Estructura del haz de vectores secundarios

En matemáticas , particularmente en topología diferencial , la estructura de fibrado vectorial secundaria se refiere a la estructura de fibrado vectorial natural $(TE, p *, TM)$ en el espacio total TE del fibrado tangente de un fibrado vectorial suave $(E, p, M)$ , inducida por el empuje hacia adelante $p * : TE \to TM$ del mapa de proyección original $p : E \to M$ . Esto da lugar a una estructura de fibrado vectorial doble $(TE, E, TM, M)$ .

En el caso especial $(E, p, M) = (TM, π TM, M)$ , donde $TE = TTM$ es el fibrado tangente doble , el fibrado vectorial secundario $(TTM, (π TM) *, TM)$ es isomorfo al fibrado tangente $(TTM, π TTM, TM)$ de $TM$ a través del giro canónico .

Construcción de la estructura del haz vectorial secundario

Sea $(E, p, M)$ un fibrado vectorial suave de rango $N$ . Entonces, la preimagen $(p *) -1 (X) \subset TE$ de cualquier vector tangente $X$ en $TM$ en la proyección directa $p * : TE \to TM$ de la proyección canónica $p : E \to M$ es una subvariedad suave de dimensión $2 N$ , y se convierte en un espacio vectorial con las proyecciones directas.

+_{*}:T(E\times _{\!M}\!E)\to TE,\qquad \lambda _{*}:TE\to TE

de la suma original y la multiplicación escalar

+:E\times _{\!M}\!E\to E,\qquad \lambda :E\to E

como sus operaciones de espacio vectorial. Queda claro $+_{*}$ en realidad define la adición en las fibras de $p_{*}$ como $T(E\times _{\!M}\!E)=TE\times _{TM}TE$ . La tripleta $(TE, p *, TM)$ se convierte en un fibrado vectorial suave con estas operaciones de espacio vectorial en sus fibras.

Prueba

Sea $(U, φ)$ un sistema de coordenadas local en la variedad base $M$ con $φ (x) = (x 1, ..., x n)$ y sea

{\begin{cases}\psi :W\to \varphi (U)\times \mathbf {R} ^{N}\\\psi \left(v^{k}e_{k}|_{x}\right):=\left(x^{1},\ldots ,x^{n},v^{1},\ldots ,v^{N}\right)\end{cases}}

ser un sistema de coordenadas en $W:=p^{-1}(U)\subconjunto E$ se adaptó a ello. Entonces

p_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},

por lo tanto, la fibra de la estructura del haz vectorial secundario en $X$ en $T x M$ es de la forma

{\displaystyle p_{*}^{-1}(X)=\left\{X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\

Ahora resulta que

\chi \left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},\left(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}\right)\right)

da una trivialización local $χ : TW \to TU \times R 2 N$ para $(TE, p *, TM)$ , y las extensiones de las operaciones del espacio vectorial original se leen en las coordenadas adaptadas como

\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)+_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{w}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v+w}

y

\lambda _{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{\lambda v},

por lo que cada fibra $(p *) -1 (X) \subset TE$ es un espacio vectorial y la tripleta $(TE, p *, TM)$ es un fibrado vectorial suave.

Linealidad de las conexiones en haces vectoriales

La conexión general de Ehresmann $TE = HE \oplus VE$ en un fibrado vectorial $(E, p, M)$ puede caracterizarse en términos del mapa conector.

{\begin{cases}\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)}\\\kappa (X):=\operatorname {vl} _{v}^{-1}(\operatorname {vpr} X)\end{cases}}

donde $vl v : E \to V v E$ es la elevación vertical , y $vpr v : T v E \to V v E$ es la proyección vertical . El mapeo

{\displaystyle {\begin{cases}\nabla

inducido por una conexión de Ehresmann es una derivada covariante en $Γ(E)$ en el sentido de que

{\begin{aligned}\nabla _{X+Y}v&=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v\\\nabla _{\lambda X}v&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(v+w)&=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w\\\nabla _{X}(\lambda v)&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(fv)&=X[f]v+f\nabla _{X}v\end{alineado}}

si y solo si el mapa conector es lineal con respecto a la estructura del fibrado vectorial secundario $(TE, p *, TM)$ en $TE$ . Entonces la conexión se llama lineal . Nótese que el mapa conector es automáticamente lineal con respecto a la estructura del fibrado tangente $(TE, π TE, E)$ .

Véase también

Referencias

P.Michor. Temas de geometría diferencial, Sociedad Matemática Americana (2008).