espinor puro

Siguiendo a Cartan ^{[ 1 ]} y Chevalley, ^{[ 2 ]} podemos ver${\displaystyle V}$como suma directa

${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\ {\text{ o }}\ V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} ,}$

dónde${\displaystyle V_{n}\subconjunto V}$es un subespacio totalmente isotrópico de dimensión${\displaystyle n}$, y${\displaystyle V_{n}^{*}}$es su espacio dual , con producto escalar definido como

${\displaystyle Q(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2}),\quad v_{1},v_{2}\in V_{n},\ w_{1},w_{2}\in V_{n}^{*},}$

o

${\displaystyle Q(v_{1}+w_{1}+a_{1},v_{2}+w_{2}+a_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2})+a_{1}a_{2},\quad a_{1},a_{2}\in \mathbf {C} ,}$

respectivamente.

La representación del álgebra de Clifford${\displaystyle \Gamma _ {X}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_ {n}))}$como endomorfismos del módulo Clifford/espinor irreducible${\displaystyle \Lambda (V_ {n})}$, se genera mediante los elementos lineales${\displaystyle X\in V}$, que actúan como

${\displaystyle \Gamma _{v}(\psi )=v\wedge \psi \ {\text{ (producto cuña) }}\ {\text{para }}v\in V_{n}\ {\text{ y }}\Gamma _{w}(\psi )=\iota (w)\psi \ {\text{ (producto interno) }}{\text{para}}\ w\in V_{n}^{*},}$

para cualquiera${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}}$o${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} }$, y

${\displaystyle \Gamma _{a}\psi =(-1)^{p}a\ \psi ,\quad a\in \mathbf {C} ,\ \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n}),}$

para ${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} }$, cuando${\displaystyle \psi }$es homogéneo de grado${\displaystyle p}$.

Un espinor puro${\displaystyle \psi }$se define como cualquier elemento${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_ {n})}$que es aniquilado por un subespacio isotrópico máximo${\displaystyle w\subset V}$con respecto al producto escalar${\displaystyle \,Q\,}$. Por el contrario, dado un subespacio isotrópico maximal es posible determinar el espinor puro que lo aniquila, salvo multiplicación por un número complejo, de la siguiente manera.

Denotemos la Grassmanniana de isotropía máxima (${\displaystyle n}$subespacios de dimensión -${\displaystyle V}$como${\displaystyle \mathbf {Gr} _ {n}^{0}(V,Q)}$. El mapa de Cartan ^{[ 1 ] [ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle \mathbf {Ca}$ :\mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)\rightarrow \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))}

se define, para cualquier elemento${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} _ {n}^{0}(V,Q)}$, con base${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$tener valor

${\displaystyle \mathbf {Ca} (w):=\mathrm {Im} (\Gamma _ {X_ {1}} \cdots \Gamma _ {X_ {n}}});}$

es decir la imagen de${\displaystyle \Lambda (V_ {n})}$bajo el endomorfismo formado al tomar el producto de los endomorfismos de representación de Clifford ${\displaystyle \{\Gamma _{X_{i}}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))\}_{i=1,\dots ,n}}$, que es independiente de la elección de la base${\displaystyle (X_{1},\cdots ,X_{n})}$Esto es un${\displaystyle 1}$subespacio de dimensión , debido a las condiciones de isotropía,

${\displaystyle Q(X_{i},X_{j})=0,\quad 1\leq i,j\leq n,}$

lo cual implica

${\displaystyle \Gamma _{X_{i}}\Gamma _{X_{j}}+\Gamma _{X_{j}}\Gamma _{X_{i}}=0,\quad 1\leq i,j\leq n,}$

y por lo tanto${\displaystyle \mathbf {Ca} (w)}$define un elemento de la proyectividad${\displaystyle \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))}$del módulo de Clifford irreducible ${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$De las condiciones de isotropía se deduce que, si la clase proyectiva${\displaystyle [\psi ]}$de un espino${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$está en la imagen${\displaystyle \mathbf {Ca} (w)}$y${\displaystyle X\in w}$, entonces

${\displaystyle \Gamma _{X}(\psi )=0.}$

Así que cualquier espino${\displaystyle \psi }$con${\displaystyle [\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)}$es aniquilado, bajo la representación de Clifford, por todos los elementos de${\displaystyle w}$. Por el contrario, si${\displaystyle \psi }$es aniquilado por${\displaystyle \Gamma _{X}}$a pesar de${\displaystyle X\in w}$, entonces${\displaystyle [\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)}$.

Si${\displaystyle V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}}$es de dimensión par, hay dos componentes conectadas en la Grassmanniana isotrópica${\displaystyle \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)}$, que se mapean, bajo${\displaystyle \mathbf {Ca} }$, en los dos subespacios de semiespinores ${\displaystyle \Lambda ^{+}(V_{n}),\Lambda ^{-}(V_{n})}$en la descomposición de suma directa

${\displaystyle \Lambda (V_{n})=\Lambda ^{+}(V_{n})\oplus \Lambda ^{-}(V_{n}),}$

dónde${\displaystyle \Lambda ^{+}(V_{n})}$y ${\displaystyle \Lambda ^{-}(V_{n})}$ consisten, respectivamente, en los elementos de grado par e impar de${\displaystyle \Lambda ^{(}V_{n})}$.

Definir un conjunto de formas bilineales${\displaystyle \{\beta _{m}\}_{m=0,\dots 2n}}$en el módulo espinorial${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$, con valores en${\displaystyle \Lambda ^{m}(V^{*})\sim \Lambda ^{m}(V)}$(que son isomorfos mediante el producto escalar)${\displaystyle Q}$), por

${\displaystyle \beta _{m}(\psi ,\phi )(X_{1},\dots ,X_{m}):=\beta _{0}(\psi ,\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{m}}\phi ),\quad {\text{for }}\psi ,\phi \in \Lambda (V_{n}),\ X_{1},\dots ,X_{m}\in V,}$

donde, para elementos homogéneos${\displaystyle \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n})}$, ${\displaystyle \phi \in \Lambda ^{q}(V_{n})}$y forma volumétrica${\displaystyle \Omega }$en${\displaystyle \Lambda (V_{n})}$,

${\displaystyle \beta _{0}(\psi ,\phi )\,\Omega ={\begin{cases}\psi \wedge \phi \quad {\text{if }}p+q=n\\0\quad {\text{otherwise. }}\end{cases}}}$

Como lo demostró Cartan, ^{[ 1 ]} espinores puros${\displaystyle \psi \in \Lambda (V_{n})}$están determinadas de forma única por el hecho de que satisfacen el siguiente conjunto de ecuaciones cuadráticas homogéneas , conocidas como las relaciones de Cartan : ^{[ 1 ] [ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle \beta _{m}(\psi ,\psi )=0\quad \forall \ m\equiv n\mod (4),\quad 0\leq m<n}$

en el módulo espinorial irreducible estándar.

Estos determinan la imagen de la subvariedad de subespacios isotrópicos máximos del espacio vectorial.${\displaystyle V,}$con respecto al producto escalar${\displaystyle Q}$, bajo el mapa de Cartan , que define una incrustación de la Grassmanniana de subespacios isotrópicos de${\displaystyle V}$en la proyectividad del módulo espinorial (o módulo semiespinorial, en el caso de dimensión par), realizando estos como variedades proyectivas.

Por lo tanto, hay en total,

${\displaystyle \sum _{0\leq m\leq n-1 \atop m\equiv n,{\text{ mod }}4}{{\text{dim}}(V) \choose m}}$

Relaciones de Cartan, que significan la desaparición de las formas bilineales.${\displaystyle \beta _{m}}$con valores en los espacios exteriores${\displaystyle \,\Lambda ^{m}(V)\,}$para${\displaystyle m\equiv n,{\text{ mod }}4}$, correspondientes a estos elementos antisimétricos del álgebra de Clifford. Sin embargo, dado que la dimensión de la Grassmanniana de subespacios isotrópicos máximos de${\displaystyle \,V\,}$es${\displaystyle \,{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)\,}$cuando${\displaystyle \,V\,}$es de dimensión par${\displaystyle 2n}$y${\displaystyle \,{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)\,}$cuando${\displaystyle \,V\,}$tiene dimensión extraña ${\displaystyle 2n+1}$y el mapa de Cartan es una incrustación de los componentes conexos de este en la proyectividad de los módulos semiespinoriales cuando${\displaystyle \,V\,}$es de dimensión par y en el módulo espinorial irreducible si es de dimensión impar, el número de restricciones cuadráticas independientes es solo

${\displaystyle 2^{n-1}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)-1}$

en el${\displaystyle \,2n\,}$caso dimensional y

${\displaystyle 2^{n}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)-1}$

en el${\displaystyle \,2n+1\,}$caso dimensional.

En 6  dimensiones o menos, todos los espinores son puros. En 7  u 8  dimensiones, hay una única restricción de espinor puro. En 10  dimensiones, hay 10  restricciones.

${\displaystyle \psi \;\Gamma _{\mu }\,\psi =0~,\quad \mu =1,\dots ,10,}$

dónde${\displaystyle \,\Gamma _{\mu }\,}$son las matrices Gamma que representan los vectores en${\displaystyle \,\mathbb {C} ^{10}\,}$que generan el álgebra de Clifford. Sin embargo, solo${\displaystyle 5}$de estos son independientes, por lo que la variedad de espinores puros proyectivizados para${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{10}}$es${\displaystyle 10}$dimensional (complejo).

Para${\displaystyle d=10}$dimensional,${\displaystyle N=1}$La teoría supersimétrica de Yang-Mills , la correspondencia superambitwistor , ^{[ 4 ] [ 5 ]} consiste en una equivalencia entre las ecuaciones de campo supersimétricas y la anulación de la supercurvatura a lo largo de líneas supernulas , que son de dimensión${\displaystyle (1|16)}$, donde el${\displaystyle 16}$Las dimensiones de Grassmann corresponden a un espinor puro. La reducción dimensional da los resultados correspondientes para${\displaystyle d=6}$,${\displaystyle N=2}$y${\displaystyle d=4}$,${\displaystyle N=3}$o${\displaystyle 4}$.

Nathan Berkovits introdujo los espinores puros en la cuantización de cuerdas. ^{[ 6 ]} Nigel Hitchin ^{[ 14 ]} introdujo las variedades de Calabi-Yau generalizadas , donde la estructura compleja generalizada se define mediante un espinor puro. Estos espacios describen la geometría de las compactificaciones de flujo en la teoría de cuerdas.

En el enfoque de jerarquías integrables desarrollado por Mikio Sato , ^{[ 15 ]} y sus estudiantes, ^{[ 16 ] [ 17 ]} las ecuaciones de la jerarquía se consideran condiciones de compatibilidad para flujos conmutativos en una grassmanniana de dimensión infinita . Bajo el mapa de Cartan (de dimensión infinita) , los espinores puros proyectivos son equivalentes a elementos de la grassmanniana de dimensión infinita que consisten en subespacios isotrópicos máximos de un espacio de Hilbert bajo un producto escalar complejo adecuadamente definido. Por lo tanto, sirven como módulos para soluciones de la jerarquía integrable BKP, ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} parametrizando la BKP asociada.${\displaystyle \tau }$-funciones , que son funciones generadoras para los flujos. Bajo la correspondencia del mapa de Cartan , estas pueden expresarse como pfaffianos de Fredholm de dimensión infinita . ^{[ 11 ]}