Representación moderada

En matemáticas, una representación temperada de un grupo de Lie semisimple lineal es una representación que tiene una base cuyos coeficientes matriciales se encuentran en el espacio L ^p.

L ^{2+ ε} ( G )

para cualquier ε > 0.

Esta condición, como se acaba de dar, es ligeramente más débil que la condición de que los coeficientes de la matriz sean de cuadrado integrable , es decir, que se encuentren en

L ² ( G ),

que sería la definición de una representación en serie discreta . Si G es un grupo de Lie semisimple lineal con un subgrupo compacto maximal K , una representación admisible ρ de G está templada si la condición anterior se cumple para los coeficientes matriciales K -finitos de ρ.

La definición anterior también se utiliza para grupos más generales, como los grupos de Lie p -ádicos y las extensiones centrales finitas de grupos algebraicos reales semisimples. La definición de "representación temperada" tiene sentido para grupos localmente compactos unimodulares arbitrarios , pero en grupos con centros infinitos, como las extensiones centrales infinitas de grupos de Lie semisimples, no se comporta bien y suele sustituirse por una definición ligeramente diferente. Más precisamente, una representación irreducible se denomina temperada si es unitaria cuando se restringe al centro Z , y los valores absolutos de los coeficientes de la matriz están en L² ^+ε ( G / Z ).

Las representaciones temperadas en grupos de Lie semisimples fueron definidas y estudiadas por primera vez por Harish-Chandra (utilizando una definición diferente pero equivalente), quien demostró que son precisamente las representaciones necesarias para el teorema de Plancherel . Fueron clasificadas por Knapp y Zuckerman, y utilizadas por Langlands en su clasificación de representaciones irreducibles de un grupo de Lie reductivo G en términos de las representaciones temperadas de grupos más pequeños.

Las representaciones temperadas irreducibles fueron identificadas por Harish-Chandra en su trabajo sobre análisis armónico en un grupo de Lie semisimple como aquellas representaciones que contribuyen a la medida de Plancherel . La definición original de una representación temperada, que tiene ciertas ventajas técnicas, es que su carácter Harish-Chandra debe ser una "distribución temperada" (véase la sección sobre esto más adelante). De los resultados de Harish-Chandra se deduce que es equivalente a la definición más elemental dada anteriormente. Las representaciones temperadas también parecen desempeñar un papel fundamental en la teoría de las formas automórficas . Esta conexión probablemente fue percibida por primera vez por Satake (en el contexto de la conjetura de Ramanujan-Petersson ) y Robert Langlands , y sirvió como motivación para que Langlands desarrollara su esquema de clasificación para representaciones admisibles irreducibles de grupos algebraicos reductivos reales y p -ádicos en términos de las representaciones temperadas de grupos más pequeños. Las conjeturas precisas que identifican el lugar de las representaciones temperadas en el espectro automórfico fueron formuladas posteriormente por James Arthur y constituyen una de las partes de más rápido desarrollo de la teoría moderna de las formas automórficas.

Las representaciones temperadas desempeñan un papel importante en el análisis armónico de grupos de Lie semisimples . Una representación unitaria irreducible de un grupo de Lie semisimple G es temperada si y solo si pertenece al soporte de la medida de Plancherel de G. En otras palabras, las representaciones temperadas son precisamente la clase de representaciones de G que aparecen en la descomposición espectral de funciones L² ^en el grupo (mientras que las representaciones de series discretas tienen la propiedad más fuerte de que una representación individual tenga una medida espectral positiva). Esto contrasta con la situación de los grupos de Lie resolubles abelianos y más generales, donde se necesita una clase diferente de representaciones para explicar completamente la descomposición espectral. Esto se puede observar ya en el ejemplo más simple del grupo aditivo R de los números reales, para el cual los elementos de matriz de las representaciones irreducibles no tienden a cero en el infinito.

En el programa de Langlands , las representaciones atenuadas de los grupos de Lie reales son aquellas que provienen de caracteres unitarios de toros por la funtorialidad de Langlands.

• El teorema de Plancherel para un grupo _de Lie semisimple involucra representaciones que no son series discretas . Esto se hace evidente ya en el caso del grupo SL₂ ( R ) . Las representaciones de series principales de SL₂ ₍ R ) están temperadas y dan cuenta de la descomposición espectral de funciones soportadas en los elementos hiperbólicos del grupo. Sin embargo, no aparecen discretamente en la representación regular de SL₂ ₍ R ) .
• Los dos límites de las representaciones de series discretas de SL ₂ ( R ) son series temperadas pero no discretas (aunque aparecen "discretamente" en la lista de representaciones unitarias irreducibles).
• Para grupos de Lie no semisimples , las representaciones con coeficientes matriciales en L ^2+ε no siempre son suficientes para el teorema de Plancherel , como lo demuestra el ejemplo del grupo aditivo R de números reales y la integral de Fourier ; de hecho, todas las representaciones unitarias irreducibles de R contribuyen a la medida de Plancherel, pero ninguna de ellas tiene coeficientes matriciales en L ^2+ε .
• Las representaciones de series complementarias de SL ₂ ( R ) son representaciones unitarias irreducibles que no están temperadas.
• La representación trivial de un grupo G es una representación unitaria irreducible que no está temperada a menos que G sea compacto .

Las representaciones temperadas irreducibles de un grupo de Lie semisimple fueron clasificadas por Knapp y Zuckerman ( 1976 , 1982 ) . De hecho, clasificaron una clase más general de representaciones llamadas representaciones básicas . Si P=MAN es la descomposición de Langlands de un subgrupo parabólico cuspidal, entonces una representación básica se define como la representación inducida parabólicamente asociada a un límite de representación de series discretas de M y una representación unitaria del grupo abeliano A. Si el límite de representación de series discretas es de hecho una representación de series discretas, entonces la representación básica se llama representación de series discretas inducida . Cualquier representación temperada irreducible es una representación básica, y a la inversa, cualquier representación básica es la suma de un número finito de representaciones temperadas irreducibles. Más precisamente, es una suma directa de 2 ^r representaciones temperadas irreducibles indexadas por los caracteres de un grupo abeliano elemental R de orden 2 ^r (llamado el grupo R ). Cualquier representación básica, y por consiguiente cualquier representación temperada irreducible, es un sumando de una representación en serie discreta inducida. Sin embargo, no siempre es posible representar una representación temperada irreducible como una representación en serie discreta inducida, razón por la cual se considera la clase más general de representaciones básicas. 

Así pues, las representaciones temperadas irreducibles son simplemente las representaciones básicas irreducibles, y pueden clasificarse enumerando todas las representaciones básicas y seleccionando aquellas que son irreducibles, es decir, aquellas que tienen un grupo R trivial.

Fijemos un grupo de Lie semisimple G con subgrupo compacto maximal K. Harish-Chandra (1966 , sección 9) definió una distribución en G como templada si está definida en el espacio de Schwartz de G. El espacio de Schwartz se define a su vez como el espacio de funciones suaves f en G tales que para cualquier número real r y cualquier función g obtenida de f actuando a la izquierda o a la derecha por elementos del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de G , la función

${\displaystyle (1+\sigma )^{r}g/\Xi }$

está acotado. Aquí Ξ es una cierta función esférica en G , invariante bajo la multiplicación izquierda y derecha por K , y σ es la norma del logaritmo de p , donde un elemento g de G se escribe como  : g = kp para k en K y p en P.

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• Knapp, Anthony W.; Zuckerman, Gregg (1976), "Clasificación de representaciones temperadas irreducibles de grupos de Lie semisimples", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 73 (7): 2178– 2180, Bibcode : 1976PNAS...73.2178K , doi : 10.1073/pnas.73.7.2178 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 65732 , MR 0460545 , PMC 430485 , PMID 16592331     
• Knapp, Anthony W.; Zuckerman, Gregg J. (1982), "Clasificación de representaciones temperadas irreducibles de grupos semisimples. Parte I", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 116 (2): 389– 455, doi : 10.2307/2007066 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2007066 , MR 0672840   Knapp, Anthony W.; Zuckerman, Gregg J. (1982), "Clasificación de representaciones temperadas irreducibles de grupos semisimples. Parte II", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 116 (3): 457– 501, doi : 10.2307/2007019 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2007019 , MR 0672840   Knapp, Anthony W.; Zuckerman, Gregg J. (1984), "Corrección", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 119 (3): 639, doi : 10.2307/2007089 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2007089 , MR 0744867   
• Knapp, Anthony W. Teoría de la representación de grupos semisimples: una visión general basada en ejemplos. ISBN 0-691-09089-0
• Wallach, Nolan . Grupos reductivos reales. I. Matemáticas puras y aplicadas, 132. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. xx+412 pp. ISBN  0-12-732960-9