Paquete vectorial

En matemáticas , un fibrado vectorial es una construcción topológica que precisa la idea de una familia de espacios vectoriales parametrizados por otro espacio.${\displaystyle X}$(Por ejemplo${\displaystyle X}$podría ser un espacio topológico , una variedad o una variedad algebraica ): a cada punto${\displaystyle x}$del espacio${\displaystyle X}$asociamos (o "adjuntamos") un espacio vectorial${\displaystyle V(x)}$de tal manera que estos espacios vectoriales se combinan para formar otro espacio del mismo tipo que${\displaystyle X}$(por ejemplo, un espacio topológico, una variedad o una variedad algebraica), que luego se denomina fibrado vectorial sobre${\displaystyle X}$.

El ejemplo más sencillo es el caso en que la familia de espacios vectoriales es constante, es decir, existe un espacio vectorial fijo.${\displaystyle V}$de tal manera que${\displaystyle V(x)=V}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$: en este caso hay una copia de${\displaystyle V}$para cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$y estas copias se unen para formar el haz vectorial.${\displaystyle X\times V}$encima${\displaystyle X}$Se dice que tales haces vectoriales son triviales . Una clase de ejemplos más compleja (y prototípica) son los haces tangentes de variedades diferenciables : a cada punto de dicha variedad se le adjunta el espacio tangente en ese punto. Los haces tangentes no son, en general, haces triviales. Por ejemplo, el haz tangente de la esfera no es trivial según el teorema de la bola peluda . En general, se dice que una variedad es paralelizable si, y solo si, su haz tangente es trivial.

Los haces vectoriales casi siempre deben ser localmente triviales , lo que significa que son ejemplos de haces fibrados . Además, los espacios vectoriales generalmente deben estar definidos sobre los números reales o complejos , en cuyo caso el haz vectorial se denomina haz vectorial real o complejo (respectivamente). Los haces vectoriales complejos pueden considerarse como haces vectoriales reales con una estructura adicional. A continuación, nos centraremos en los haces vectoriales reales en la categoría de espacios topológicos .

Un fibrado vectorial real consta de:

1. espacios topológicos${\displaystyle X}$( espacio base ) y${\displaystyle E}$( espacio total )
2. una sobreyección continua${\displaystyle \pi :E\to X}$( proyección de haces )
3. por cada${\displaystyle x}$ en${\displaystyle X}$, la estructura de un espacio vectorial real de dimensión finita en la fibra${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

donde se cumple la siguiente condición de compatibilidad: para cada punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle X}$Hay un vecindario abierto.${\displaystyle U\subsetequ X}$de${\displaystyle p}$, un número natural${\displaystyle k}$y un homeomorfismo

$${\displaystyle \varphi :U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}$$

de tal manera que para todos${\displaystyle x}$en${\displaystyle U}$,

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$para todos los vectores${\displaystyle v}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, y
• el mapa${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$ es un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$y${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$.

El barrio abierto${\displaystyle U}$junto con el homeomorfismo${\displaystyle \varphi }$Se denomina trivialización local del fibrado vectorial. La trivialización local muestra que localmente el mapa${\displaystyle \pi }$"parece" la proyección de${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$en${\displaystyle U}$.

Cada fibra${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$es un espacio vectorial real de dimensión finita y, por lo tanto, tiene una dimensión${\displaystyle k_{x}}$. Las trivializaciones locales muestran que la función${\displaystyle x\to k_{x}}$es localmente constante y, por lo tanto, es constante en cada componente conexa de${\displaystyle X}$. Si${\displaystyle k_{x}}$es igual a una constante${\displaystyle k}$en todo${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle k}$se denomina rango del fibrado vectorial, y${\displaystyle E}$Se dice que es un haz vectorial de rango${\displaystyle k}$. A menudo, la definición de un fibrado vectorial incluye que el rango está bien definido, de modo que${\displaystyle k_{x}}$es constante. Los haces vectoriales de rango 1 se llaman haces de líneas , mientras que los de rango 2 se llaman con menos frecuencia haces de planos.

El producto cartesiano${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$, equipado con la proyección${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$, se denomina fibrado trivial de rango${\displaystyle k}$encima${\displaystyle X}$.

Funciones de transición

Dado un haz vectorial${\displaystyle E\to X}$de rango${\displaystyle k}$y un par de vecindarios${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$sobre el cual el paquete se trivializa mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{alineado}}}$

la función compuesta

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

está bien definido en la superposición y satisface

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

para algunos${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$función valorada

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

Estas se denominan funciones de transición (o transformaciones de coordenadas ) del fibrado vectorial.

El conjunto de funciones de transición forma un cociclo de Čech en el sentido de que

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

a pesar de${\displaystyle U,V,W}$sobre el cual el paquete trivializa la satisfacción${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$. Por lo tanto, los datos${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$define un haz de fibras ; los datos adicionales del${\displaystyle g_{UV}}$especifica un${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$grupo de estructuras en el que la acción sobre la fibra es la acción estándar de${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$.

Por el contrario, dado un haz de fibras${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$con un${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$cociclo actuando de la forma estándar sobre la fibra${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$Existe un fibrado vectorial asociado . Este es un ejemplo del teorema de construcción de fibrados para fibrados vectoriales, y puede tomarse como una definición alternativa de fibrado vectorial.

Subpaquetes

Un método sencillo para construir haces vectoriales es tomando subhaces de otros haces vectoriales. Dado un haz vectorial${\displaystyle \pi :E\to X}$En un espacio topológico, un subfibrado es simplemente un subespacio topológico.${\displaystyle F\subset E}$para lo cual la restricción${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$de${\displaystyle \pi }$a${\displaystyle F}$da${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$la estructura de un haz vectorial también. En este caso la fibra${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$es un subespacio vectorial para cada${\displaystyle x\in X}$.

Un subfibrado de un fibrado trivial no tiene por qué ser trivial, y de hecho, todo fibrado vectorial real sobre un espacio compacto puede considerarse un subfibrado de un fibrado trivial de rango suficientemente alto. Por ejemplo, la banda de Möbius , un fibrado lineal no trivial sobre el círculo, puede verse como un subfibrado del fibrado trivial de rango 2 sobre el círculo.

Un morfismo del fibrado vectorial${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$al haz vectorial${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$está dada por un par de mapas continuos${\displaystyle f:E_{1}\rightarrow E_{2}}$y${\displaystyle g:X_{1}\rightarrow X_{2}}$de tal manera que $${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$$

por cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X_{1}}$, el mapa${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\rightarrow \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$inducido por${\displaystyle f}$es una aplicación lineal entre espacios vectoriales.

Tenga en cuenta que${\displaystyle g}$está determinado por${\displaystyle f}$(porque${\displaystyle \pi _{1}}$es sobreyectiva), y${\displaystyle f}$Se dice entonces que cubre g .

La clase de todos los haces vectoriales junto con los morfismos de haces forma una categoría . Restringiéndonos a haces vectoriales cuyos espacios son variedades (y cuyas proyecciones de haces son aplicaciones suaves) y a morfismos de haces suaves, obtenemos la categoría de haces vectoriales suaves. Los morfismos de haces vectoriales son un caso especial de la noción de aplicación de haces entre haces de fibras , y a veces se denominan homomorfismos de haces (vectoriales) .

Un homomorfismo de haces de${\displaystyle E_{1}}$a${\displaystyle E_{2}}$con una inversa que también es un homomorfismo de fibrados (de${\displaystyle E_{2}}$a${\displaystyle E_{1}}$) se denomina isomorfismo de fibrado (vectorial) , y luego${\displaystyle E_{1}}$y${\displaystyle E_{2}}$Se dice que son haces vectoriales isomorfos . Un isomorfismo de un (rango${\displaystyle k}$) paquete de vectores${\displaystyle E}$encima${\displaystyle X}$con el haz trivial (de rango${\displaystyle k}$encima${\displaystyle X}$) se denomina una trivialización de${\displaystyle E}$, y${\displaystyle E}$Se dice entonces que es trivial (o trivializable ). La definición de un fibrado vectorial muestra que cualquier fibrado vectorial es localmente trivial .

También podemos considerar la categoría de todos los haces vectoriales sobre un espacio base fijo.${\displaystyle X}$. Como morfismos en esta categoría tomamos aquellos morfismos de haces vectoriales cuyo mapeo en el espacio base es el mapeo identidad en${\displaystyle X}$. Es decir, morfismos de fibrados para los cuales el siguiente diagrama conmuta :

(Nótese que esta categoría no es abeliana ; el núcleo de un morfismo de haces vectoriales no es, en general, un haz vectorial de forma natural).

Un morfismo de fibrados vectoriales entre fibrados vectoriales${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$y${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$cubriendo un mapa${\displaystyle g}$de${\displaystyle X_{1}}$a${\displaystyle X_{2}}$también puede verse como un morfismo de fibrado vectorial sobre${\displaystyle X_{1}}$de${\displaystyle E_{1}}$al paquete de retroceso${\displaystyle g^{*}E_{2}}$.

Dado un fibrado vectorial π : E → X y un subconjunto abierto U de X , podemos considerar secciones de π en U , es decir, funciones continuas s : U → E donde la composición π  ∘ s es tal que ( π ∘ s )( u ) = u para todo u en U. Una sección sobre U es una asignación, a cada punto p de U , de manera continua, de un vector de la fibra del espacio vectorial sobre p . Como ejemplo, una sección del fibrado tangente de una variedad diferencial es lo mismo que un campo vectorial en esa variedad. 

Sea F ( U ) el conjunto de todas las secciones en U . F ( U ) siempre contiene al menos un elemento, a saber, la sección cero : la función s que asigna a cada elemento x de U el elemento cero del espacio vectorial π ⁻¹ ({ x }). Con la suma puntual y la multiplicación escalar de las secciones, F ( U ) se convierte en sí mismo en un espacio vectorial real. La colección de estos espacios vectoriales es un haz de espacios vectoriales en X .

Si s pertenece a F ( U ) y f  : U → R es una aplicación continua, entonces su producto f s (multiplicación escalar puntual) pertenece a F ( U ). Esto demuestra que F ( U ) es un módulo sobre el anillo de funciones continuas de valor real definidas en U. Además, si O _X denota el haz estructural de funciones continuas de valor real definidas en X , entonces F se convierte en un haz de módulos O _X.

No todos los haces de módulos OX _surgen de esta manera a partir de un fibrado vectorial: solo los localmente libres lo hacen. (La razón es que localmente buscamos secciones de una proyección U × R ^k → U ; estas son precisamente las funciones continuas U → R ^k , y dicha función es una k - tupla de funciones continuas U → R ).

Más aún: la categoría de haces vectoriales reales en X es equivalente a la categoría de haces localmente libres y finitamente generados de O _X -módulos.

Así pues, podemos pensar que la categoría de haces vectoriales reales en X se encuentra dentro de la categoría de haces de O _X -módulos ; esta última categoría es abeliana, por lo que es aquí donde podemos calcular núcleos y conúcleos de morfismos de haces vectoriales.

Un fibrado vectorial de rango n es trivial si y solo si tiene n secciones globales linealmente independientes .

La mayoría de las operaciones en espacios vectoriales se pueden extender a haces vectoriales realizando la operación de espacio vectorial fibra por fibra .

Por ejemplo, si E es un fibrado vectorial sobre X , entonces existe un fibrado E* sobre X , llamado fibrado dual , cuya fibra en x ∈ X es el espacio vectorial dual ( E _x )*. Formalmente, E* se puede definir como el conjunto de pares ( x , φ), donde x ∈ X y φ ∈ ( E _x )*. El fibrado dual es localmente trivial porque el espacio dual de la inversa de una trivialización local de E es una trivialización local de E* : el punto clave aquí es que la operación de tomar el espacio vectorial dual es funtorial .

Existen numerosas operaciones funtoriales que pueden realizarse sobre pares de espacios vectoriales (sobre el mismo cuerpo), y estas se extienden directamente a pares de haces vectoriales E y F sobre X (sobre el cuerpo dado). A continuación se presentan algunos ejemplos.

• La suma de Whitney (llamada así por Hassler Whitney ) o fibrado de suma directa de E y F es un fibrado vectorial E ⊕ F sobre X cuya fibra sobre x es la suma directa E _x ⊕ F _x de los espacios vectoriales E _x y F _x .
• El fibrado de producto tensorial E ⊗ F se define de manera similar, utilizando el producto tensorial fibrado de espacios vectoriales.
• El fibrado Hom( E , F ) es un fibrado vectorial cuya fibra en x es el espacio de aplicaciones lineales de E _x a F _x (que a menudo se denota como Hom( E _x , F _x ) o L ( E _x , F _x )). El fibrado Hom se denomina así (y es útil) porque existe una biyección entre los homomorfismos de fibrados vectoriales de E a F sobre X y las secciones de Hom( E , F ) sobre X .
• Partiendo del ejemplo anterior, dada una sección s de un fibrado de endomorfismos Hom( E , E ) y una función f : X → R , se puede construir un fibrado propio (tomando la fibra sobre un punto x ∈ X) que sea el espacio propio f ( x ) de la aplicación lineal s ( x ): E _x → E _x . Aunque esta construcción es natural, a menos que se tenga cuidado, el objeto resultante no tendrá trivializaciones locales. Consideremos el caso en que s sea la sección cero y f tenga ceros aislados. La fibra sobre estos ceros en el "fibrado propio" resultante será isomorfa a la fibra sobre ellos en E , mientras que en cualquier otro lugar la fibra es el espacio vectorial trivial de dimensión 0.
• El fibrado vectorial dual E* es el fibrado Hom( E , R × X ) de homomorfismos de fibrados de E y el fibrado trivial R × X . Existe un isomorfismo de fibrados vectoriales canónico Hom( E , F ) = E* ⊗ F .

Cada una de estas operaciones es un ejemplo particular de una característica general de los haces: que muchas operaciones que se pueden realizar en la categoría de espacios vectoriales también se pueden realizar en la categoría de haces vectoriales de manera funtorial . Esto se precisa en el lenguaje de los functores suaves . Una operación de naturaleza diferente es la construcción del haz de retroceso . Dado un haz vectorial E → Y y una aplicación continua f : X → Y, se puede "retroceder" E a un haz vectorial f*E sobre X. La fibra sobre un punto x ∈ X es esencialmente la fibra sobre f ( x ) ∈ Y. Por lo tanto, la suma de Whitney E ⊕ F se puede definir como el haz de retroceso de la aplicación diagonal de X a X × X donde el haz sobre X × X es E  × F. 

Nota : Sea X un espacio compacto . Cualquier fibrado vectorial E sobre X es sumando directo de un fibrado trivial; es decir, existe un fibrado E ' tal que E ⊕ E ' es trivial. Esto no se cumple si X no es compacto: por ejemplo, el fibrado lineal tautológico sobre el espacio proyectivo real infinito no posee esta propiedad. ^{[ 1 ]}

Los haces vectoriales suelen tener una estructura más compleja. Por ejemplo, se les puede asignar una métrica . Generalmente, esta métrica debe ser definida positiva , en cuyo caso cada fibra de E se convierte en un espacio euclidiano . Un haz vectorial con una estructura compleja corresponde a un haz vectorial complejo , que también se puede obtener reemplazando los espacios vectoriales reales por complejos en la definición y exigiendo que todas las aplicaciones sean complejas lineales en las fibras. De forma más general, la estructura adicional impuesta a un haz vectorial se puede entender como la reducción resultante del grupo de estructura del haz . También se pueden utilizar haces vectoriales sobre campos topológicos más generales .

Si en lugar de un espacio vectorial de dimensión finita, se toma la fibra F como un espacio de Banach , entonces se obtiene un fibrado de Banach . ^{[ 2 ]} Específicamente, se debe requerir que las trivializaciones locales sean isomorfismos de espacios de Banach (en lugar de solo isomorfismos lineales) en cada una de las fibras y que, además, las transiciones

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

son aplicaciones continuas de variedades de Banach . En la teoría correspondiente para fibrados C ^p , se requiere que todas las aplicaciones sean C ^p .

Los haces vectoriales son haces de fibras especiales , aquellos cuyas fibras son espacios vectoriales y cuyo cociclo respeta la estructura del espacio vectorial. Se pueden construir haces de fibras más generales en los que la fibra puede tener otras estructuras; por ejemplo, los haces de esferas están fibrados por esferas.

Un fibrado vectorial ( E , p , M ) es liso si E y M son variedades lisas , p: E → M es una aplicación lisa y las trivializaciones locales son difeomorfismos . Dependiendo del grado de suavidad requerido , existen diferentes nociones correspondientes de fibrados C ^p , fibrados C ^∞ infinitamente diferenciables y fibrados C ^ω analíticos reales . En esta sección nos concentraremos en los fibrados C ^∞ . El ejemplo más importante de un fibrado vectorial C ^{∞ es el} fibrado tangente ( TM , π _TM , M ) de una variedad C ^∞ M .

Un fibrado vectorial suave se puede caracterizar por el hecho de que admite funciones de transición como se describió anteriormente, las cuales son funciones suaves en superposiciones de cartas trivializantes U y V. Es decir, un fibrado vectorial E es suave si admite un recubrimiento por conjuntos abiertos trivializantes tales que para cualesquiera dos de dichos conjuntos U y V , la función de transición

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

es una función suave en el grupo de matrices GL(k, R ), que es un grupo de Lie .

De manera similar, si las funciones de transición son:

• Si C ^{r es} entonces el fibrado vectorial es un fibrado vectorial C ^r ,
• real analítico entonces el fibrado vectorial es un fibrado vectorial analítico real (esto requiere que el grupo de matrices tenga una estructura analítica real),
• holomorfo entonces el fibrado vectorial es un fibrado vectorial holomorfo (esto requiere que el grupo de matrices sea un grupo de Lie complejo ),
• funciones algebraicas entonces el fibrado vectorial es un fibrado vectorial algebraico (esto requiere que el grupo de matrices sea un grupo algebraico ).

Los haces vectoriales C ^{∞ (} E , p , M ) poseen una propiedad muy importante que no comparten los haces de fibras C ^{∞ más generales. A saber, el espacio tangente} T _v ( E _x ) en cualquier v ∈ E _x puede identificarse naturalmente con la fibra E _x misma. Esta identificación se obtiene mediante la elevación vertical vl _v : E _x → T _v ( E _x ), definida como

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

El levantamiento vertical también puede verse como un isomorfismo de fibrado vectorial C ^{∞ natural} p*E → VE , donde ( p*E , p*p , E ) es el fibrado de retroceso de ( E , p , M ) sobre E a través de p : E → M , y VE  := Ker( p _* ) ⊂ TE es el fibrado tangente vertical , un subfibrado vectorial natural del fibrado tangente ( TE , π _TE , E ) del espacio total E .

El espacio total E de cualquier fibrado vectorial suave posee un campo vectorial natural V _v  := vl _v v , conocido como el campo vectorial canónico . Más formalmente, V es una sección suave de ( TE , π _TE , E ), y también puede definirse como el generador infinitesimal de la acción del grupo de Lie.${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$dada por la multiplicación escalar fibrada. El campo vectorial canónico V caracteriza completamente la estructura del fibrado vectorial suave de la siguiente manera. Como preparación, observe que cuando X es un campo vectorial suave en una variedad suave M y x ∈ M tal que X _x = 0, la aplicación lineal

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

no depende de la elección de la derivada covariante lineal ∇ en M. El campo vectorial canónico V en E satisface los axiomas

1. El flujo ( t , v ) → Φ ^t _V ( v ) de V está definido globalmente.
2. Para cada v ∈ V existe un único lim _t→∞ Φ ^t _V ( v ) ∈ V .
3. C _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) siempre que V _v = 0.
4. El conjunto cero de V es una subvariedad lisa de E cuya codimensión es igual al rango de C _v ( V ).

Por el contrario, si E es cualquier variedad diferenciable y V es un campo vectorial diferenciable en E que satisface 1–4, entonces existe una única estructura de fibrado vectorial en E cuyo campo vectorial canónico es V.

Para cualquier fibrado vectorial suave ( E , p , M ) el espacio total TE de su fibrado tangente ( TE , π _TE , E ) tiene una estructura de fibrado vectorial secundario natural ( TE , p _* , TM ), donde p _* es la proyección directa de la proyección canónica p : E → M . Las operaciones de fibrado vectorial en esta estructura de fibrado vectorial secundario son las proyecciones directas + _* : T ( E × E ) → TE y λ _* : TE → TE de la suma original +: E × E → E y la multiplicación escalar λ: E → E .

El grupo de teoría K, K ( X ) , de un espacio topológico compacto de Hausdorff se define como el grupo abeliano generado por clases de isomorfismo [ E ] de haces vectoriales complejos bajo la operación de grupo de suma de Whitney , módulo la relación de que, siempre que tengamos una secuencia exacta$${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$ entonces $${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$en la teoría K topológica . La teoría KO es una versión de esta construcción que considera fibrados vectoriales reales. También se puede definir la teoría K con soportes compactos , así como grupos de teoría K de orden superior.

El famoso teorema de periodicidad de Raoul Bott afirma que la K-teoría de cualquier espacio X es isomorfa a la de S ² X , la doble suspensión de X .

En geometría algebraica , se consideran los grupos de K-teoría formados por haces coherentes sobre un esquema X , así como los grupos de K-teoría de fibrados vectoriales sobre el esquema con la relación de equivalencia anterior . Ambas construcciones son naturalmente isomorfas siempre que el esquema subyacente sea liso .

• "Fibra vectorial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• ¿Por qué es útil estudiar los haces vectoriales  ? (en MathOverflow)
• ¿Por qué es útil clasificar los haces vectoriales de un espacio  ?