0 para todo w ′ ∈ W ′ . Los siguientes hechos se pueden demostrar fácilmente:

1. Si n = 2k , entonces el ideal izquierdo Δ = Cℓ( V , g ) ω es un ideal izquierdo mínimo. Además, este se divide en los dos espacios de espín Δ ₊ = Cℓ ^par ω y Δ− ₌ Cℓ ^impar ω al restringirlo a la acción del álgebra de Clifford par.
2. Si n = 2 k + 1 , entonces la acción del vector unitario u sobre el ideal izquierdo Cℓ( V , g ) ω descompone el espacio en un par de autoespacios irreducibles isomorfos (ambos denotados por Δ), correspondientes a los respectivos autovalores +1 y −1.

En detalle, supongamos, por ejemplo, que n es par. Supongamos que I es un ideal izquierdo no nulo contenido en Cℓ( V , g ) ω . Demostraremos que I debe ser igual a Cℓ( V , g ) ω probando que contiene un múltiplo escalar no nulo de ω .

Fijemos una base w _i de W y una base complementaria w _i ′ de W ′ de modo que

Nótese que cualquier elemento de I debe tener la forma αω , en virtud de nuestra suposición de que I ⊂ Cℓ( V , g ) ω . Sea αω ∈ I cualquier elemento de este tipo. Usando la base elegida, podemos escribir $${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$ donde los a _{i 1 ... i p} son escalares, y los B _j son elementos auxiliares del álgebra de Clifford. Observe ahora que el producto $${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$ Escoja cualquier monomio no nulo a en la expansión de α con grado homogéneo máximo en los elementos w _i : $${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$(sin suma implícita), entonces $${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$ es un múltiplo escalar distinto de cero de ω , como se requiere.

Nótese que para n par, este cálculo también muestra que $${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$ como un espacio vectorial. En la última igualdad volvimos a usar que W es isotrópico. En términos físicos, esto muestra que Δ se construye como un espacio de Fock creando espinores usando operadores de creación anticonmutativos en W que actúan sobre un vacío ω .

Los cálculos con la construcción ideal mínima sugieren que una representación espinorial también puede definirse directamente utilizando el álgebra exterior Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j W del subespacio isotrópico W. Sea Δ = Λ ^∗ W el álgebra exterior de W considerada únicamente como espacio vectorial. Esta será la representación espinorial, y sus elementos se denominarán espinores. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

La acción del álgebra de Clifford sobre Δ se define primero dando la acción de un elemento de V sobre Δ, y luego demostrando que esta acción respeta la relación de Clifford y, por lo tanto, se extiende a un homomorfismo del álgebra de Clifford completa en el anillo de endomorfismos End(Δ) por la propiedad universal de las álgebras de Clifford . Los detalles difieren ligeramente según si la dimensión de V es par o impar.

Cuando dim( V ) es par, V = W ⊕ W ′ donde W ′ es el complemento isotrópico elegido. Por lo tanto, cualquier v ∈ V se descompone de forma única como v = w + w ′ con w ∈ W y w ′ ∈ W ′ . La acción de v sobre un espinor viene dada por $${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$ donde i ( w ′ ) es el producto interior con w ′ usando la forma cuadrática no degenerada para identificar V con V ^∗ , y ε ( w ) denota el producto exterior . Esta acción a veces se llama producto de Clifford . Se puede verificar que $${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$ y así c respeta las relaciones de Clifford y se extiende a un homomorfismo del álgebra de Clifford a End(Δ).

La representación de espín Δ se descompone además en un par de representaciones complejas irreducibles del grupo Spin ^{[ 20 ]} (las representaciones de medio espín, o espinores de Weyl) mediante $${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

Cuando dim( V ) es impar, V = W ⊕ U ⊕ W ′ , donde U está generado por un vector unitario u ortogonal a W. La acción de Clifford c se define como antes en W ⊕ W ′ , mientras que la acción de Clifford de (múltiplos de) u se define por $${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$ Como antes, se verifica que c respeta las relaciones de Clifford y, por lo tanto, induce un homomorfismo.

Si el espacio vectorial V tiene una estructura adicional que proporciona una descomposición de su complejización en dos subespacios isotrópicos máximos, entonces la definición de espinores (por cualquiera de los dos métodos) se vuelve natural.

El ejemplo principal es el caso en que el espacio vectorial real V es un espacio vectorial hermitiano ( V , g ) , es decir, V está equipado con una estructura compleja J que es una transformación ortogonal con respecto al producto interno g en V. Entonces${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$se divide en los autoespacios ± i de J. Estos autoespacios son isotrópicos para la complejización de g y pueden identificarse con el espacio vectorial complejo ( V , J ) y su conjugado complejo ( V , -J ) . Por lo tanto, para un espacio vectorial hermitiano ( V , g ) , el espacio vectorial${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}}$(así como su conjugado complejo)${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V}$) es un espacio espinorial para el espacio vectorial euclidiano real subyacente.

Con la acción de Clifford como se describió anteriormente, pero con contracción usando la forma hermitiana, esta construcción da un espacio espinorial en cada punto de una variedad casi hermitiana y es la razón por la cual toda variedad casi compleja (en particular toda variedad simpléctica ) tiene una estructura Spin ^c . De igual modo, todo fibrado vectorial complejo en una variedad lleva una estructura Spin ^{c . [ 21 ]}

Si n = 2 k es par, entonces el producto tensorial de Δ con la representación contragradiente se descompone como $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$$ Esto se puede observar explícitamente al considerar (en la construcción explícita) la acción del álgebra de Clifford sobre los elementos descomponibles αω ⊗ βω ′ . La formulación más a la derecha se deriva de las propiedades de transformación del operador estrella de Hodge . Nótese que, al restringirse al álgebra de Clifford par, los sumandos emparejados Γ _p ⊕ σ Γ _p son isomorfos, pero bajo el álgebra de Clifford completa no lo son.

Existe una identificación natural de Δ con su representación contragradiente a través de la conjugación en el álgebra de Clifford: $${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$$ Así que Δ ⊗ Δ también se descompone de la manera anterior. Además, bajo el álgebra de Clifford par, las representaciones de medio espín se descomponen $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$$

Para las representaciones complejas de las álgebras de Clifford reales, la estructura de realidad asociada en el álgebra de Clifford compleja desciende al espacio de espinores (a través de la construcción explícita en términos de ideales mínimos, por ejemplo). De esta manera, obtenemos el conjugado complejo Δ de la representación Δ, y se observa que se cumple el siguiente isomorfismo: $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$$

En particular, observe que la representación Δ del grupo de espín ortócrono es una representación unitaria . En general, existen descomposiciones de Clebsch-Gordan. $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$$

En la signatura métrica ( p , q ) , se cumplen los siguientes isomorfismos para las representaciones de medio espín conjugadas:

• Si q es par, entonces${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$y${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• Si q es impar, entonces${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$y${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

Utilizando estos isomorfismos, se pueden deducir descomposiciones análogas para los productos tensoriales de las representaciones de medio espín Δ _± ⊗ Δ _± .

Si n = 2k + 1 es impar, entonces $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$$ En el caso real, una vez más se cumple el isomorfismo. $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$$ Por lo tanto, existe una descomposición de Clebsch-Gordan (nuevamente usando la estrella de Hodge para dualizar) dada por $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$$

Existen muchas consecuencias de gran alcance de las descomposiciones de Clebsch-Gordan de los espacios espinoriales. Las más fundamentales de ellas se refieren a la teoría del electrón de Dirac, entre cuyos requisitos básicos se encuentran:

• Una forma de considerar el producto de dos espinores ϕ ψ como un escalar. En términos físicos, un espinor debería determinar una amplitud de probabilidad para el estado cuántico .
• Una forma de considerar el producto ψ ϕ como un vector. Esta es una característica esencial de la teoría de Dirac, que vincula el formalismo espinorial con la geometría del espacio físico.
• Una forma de considerar un espinor como actuando sobre un vector, mediante una expresión como ψv ψ . En términos físicos, esto representa una corriente eléctrica de la teoría electromagnética de Maxwell , o más generalmente una corriente de probabilidad .

Una fuente de confusión es que los términos real , complejo y cuaterniónico se usan con dos significados muy similares pero no idénticos: pueden referirse al campo fundamental de un módulo de Clifford elegido o al tipo (también llamado tipo de Schur ) de una representación de espín irreducible. Para el grupo de espín, la segunda noción es la útil.

Dejar${\displaystyle S}$ser una representación de espín compleja irreducible de${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$. Entonces${\displaystyle S}$Se dice que

• de tipo real si hay un${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$-mapa antilineal equivariante${\displaystyle J:S\to S}$con${\displaystyle J^{2}=+1}$;
• de tipo cuaterniónico (o pseudoreal ) si existe tal mapa con${\displaystyle J^{2}=-1}$;
• de tipo complejo si no existe tal mapa antilineal equivariante, equivalentemente si${\displaystyle S}$y su conjugado complejo${\displaystyle {\overline {S}}}$son no equivalentes.

Cuando${\displaystyle S}$es de tipo real, el conjunto de punto fijo de${\displaystyle J}$da una forma real de la representación; este es el origen algebraico de las condiciones de Majorana . Cuando${\displaystyle S}$es de tipo cuaterniónico, la representación lleva una estructura cuaterniónica invariante pero no una estructura real invariante en un módulo complejo irreducible. ^{[ 23 ]}

La razón del patrón módulo 8 es que los espinores son naturalmente módulos para el álgebra de Clifford par.${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}$. Si${\displaystyle S}$es un real irreductible${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}$-módulo, entonces por el lema de Schur su álgebra conmutativa $${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}(S)}$$ es un álgebra de división real de dimensión finita. Por el teorema de Frobenius , es isomorfa a exactamente una de $${\displaystyle \mathbb {R} ,\qquad \mathbb {C} ,\qquad \mathbb {H} .}$$ Estas tres posibilidades son precisamente los tipos real, complejo y cuaterniónico. Utilizando la identificación estándar de álgebras de Clifford pares con álgebras de Clifford en una dimensión inferior, junto con la periodicidad de Bott , se encuentra que el tipo depende únicamente de${\displaystyle p-q{\pmod {8}}}$. ^{[ 24 ]}

Así, por ejemplo, los espinores en el espacio euclidiano tridimensional son cuaterniónicos, los espinores de Weyl en el espacio euclidiano tetradimensional son cuaterniónicos, los espinores de Weyl en signatura lorentziana${\displaystyle (3,1)}$son conjugados complejos entre sí, espinores de Weyl en signatura dividida${\displaystyle (1,1)}$son reales, y los espinores de Weyl euclidianos de 8 dimensiones son reales.

Una fuente común de aparente desacuerdo entre las tablas en la literatura es que algunos autores clasifican los módulos irreducibles para el álgebra de Clifford real completa.${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}}$, mientras que otros clasifican las representaciones de espín de${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$Dado que el grupo de espín se encuentra en el álgebra de Clifford par, estas dos tablas difieren en un desplazamiento de un paso en el patrón módulo 8.