Representación de series discretas

En matemáticas , una representación en serie discreta es una representación unitaria irreducible de un grupo topológico localmente compacto G que es una subrepresentación de la representación regular izquierda de G en L²( G ). En la medida de Plancherel , dichas representaciones tienen medida positiva. El nombre proviene del hecho de que son precisamente las representaciones que aparecen discretamente en la descomposición de la representación regular.

Si G es unimodular , una representación unitaria irreducible ρ de G está en la serie discreta si y solo si uno (y por lo tanto todos) los coeficientes de la matriz

${\displaystyle \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle \,}$

con vectores v , w distintos de cero es de cuadrado integrable en G , con respecto a la medida de Haar .

Cuando G es unimodular, la representación en serie discreta tiene una dimensión formal d , con la propiedad de que

${\displaystyle d\int \langle \rho (g)\cdot v,w\rangle {\overline {\langle \rho (g)\cdot x,y\rangle }}dg=\langle v,x\rangle {\overline {\langle w,y\rangle }}}$

para v , w , x , y en la representación. Cuando G es compacto, esto coincide con la dimensión cuando la medida de Haar en G se normaliza de modo que G tenga medida 1.

Harish-Chandra ( 1965 , 1966 ) clasificó las representaciones de series discretas de grupos semisimples conexos G. En particular, un grupo de este tipo tiene representaciones de series discretas si y solo si tiene el mismo rango que un subgrupo compacto maximal K. En otras palabras, un toro maximal T en K debe ser un subgrupo de Cartan en G. (Este resultado requería que el centro de G fuera finito, lo que excluía grupos como la cubierta simplemente conexa de SL(2, R )). Se aplica en particular a grupos lineales especiales ; de estos, solo SL(2, R ) tiene una serie discreta (para esto, véase la teoría de representaciones de SL(2, R ) ). 

La clasificación de Harish-Chandra de las representaciones de series discretas de un grupo de Lie semisimple conexo se da de la siguiente manera. Si L es la red de pesos del toro maximal T , una subred del mismo donde t es el álgebra de Lie de T , entonces hay una representación de serie discreta para cada vector v de

L + ρ,

donde ρ es el vector de Weyl de G , que no es ortogonal a ninguna raíz de G. Toda representación de serie discreta ocurre de esta manera. Dos de estos vectores v corresponden a la misma representación de serie discreta si y solo si son conjugados bajo el grupo de Weyl W _K del subgrupo compacto maximal K. Si fijamos una cámara fundamental para el grupo de Weyl de K , entonces la representación de serie discreta está en correspondencia 1:1 con los vectores de L + ρ en esta cámara de Weyl que no son ortogonales a ninguna raíz de G. El carácter infinitesimal de la representación de mayor peso está dado por v (módulo el grupo de Weyl W _G de G ) bajo la correspondencia de Harish-Chandra que identifica caracteres infinitesimales de G con puntos de

t ⊗ C / W _G .

Entonces, para cada representación de serie discreta, hay exactamente

| W _G |/| W _K |

Representaciones de series discretas con el mismo carácter infinitesimal.

Harish-Chandra demostró posteriormente una analogía para estas representaciones de la fórmula de caracteres de Weyl . En el caso de que G no sea compacto, las representaciones tienen dimensión infinita, y la noción de carácter es, por lo tanto, más sutil de definir, ya que es una distribución de Schwartz (representada por una función localmente integrable ), con singularidades.

El carácter viene dado en el toro maximal T por

${\displaystyle (-1)^{\frac {\dim(G)-\dim(K)}{2}}{\sum _{w\in W_{K}}\det(w)e^{w(v)} \over \prod _{(v,\alpha )>0}\left(e^{\frac {\alpha }{2}}-e^{-{\frac {\alpha }{2}}}\right)}}$

Cuando G es compacto, esto se reduce a la fórmula del carácter de Weyl, con v  = λ + ρ para λ el peso más alto de la representación irreducible (donde el producto es sobre raíces α que tienen producto interno positivo con el vector v ).   

El teorema de regularidad de Harish-Chandra implica que el carácter de una representación en serie discreta es una función localmente integrable en el grupo.

Los puntos v en la clase lateral L + ρ ortogonales a las raíces de G no corresponden a representaciones de series discretas, pero aquellos que no son ortogonales a las raíces de K están relacionados con ciertas representaciones irreducibles llamadas límite de representaciones de series discretas . Existe tal representación para cada par ( v , C ) donde v es un vector de L + ρ ortogonal a alguna raíz de G pero no ortogonal a ninguna raíz de K correspondiente a una pared de C , y C es una cámara de Weyl de G que contiene a v . (En el caso de las representaciones de series discretas, solo hay una cámara de Weyl que contiene a v, por lo que no es necesario incluirla explícitamente). Dos pares ( v , C ) dan el mismo límite de representación de serie discreta si y solo si son conjugados bajo el grupo de Weyl de K. Al igual que para las representaciones de series discretas, v da el carácter infinitesimal. Hay como máximo | W _G |/| W _K | límites de representaciones de series discretas con cualquier carácter infinitesimal dado.

El límite de las representaciones de series discretas son las representaciones atenuadas , lo que significa, aproximadamente, que no llegan a ser representaciones de series discretas.

La construcción original de la serie discreta de Harish-Chandra no era muy explícita. Posteriormente, varios autores encontraron realizaciones más explícitas de la serie discreta.

• Narasimhan y Okamoto (1970) construyeron la mayoría de las representaciones de series discretas en el caso en que el espacio simétrico de G es hermitiano.
• Parthasarathy (1972) construyó muchas de las representaciones de series discretas para G arbitrario .
• Langlands (1966) conjeturó, y Schmid (1976) demostró, un análogo geométrico del teorema de Borel-Bott-Weil , para la serie discreta, utilizando la cohomología L ² en lugar de la cohomología de haces coherentes utilizada en el caso compacto.
• Mediante una aplicación del teorema del índice , Atiyah y Schmid (1977) construyeron todas las representaciones de series discretas en espacios de espinores armónicos . A diferencia de la mayoría de las construcciones de representaciones anteriores, el trabajo de Atiyah y Schmid no utilizó los resultados de existencia de Harish-Chandra en sus demostraciones.
• Las representaciones de series discretas también pueden construirse mediante inducción parabólica cohomológica utilizando functores de Zuckerman .

• La conjetura de Blattner
• Representación de series discretas holomorfas
• Representación de series discretas cuaterniónicas

• Atiyah, Michael ; Schmid, Wilfried (1977), "Una construcción geométrica de la serie discreta para grupos de Lie semisimples", Inventiones Mathematicae , 42 : 1–62 , doi : 10.1007/BF01389783 , ISSN 0020-9910 , MR 0463358 , S2CID 55559836   
• Bargmann, V (1947), "Representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 48 (3): 568– 640, doi : 10.2307/1969129 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969129 , MR 0021942   
• Harish-Chandra (1965), "Series discretas para grupos de Lie semisimples. I. Construcción de autodistribuciones invariantes", Acta Mathematica , 113 : 241–318 , doi : 10.1007/BF02391779 , ISSN 0001-5962 , 0219665 
• Harish-Chandra (1966), "Series discretas para grupos de Lie semisimples. II. Determinación explícita de los caracteres" , Acta Mathematica , 116 : 1–111 , doi : 10.1007/BF02392813 , ISSN 0001-5962 , MR 0219666 , S2CID 125806386   
• Langlands, RP (1966), "Dimensión de espacios de formas automorfas" , Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Boulder, Colorado, 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 253–257 , MR 0212135  
• Narasimhan, MS; Okamoto, Kiyosato (1970), "Un análogo del teorema de Borel-Weil-Bott para pares simétricos hermíticos de tipo no compacto", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 91 (3): 486– 511, doi : 10.2307/1970635 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970635 , MR 0274657   
• Parthasarathy, R. (1972), "Operador de Dirac y la serie discreta", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 96 (1): 1– 30, doi : 10.2307/1970892 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970892 , MR 0318398   
• Schmid, Wilfried (1976), "L²-cohomología y series discretas", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 103 (2): 375– 394, doi : 10.2307/1970944 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970944 , MR 0396856   
• Schmid, Wilfried (1997), "Series discretas", en Bailey, TN; Knapp, Anthony W. (eds.), Teoría de la representación y formas automórficas (Edimburgo, 1996) , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, vol.  61, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 83–113 , doi : 10.1090/pspum/061/1476494 , ISBN  978-0-8218-0609-8, MR 1476494 
• AI Shtern (2001) [1994], "Series discretas (de representaciones)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Garrett, Paul (2004), Algunos datos sobre series discretas (holomórficas, cuaterniónicas) (PDF)