Fórmulas de Frenet-Serret

En geometría diferencial , las fórmulas de Frenet-Serret describen las propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve a lo largo de una curva diferenciable en el espacio euclidiano tridimensional o las propiedades geométricas de la curva misma independientemente de cualquier movimiento. Más específicamente, las fórmulas describen las derivadas de los llamados vectores unitarios tangente, normal y binormal en términos de cada uno de ellos. Las fórmulas reciben su nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron de forma independiente: Jean Frédéric Frenet , en su tesis de 1847, y Joseph Alfred Serret , en 1851. La notación vectorial y el álgebra lineal que se utilizan actualmente para escribir estas fórmulas aún no estaban disponibles en el momento de su descubrimiento. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

Los vectores unitarios tangente, normal y binormal, a menudo llamados T , N y B , o colectivamente el marco de Frenet-Serret ( marco TNB o base TNB ), juntos forman una base ortonormal que abarca y se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

• T es el vector unitario tangente a la curva, que apunta en la dirección del movimiento.
• N es el vector unitario normal , la derivada de T con respecto al parámetro de longitud de arco de la curva, dividido por su longitud.
• B es el vector unitario binormal, elproducto vectorial de T y N.

Las fórmulas de Frenet-Serret son: donde es la derivada con respecto a la longitud del arco, κ es la curvatura y τ es la torsión de la curva espacial. (Intuitivamente, la curvatura mide la incapacidad de una curva para ser una línea recta, mientras que la torsión mide la incapacidad de una curva para ser plana). La base TNB combinada con los dos escalares , κ y τ , se denomina colectivamente aparato de Frenet-Serret . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\ frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{alineado }}}$$${\displaystyle {\frac {d}{ds}}}$

Sea r ( t ) una curva en el espacio euclidiano , que representa el vector de posición de la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet-Serret se aplican a curvas que no son degeneradas , lo que significa aproximadamente que tienen una curvatura distinta de cero . Más formalmente, en esta situación se requiere que el vector de velocidad r ′( t ) y el vector de aceleración r ′′( t ) no sean proporcionales.

Sea s ( t ) la longitud de arco que la partícula se ha movido a lo largo de la curva en el tiempo t . La cantidad s se utiliza para dar a la curva trazada por la trayectoria de la partícula una parametrización natural por longitud de arco (es decir, parametrización de longitud de arco ), ya que muchas trayectorias de partículas diferentes pueden trazar la misma curva geométrica al atravesarla a diferentes velocidades. En detalle, s está dada por Además, como hemos asumido que r ′ ≠ 0 , se deduce que s ( t ) es una función estrictamente monótonamente creciente. Por lo tanto, es posible resolver para t como una función de s , y así escribir r ( s ) = r ( t ( s )) . La curva está así parametrizada de una manera preferida por su longitud de arco. $${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .}$$

Con una curva no degenerada r ( s ) , parametrizada por su longitud de arco, ahora es posible definir el marco de Frenet-Serret (o marco TNB ):

• El vector unitario tangente T se define como $${\displaystyle \mathbf {T} :={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}.}$$
• El vector unitario normal N se define como de lo que se sigue, dado que T siempre tiene magnitud unitaria , que N (el cambio de T ) es siempre perpendicular a T , ya que no hay cambio en la longitud de T . Nótese que al llamar a la curvatura obtenemos automáticamente la primera relación. $${\displaystyle \mathbf {N} :={{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}} \over \left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|},}$$${\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|}$

• El vector unitario binormal B se define como el producto vectorial de T y N : $${\displaystyle \mathbf {B} :=\mathbf {T} \veces \mathbf {N} ,}$$

de lo cual se sigue que B es siempre perpendicular tanto a T como a N. Por lo tanto, los tres vectores unitarios T , N , B son todos perpendiculares entre sí.

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\ frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{alineado }}}$$

donde κ es la curvatura y τ es la torsión .

Las fórmulas de Frenet-Serret también se conocen como teorema de Frenet-Serret y se pueden expresar de forma más concisa utilizando la notación matricial: ^[1] $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\ -\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$$

Esta matriz es antisimétrica .

Las fórmulas de Frenet-Serret fueron generalizadas a espacios euclidianos de dimensiones superiores por Camille Jordan en 1874.

Supongamos que r ( s ) es una curva suave en y que las primeras n derivadas de r son linealmente independientes. ^[2] Los vectores en el marco de Frenet-Serret son una base ortonormal construida aplicando el proceso de Gram-Schmidt a los vectores ( r ′( s ), r ′′( s ), ..., r ^{( n )} ( s )) . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

En detalle, el vector tangente unitario es el primer vector de Frenet e ₁ ( s ) y se define como

$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}}$$

dónde

$${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)}$$

El vector normal , a veces llamado vector de curvatura , indica la desviación de la curva con respecto a una línea recta. Se define como $${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)}$$

Su forma normalizada, el vector normal unitario , es el segundo vector de Frenet e ₂ ( s ) y se define como

$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}}$$

La tangente y el vector normal en el punto s definen el plano osculador en el punto r ( s ) .

Los vectores restantes en el marco (binormal, trinormal, etc.) se definen de manera similar mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}},\\{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)&=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}}$

El último vector del marco está definido por el producto vectorial de los primeros n − 1 vectores: $${\displaystyle \mathbf {e} _{n}(s)=\mathbf {e} _{1}(s)\times \mathbf {e} _{2}(s)\times \dots \times \mathbf {e} _{n-2}(s)\times \mathbf {e} _{n-1}(s)}$$

Las funciones de valor real utilizadas a continuación χ _i ( s ) se denominan curvatura generalizada y se definen como

$${\displaystyle \chi _{i}(s)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle }{\|\mathbf {r} '(s)\|}}}$$

Las fórmulas de Frenet-Serret , enunciadas en lenguaje matricial, son

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1}(s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}}$$

Tenga en cuenta que, como se define aquí, las curvaturas generalizadas y el marco pueden diferir ligeramente de la convención que se encuentra en otras fuentes. La curvatura superior χ _{n -1} (también llamada torsión, en este contexto) y el último vector en el marco e _n , difieren en un signo

$${\displaystyle \operatorname {or} \left(\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}\right)}$$

(la orientación de la base) a partir de la torsión habitual. Las fórmulas de Frenet-Serret son invariantes al invertir el signo tanto de χ _{n -1} como de e _n , y este cambio de signo hace que el marco esté orientado positivamente. Como se definió anteriormente, el marco hereda su orientación del jet de r .

La primera fórmula de Frenet-Serret se cumple por la definición de la normal N y la curvatura κ , y la tercera fórmula de Frenet-Serret se cumple por la definición de la torsión τ . Por lo tanto, lo que se necesita es demostrar la segunda fórmula de Frenet-Serret.

Como T , N , B son vectores unitarios ortogonales con B = T × N , también se tiene T = N × B y N = B × T. Al derivar la última ecuación con respecto a s se obtiene

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}=\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}\right)\times \mathbf {T} +\mathbf {B} \times \left({\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}\right)}$$

Usando eso y esto se convierte en ${\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}=-\tau \mathbf {N} }$${\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}=\kappa \mathbf {N} ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}&=-\tau (\mathbf {N} \times \mathbf {T} )+\kappa (\mathbf {B} \times \mathbf {N} )\\&=\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} \end{aligned}}}$$

Ésta es exactamente la segunda fórmula de Frenet-Serret.

El marco de Frenet-Serret, que consta de la tangente T , la normal N y la binormal B, forma en conjunto una base ortonormal del espacio tridimensional. En cada punto de la curva, se adjunta un marco de referencia o sistema de coordenadas rectilíneas (ver imagen).

Las fórmulas de Frenet-Serret admiten una interpretación cinemática . Imaginemos que un observador se mueve a lo largo de la curva en el tiempo, utilizando el sistema de coordenadas adjunto en cada punto como su sistema de coordenadas. Las fórmulas de Frenet-Serret significan que este sistema de coordenadas está girando constantemente a medida que un observador se mueve a lo largo de la curva. Por lo tanto, este sistema de coordenadas es siempre no inercial . El momento angular del sistema de coordenadas del observador es proporcional al vector Darboux del sistema de coordenadas.

Concretamente, supongamos que el observador lleva consigo una peonza (inercial) (o giroscopio ) a lo largo de la curva. Si el eje de la peonza apunta a lo largo de la tangente a la curva, entonces se observará que gira sobre su eje con velocidad angular -τ relativa al sistema de coordenadas no inercial del observador. Si, por otro lado, el eje de la peonza apunta en la dirección binormal, entonces se observa que gira con velocidad angular -κ. Esto se visualiza fácilmente en el caso en que la curvatura es una constante positiva y la torsión se desvanece. El observador está entonces en movimiento circular uniforme . Si la peonza apunta en la dirección de la binormal, entonces por conservación del momento angular debe girar en la dirección opuesta del movimiento circular. En el caso límite cuando la curvatura se desvanece, la normal del observador precesa alrededor del vector tangente y, de manera similar, la peonza girará en la dirección opuesta a esta precesión.

El caso general se ilustra a continuación. Hay más ilustraciones en Wikimedia.

La cinemática del marco tiene muchas aplicaciones en las ciencias.

• En las ciencias de la vida , particularmente en los modelos de movimiento microbiano, se han utilizado consideraciones del marco de Frenet-Serret para explicar el mecanismo por el cual un organismo en movimiento en un medio viscoso cambia su dirección. ^[3]
• En física, el sistema de Frenet-Serret es útil cuando resulta imposible o inconveniente asignar un sistema de coordenadas natural a una trayectoria. Este suele ser el caso, por ejemplo, en la teoría de la relatividad . En este contexto, los sistemas de Frenet-Serret se han utilizado para modelar la precesión de un giroscopio en un pozo gravitacional. ^[4]

1. Ejemplo de una base de Frenet móvil ( T en azul, N en verde, B en violeta) a lo largo de la curva de Viviani .

2. En el ejemplo de un nudo toroidal , se muestran el vector tangente T , el vector normal N y el vector binormal B , junto con la curvatura κ ( s ) y la torsión τ ( s )
   . En los picos de la función de torsión, la rotación del marco de Frenet-Serret ( T , N , B ) alrededor del vector tangente es claramente visible.

3. La importancia cinemática de la curvatura se ilustra mejor con curvas planas (que tienen una torsión constante igual a cero). Consulte la página sobre curvatura de curvas planas .

Las fórmulas de Frenet-Serret se introducen con frecuencia en cursos de cálculo multivariable como complemento al estudio de curvas espaciales como la hélice . Una hélice se puede caracterizar por la altura 2π h y el radio r de una sola espira. La curvatura y torsión de una hélice (con radio constante) se dan mediante las fórmulas $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}}$$

El signo de la torsión está determinado por el sentido de giro hacia la derecha o hacia la izquierda en el que la hélice gira alrededor de su eje central. Explícitamente, la parametrización de una sola vuelta de una hélice hacia la derecha con altura 2π h y radio r es y, para una hélice hacia la izquierda, Nótese que estas no son las parametrizaciones de longitud de arco (en cuyo caso, cada uno de x , y , z debería dividirse por ). $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi )\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=-r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi ).\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}$

En sus escritos expositivos sobre la geometría de las curvas, Rudy Rucker ^[5] emplea el modelo de un slinky para explicar el significado de la torsión y la curvatura. El slinky, dice, se caracteriza por la propiedad de que la cantidad permanece constante si el slinky se estira verticalmente a lo largo de su eje central. (Aquí 2π h es la altura de un único giro del slinky y r el radio). En particular, la curvatura y la torsión son complementarias en el sentido de que la torsión puede aumentarse a expensas de la curvatura al estirar el slinky. $${\displaystyle A^{2}=h^{2}+r^{2}}$$

La diferenciación repetida de la curva y la aplicación de las fórmulas de Frenet-Serret dan la siguiente aproximación de Taylor a la curva cerca de s = 0 si la curva está parametrizada por la longitud del arco: ^[6] $${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).}$$

Para una curva genérica con torsión que no desaparece, la proyección de la curva sobre varios planos de coordenadas en el sistema de coordenadas T , N , B en s = 0 tiene las siguientes interpretaciones:

• El plano osculador es el plano que contiene a T y N . La proyección de la curva sobre este plano tiene la forma: Esta es una parábola hasta términos de orden O ( s ² ) , cuya curvatura en 0 es igual a κ (0) . El plano osculador tiene la propiedad especial de que la distancia desde la curva al plano osculador es O ( s ³ ) , mientras que la distancia desde la curva a cualquier otro plano no es mejor que O ( s ² ) . Esto se puede ver a partir de la expansión de Taylor anterior. Por lo tanto, en cierto sentido, el plano osculador es el plano más cercano a la curva en un punto dado.$${\displaystyle \mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).}$$
• El plano normal es el plano que contiene a N y B. La proyección de la curva sobre este plano tiene la forma: que es una cúspide cúspide de orden o ( s ³ ) .$${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$
• El plano rectificador es el plano que contiene a T y B. La proyección de la curva sobre este plano es: que traza la gráfica de un polinomio cúbico de orden o ( s ³ ) .$${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$$

El aparato de Frenet-Serret permite definir determinadas cintas y tubos óptimos centrados alrededor de una curva. Estos tienen diversas aplicaciones en la ciencia de los materiales y la teoría de la elasticidad ^[7] , así como en gráficos por ordenador ^[8] .

La cinta de Frenet ^[9] a lo largo de una curva C es la superficie trazada al barrer el segmento de línea [− N , N ] generado por la normal unitaria a lo largo de la curva. Esta superficie a veces se confunde con la tangente desarrollable , que es la envolvente E de los planos osculadores de C . Esto se debe quizás a que tanto la cinta de Frenet como E exhiben propiedades similares a lo largo de C . Es decir, los planos tangentes de ambas láminas de E , cerca del lugar geométrico singular C donde estas láminas se intersecan, se aproximan a los planos osculadores de C ; los planos tangentes de la cinta de Frenet a lo largo de C son iguales a estos planos osculadores. La cinta de Frenet en general no es desarrollable.

En la geometría euclidiana clásica , se estudian las propiedades de las figuras en el plano que son invariantes bajo congruencia, de modo que si dos figuras son congruentes, deben tener las mismas propiedades. El aparato de Frenet-Serret presenta la curvatura y la torsión como invariantes numéricos de una curva espacial.

En términos generales, dos curvas C y C' en el espacio son congruentes si una puede moverse rígidamente hacia la otra. Un movimiento rígido consiste en una combinación de una traslación y una rotación. Una traslación mueve un punto de C a un punto de C' . Luego, la rotación ajusta la orientación de la curva C para alinearse con la de C' . Esta combinación de traslación y rotación se denomina movimiento euclidiano . En términos de la parametrización r ( t ) que define la primera curva C , un movimiento euclidiano general de C es una combinación de las siguientes operaciones:

• ( Traducción ) r ( t ) → r ( t ) + v , donde v es un vector constante.
• ( Rotación ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v ) , donde M es la matriz de una rotación.

El sistema de Frenet-Serret se comporta particularmente bien con respecto a los movimientos euclidianos. En primer lugar, dado que T , N y B pueden darse como derivadas sucesivas de la parametrización de la curva, cada una de ellas es insensible a la adición de un vector constante a r ( t ) . Intuitivamente, el sistema de Frenet-Serret asociado a r ( t ) es el mismo que el sistema de Frenet-Serret asociado a la nueva curva r ( t ) + v .

Esto deja solo las rotaciones a considerar. Intuitivamente, si aplicamos una rotación M a la curva, entonces el marco TNB también rota. Más precisamente, la matriz Q cuyas filas son los vectores TNB del marco Frenet-Serret cambia por la matriz de una rotación

$${\displaystyle Q\rightarrow QM.}$$

A fortiori , la matriz no se ve afectada por una rotación: ${\displaystyle {\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }}$$

ya que MM ^T = I para la matriz de una rotación.

Por lo tanto, las entradas κ y τ de son invariantes de la curva bajo movimientos euclidianos: si se aplica un movimiento euclidiano a una curva, entonces la curva resultante tiene la misma curvatura y torsión. ${\displaystyle {\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }}$

Además, utilizando el sistema de Frenet-Serret, también se puede demostrar lo contrario: dos curvas cualesquiera que tengan las mismas funciones de curvatura y torsión deben ser congruentes mediante un movimiento euclidiano. En términos generales, las fórmulas de Frenet-Serret expresan la derivada de Darboux del sistema TNB . Si las derivadas de Darboux de dos sistemas son iguales, entonces una versión del teorema fundamental del cálculo afirma que las curvas son congruentes. En particular, la curvatura y la torsión son un conjunto completo de invariantes para una curva en tres dimensiones.

Las fórmulas dadas anteriormente para T , N y B dependen de que la curva se dé en términos del parámetro de longitud de arco. Esta es una suposición natural en la geometría euclidiana , porque la longitud de arco es un invariante euclidiano de la curva. En la terminología de la física, la parametrización de la longitud de arco es una elección natural de gauge . Sin embargo, puede resultar difícil trabajar con ella en la práctica. Hay disponibles varias otras expresiones equivalentes.

Supongamos que la curva está dada por r ( t ) , donde el parámetro t ya no necesita ser la longitud del arco. Entonces el vector tangente unitario T puede escribirse como

$${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}}$$

El vector normal N toma la forma

$${\displaystyle \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\|\mathbf {r} '(t)\right\|\,\left\|\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\|}}}$$

El binormal B es entonces

$${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}}$$

Una forma alternativa de llegar a las mismas expresiones es tomar las tres primeras derivadas de la curva r ′( t ), r ′′( t ), r ′′′( t ) , y aplicar el proceso de Gram-Schmidt . La base ortonormal ordenada resultante es precisamente el marco TNB . Este procedimiento también se generaliza para producir marcos de Frenet en dimensiones superiores.

En términos del parámetro t , las fórmulas de Frenet-Serret toman un factor adicional de || r ′( t )|| debido a la regla de la cadena :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}}$$

Se pueden calcular expresiones explícitas para la curvatura y la torsión. Por ejemplo,

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}}$$

La torsión se puede expresar utilizando un producto triple escalar de la siguiente manera:

$${\displaystyle \tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}}$$

Si la curvatura es siempre cero entonces la curva será una línea recta. Aquí los vectores N , B y la torsión no están bien definidos.

Si la torsión es siempre cero entonces la curva estará en un plano.

Una curva puede tener una curvatura distinta de cero y una torsión igual a cero. Por ejemplo, el círculo de radio R dado por r ( t ) = ( R cos t , R sen t , 0) en el plano z = 0 tiene una torsión igual a cero y una curvatura igual a 1/ R . Sin embargo, la inversa es falsa. Es decir, una curva regular con una torsión distinta de cero debe tener una curvatura distinta de cero. Esto es simplemente lo contrario del hecho de que una curvatura cero implica una torsión igual a cero.

Una hélice tiene una curvatura constante y una torsión constante.

Si una curva está contenida en el plano xy , entonces su vector tangente y su vector normal unitario principal también estarán en el plano xy . Como resultado, el vector binormal unitario es perpendicular al plano xy y, por lo tanto, debe ser o bien . Por la regla de la mano derecha, B será si, cuando se ve desde arriba, la trayectoria de la curva gira hacia la izquierda, y será si gira hacia la derecha. Como resultado, la torsión τ siempre será cero y la fórmula para la curvatura κ se convierte en ${\displaystyle {\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle }$${\displaystyle \mathbf {T} ={\tfrac {\mathbf {r} '(t)}{||\mathbf {r} '(t)||}}}$${\displaystyle \mathbf {N} ={\tfrac {\mathbf {T} '(t)}{||\mathbf {T} '(t)||}}}$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} }$${\displaystyle \langle 0,0,1\rangle }$${\displaystyle \langle 0,0,-1\rangle }$${\displaystyle \langle 0,0,1\rangle }$${\displaystyle \langle 0,0,-1\rangle }$${\displaystyle {\tfrac {||\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)||}{||\mathbf {r} '(t)||^{3}}}}$
$${\displaystyle \kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}}$$

• Geometría afín de curvas
• Curva diferenciable
• Marco Darboux
• Cinemática
• Marco móvil
• Componentes tangencial y normal
• Radial, transversal, normal

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• Cree sus propias ilustraciones animadas de cuadros de Frenet-Serret en movimiento, funciones de curvatura y torsión ( Hoja de trabajo de Maple )
• Documento KappaTau de Rudy Rucker.
• Muy bonita representación visual del triedro.