Estructura de espín c

En geometría de espín , una estructura de espín ^c (o estructura de espín compleja ) es una generalización de una estructura de espín . En matemáticas, estas se utilizan para describir haces de espinores y espinores , que en física se utilizan para describir el espín , un momento angular intrínseco de las partículas del cual han recibido su nombre. Dado que las estructuras de espín ^c también existen bajo condiciones debilitadas, que podrían no permitir estructuras de espín, proporcionan una alternativa adecuada para tales situaciones. Las variedades orientables con una estructura de espín ^c se denominan variedades de espín ^c . ^{[ 1 ]} C representa los números complejos , que se denotan${\displaystyle \mathbb {C} }$y aparecen en la definición del grupo de espín ^c subyacente .

En cuatro dimensiones, una estructura de espín ^c define dos haces de planos complejos, que pueden usarse para describir la quiralidad negativa y positiva de los espinores , por ejemplo, en la ecuación de Dirac de la teoría cuántica de campos relativista . Otra aplicación fundamental es la teoría de Seiberg-Witten , que los utiliza para estudiar variedades de 4 dimensiones .

Dejar${\displaystyle M}$ser un${\displaystyle n}$Variedad orientable de dimensión . Su fibrado tangente${\displaystyle TM}$se describe mediante un mapa de clasificación${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$en el espacio de clasificación${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$del grupo ortogonal especial${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$Puede ser factor sobre el mapa${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$inducido por la proyección canónica${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {c} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}$sobre la clasificación de espacios . En este caso, el mapa de clasificación se eleva a un mapa continuo.${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)}$en el espacio de clasificación${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)}$del grupo de espín ^c${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {c} }(n)}$Su clase de homotopía se llama estructura de espín ^c . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Asumir${\displaystyle M}$tiene una estructura de espín ^c . Entonces,${\displaystyle \operatorname {Girar} ^{\mathrm {c} }(M)}$denotemos el conjunto de estructuras de espín ^{c en}${\displaystyle M}$El primer grupo unitario${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$es el segundo factor del grupo de espín ^c y utilizando su espacio de clasificación${\displaystyle \operatorname {BU} (1)\cong \operatorname {BSO} (2)}$, que es el espacio proyectivo complejo infinito${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$y un modelo del espacio de Eilenberg-MacLane${\displaystyle K(\mathbb {Z},2)}$, hay una biyección : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)\cong [M,\operatorname {BU} (1)]\cong [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\cong [M,K(\mathbb {Z} ,2)]\cong H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$

El isomorfismo anterior se deduce de la secuencia de Puppe para la fibración.${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }\hookrightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {BSO} (n)}$(al aplicar${\displaystyle [M,-]}$). ^{[ 5 ]}

Debido a la proyección canónica${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\rightarrow \operatorname {U} (1)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {U} (1)}$, cada estructura de espín ^c induce un principal${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-paquete o, equivalentemente, un paquete de líneas complejo .

• Cada estructura de espín induce una estructura de espín canónica ^c . ^{[ 6 ] [ 7 ]} La implicación inversa no se cumple como el plano proyectivo complejo${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$espectáculos.
• Cada estructura de espín ^c induce una estructura de espín ^h canónica . La implicación inversa no se cumple en la variedad de Wu.${\displaystyle \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$espectáculos.
• Un colector orientable${\displaystyle M}$tiene una estructura de espín ^{c si} y solo si su tercera integral es de clase de Stiefel-Whitney${\displaystyle W_{3}(M)\in H^{3}(M,\mathbb {Z} )}$desaparece. Esta clase${\displaystyle W_{3}(M)}$es la imagen de la segunda clase ordinaria de Stiefel-Whitney${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})}$bajo el homomorfismo de Bockstein${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})\rightarrow H^{3}(M,\mathbb {Z} )}$. ^{[ 8 ] [ 9 ]}
• Toda variedad lisa orientable con cuatro o menos dimensiones tiene una estructura de espín ^c . ^{[ 7 ]}
• Cada variedad casi compleja tiene una estructura de espín ^c . ^{[ 10 ] [ 7 ]}
• Para un colector de giro ^c compacto${\displaystyle M}$, para la cual una clase de torsión${\displaystyle c\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$con${\displaystyle w_{2}(M)=c\operatorname {mod} 2}$existe y que tiene una métrica riemanniana de curvatura escalar positiva global, su género se anula, por lo tanto${\displaystyle {\widehat {A}}(M)=0}$. ^{[ 11 ]}

Las siguientes propiedades se cumplen de forma más general para el levantamiento en el grupo de Lie.${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$, con el caso particular${\displaystyle k=2}$donación:

• Si${\displaystyle M\times N}$es una variedad de espín ^c , entonces${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son variedades de espín ^c . ^{[ 12 ]}
• Si${\displaystyle M}$es un colector de espín, entonces${\displaystyle M\times N}$es una variedad ^{c de espín si y solo si}${\displaystyle N}$es una variedad de espín ^c . ^{[ 12 ]}
• Si${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$Si son variedades de espín ^c de la misma dimensión, entonces su suma conectada${\displaystyle M\#N}$es una variedad de espín ^c . ^{[ 13 ]}
• Las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[ 14 ]}
  • ${\displaystyle M}$es una variedad de espín ^c .
  • Hay un paquete de aviones real${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$, de modo que${\displaystyle TM\oplus E}$tiene una estructura de espín o equivalentemente${\displaystyle w_{2}(TM\oplus E)=0}$.
  • ${\displaystyle M}$puede sumergirse en una variedad de espín con dos dimensiones más.
  • ${\displaystyle M}$puede incrustarse en una variedad de espín con dos dimensiones más.

El anillo de cohomología del espacio clasificador infinito${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }:=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)}$con coeficientes en${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$se puede expresar utilizando cuadrados de Steenrod y clases de Wu : ^{[ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} },\mathbb {Z} _{2})\cong H^{*}(\operatorname {BSO} ,\mathbb {Z} _{2})/(\operatorname {Sq} ^{1}\nu _{2^{r}},r\geq 1).}$

• Estructura de espín ^h

• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (21 de febrero de 1990). Geometría de espín . Princeton University Press . ISBN 9780691085425.
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• Liviu I. Nicolaescu. Notas sobre la teoría de Seiberg-Witten (PDF) .
• Michael Albanese y Aleksandar Milivojević (2021). "Espín ^h y generalizaciones adicionales del espín". Journal of Geometry and Physics . 164 : 104–174 . arXiv : 2008.04934 . doi : 10.1016/j.geomphys.2022.104709 .
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• Jiahao Hu (2023-12-08). "Invariantes de haces vectoriales reales". arXiv : 2310.05061 [ math.AT ].

• Estructura de espín en n Lab