Estructura compleja lineal

En matemáticas , una estructura compleja en un espacio vectorial real $V$ es un automorfismo de $V$ que se eleva al cuadrado a la identidad menos , $-{\text{id}}_{V}$ . Tal estructura en $V$ permite definir la multiplicación por escalares complejos de forma canónica para considerar $V$ como un espacio vectorial complejo .

Todo espacio vectorial complejo puede dotarse de una estructura compleja compatible de forma canónica; sin embargo, en general no existe una estructura compleja canónica. Las estructuras complejas tienen aplicaciones tanto en la teoría de la representación como en la geometría compleja, donde desempeñan un papel esencial en la definición de variedades casi complejas , a diferencia de las variedades complejas . El término «estructura compleja» suele referirse a esta estructura en variedades; cuando se refiere a una estructura en espacios vectoriales, puede denominarse estructura compleja lineal .

Definición y propiedades

Una estructura compleja en un espacio vectorial real $V$ es una transformación lineal real $J:V\to V$ de tal manera que $J^{2}=-{\text{id}}_{V}.$ Aquí $J^{2}$ medio $J$ compuesto consigo mismo y ${\text{id}}_{V}$ es el mapa de identidad en $V$ . Es decir, el efecto de aplicar $J$ dos veces es lo mismo que multiplicar por $-1$ Esto recuerda a la multiplicación por la unidad imaginaria , $i$ Una estructura compleja permite dotar de dotes a una estructura compleja. $V$ con la estructura de un espacio vectorial complejo . La multiplicación escalar compleja se puede definir mediante $(x+iy){\vec {v}}=x{\vec {v}}+yJ({\vec {v}})$ para todos los números reales $x,y$ y todos los vectores ${\vec {v}}$ en $V.$ Se puede comprobar que esto, de hecho, da $V$ la estructura de un espacio vectorial complejo que denotamos $V_{J}$ .

En la dirección opuesta, si se parte de un espacio vectorial complejo $W$ Entonces se puede definir una estructura compleja en el espacio real subyacente definiendo $Jw=iw~~\forall w\in W$ .

De manera más formal, una estructura compleja lineal en un espacio vectorial real es una representación algebraica de los números complejos. $\mathbb {C}$ , considerada como un álgebra asociativa sobre los números reales . Esta álgebra se realiza concretamente como $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ que corresponde a $i^{2}=-1$ . Luego una representación de $\mathbb {C}$ es un espacio vectorial real $V$ , junto con una acción de $\mathbb {C}$ en $V$ (un mapa $\mathbb {C} \rightarrow {\text{Fin}}(V)$ ). Concretamente, esto es solo una acción de $i$ , ya que esto genera el álgebra y el operador que representa $i$ (la imagen de $i$ en ${\text{Fin}}(V)$ ) es exactamente $J$ .

Si $V_{J}$ tiene dimensión compleja $n$ , entonces $V$ debe tener dimensión real $2n$ . Es decir, un espacio de dimensión finita $V$ Admite una estructura compleja solo si es de dimensión par. No es difícil ver que todo espacio vectorial de dimensión par admite una estructura compleja. Se puede definir $J$ en pares $e,f$ de vectores base por $Je=f$ y $Jf=-e$ y luego extender por linealidad a todo $V$ . Si $(v_{1},\dots ,v_{n})$ es una base para el espacio vectorial complejo $V_{J}$ entonces $(v_{1},Jv_{1},\dots ,v_{n},Jv_{n})$ es una base para el espacio real subyacente $V$ .

Una transformación lineal real $A:V\rightarrow V$ es una transformación lineal compleja del espacio complejo correspondiente $V_{J}$ si y solo si $A$ se desplaza con $J$ , es decir, si y solo si $AJ=JA.$ Asimismo, un subespacio real $U$ de $V$ es un subespacio complejo de $V_{J}$ si y solo si $J$ conservas $U$ , es decir, si y solo si $JU=U.$

Ejemplos

Ejemplo elemental

La colección de $2\times 2$ matrices reales $\mathbb {M} (2,\mathbb {R} )$ sobre el campo real es de 4 dimensiones. Cualquier matriz

J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}},~~a^{2}+bc=-1

tiene un cuadrado igual al negativo de la matriz identidad. Se puede formar una estructura compleja en $\mathbb {M} (2,\mathbb {R} )$ : con matriz identidad $I$ , elementos $xI+yJ$ , con la multiplicación de matrices para formar números complejos.

Espacio complejo n -dimensional C ⁿ

^{El ejemplo fundamental de una estructura compleja}^lineal es la estructura en ^{R²ⁿ que proviene de la estructura compleja en Cⁿ} . Es decir , el espacio complejo n -dimensional Cⁿ es también un espacio real 2ⁿ - ^dimensional —utilizando la misma suma vectorial y la misma multiplicación escalar real—, mientras que la multiplicación por el número complejo i no solo es una transformación lineal compleja del espacio, considerado como un espacio vectorial complejo, sino también una transformación lineal real del espacio, considerado como un espacio vectorial real. Concretamente, esto se debe a que la multiplicación escalar por i conmuta con la multiplicación escalar por números reales. $i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)$ – y se distribuye a través de la suma de vectores. Como una matriz compleja n × n , esta es simplemente la matriz escalar con i en la diagonal. La matriz real correspondiente de 2 n × 2 n se denota J.

Dado un punto de partida $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}$ para el espacio complejo, este conjunto, junto con estos vectores multiplicados por i, es decir $\left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},$ forman una base para el espacio real. Hay dos formas naturales de ordenar esta base, que corresponden abstractamente a si se escribe el producto tensorial como $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ o en su lugar como $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.$

Si uno ordena la base como $\left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},$ Entonces, la matriz para J toma la forma diagonal por bloques (se agregan subíndices para indicar la dimensión): $J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.$ Este ordenamiento tiene la ventaja de que respeta las sumas directas de espacios vectoriales complejos, lo que significa aquí que la base para $\mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}$ es lo mismo que para $\mathbb {C} ^{m+n}.$

Por otro lado, si uno ordena la base como $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}$ , entonces la matriz para J es antidiagonal por bloques: $J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.$ Este ordenamiento resulta más natural si se considera el espacio complejo como una suma directa de espacios reales, como se explica más adelante.

Los datos del espacio vectorial real y de la matriz J son exactamente los mismos que los datos del espacio vectorial complejo, ya que la matriz J permite definir la multiplicación compleja. A nivel de álgebras de Lie y grupos de Lie , esto corresponde a la inclusión de gl( n , C ) en gl(2 n , R ) (álgebras de Lie – matrices, no necesariamente invertibles) y GL( n , C ) en GL(2 n , R ):

gl( n , C ) < gl( 2n , R ) y GL( n , C ) < GL( 2n , R ).

La inclusión corresponde a olvidar la estructura compleja (y conservar solo lo real), mientras que el subgrupo GL( n , C ) puede caracterizarse (dado en ecuaciones) como las matrices que conmutan con J: $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.$ La afirmación correspondiente sobre las álgebras de Lie es que la subálgebra gl( n , C ) de matrices complejas son aquellas cuyo corchete de Lie con J se anula, lo que significa $[J,A]=0;$ en otras palabras, como el núcleo del mapa de corchetes con J, $[J,-].$

Tenga en cuenta que las ecuaciones que definen estas afirmaciones son las mismas, ya que $AJ=JA$ es lo mismo que $AJ-JA=0,$ que es lo mismo que $[A,J]=0,$ aunque el significado de la desaparición del corchete de Lie es geométricamente menos inmediato que el significado de la conmutación.

Suma directa

Si V es cualquier espacio vectorial real, existe una estructura compleja canónica en la suma directa V ⊕ V dada por $J(v,w)=(-w,v).$ La forma matricial por bloques de J es $J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}$ dónde $I_{V}$ es la aplicación identidad en V. Esto corresponde a la estructura compleja en el producto tensorial. $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.$

Compatibilidad con otras estructuras

Si $B$ es una forma bilineal en $V$ , entonces decimos que $J$ preserva $B$ si $B(Ju,Jv)=B(u,v)$ para todo $u, v \in V$ . Una caracterización equivalente es que $J$ es antisimétrico-adjunto con respecto a $B$ : $B(Ju,v)=-B(u,Jv).$

Si $g$ es un producto interno en $V$ , entonces $J$ preserva $g$ si y solo si $J$ es una transformación ortogonal . Del mismo modo, $J$ preserva una forma antisimétrica no degenerada ω $si$ y solo si $J$ es una transformación simpléctica (es decir, si ${\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$ ). Para las formas simplécticas $ω,$ una condición de compatibilidad interesante entre $J$ y $ω$ es que $\omega (u,Ju)>0$ $se cumple para todo u$ distinto de cero en $V.$ Si se satisface esta condición, entonces decimos que $J$ domestica $a ω$ (sinónimamente: que $ω$ es domesticado con respecto a $J$ ; que $J$ es domesticado con respecto a $ω$ ; o que el par ${\textstyle (\omega ,J)}$ es manso).

Dada una forma simpléctica $ω$ y una estructura compleja lineal $J$ en $V$ , se puede definir una forma bilineal asociada $g J$ en $V$ mediante $g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).$ Dado que una forma simpléctica no es degenerada, también lo es la forma bilineal asociada. La forma asociada se conserva bajo $J$ si y solo si la forma simpléctica se conserva. Además, si la forma simpléctica se conserva bajo $J$ , entonces la forma asociada es simétrica. Si además $ω$ se domestica bajo $J$ , entonces la forma asociada es definida positiva . Por lo tanto, en este caso V $es$ un espacio con producto interno respecto a $g J.$

Si la forma simpléctica $ω$ se conserva (pero no necesariamente se domestica) por $J$ , entonces $g J$ es la parte real de la forma hermitiana (por convención antilineal en el primer argumento). ${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ definido por $h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).$

Relación con las complejizaciones

Dado cualquier espacio vectorial real V, podemos definir su complejización mediante la extensión de escalares :

V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .

Este es un espacio vectorial complejo cuya dimensión compleja es igual a la dimensión real de V. Tiene una conjugación compleja canónica definida por

{\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}

Si J es una estructura compleja en V , podemos extender J por linealidad a V ^C :

J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.

Dado que C es algebraicamente cerrado , se garantiza que J tiene autovalores que satisfacen λ ² = −1, es decir, λ = ± i . Por lo tanto, podemos escribir

V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}

donde V ⁺ y V ⁻ son los autoespacios de + i y − i , respectivamente. La conjugación compleja intercambia V ⁺ y V ⁻ . Las proyecciones sobre los autoespacios V ^± vienen dadas por

{\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).

De modo que

V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.

Existe un isomorfismo lineal complejo natural entre V _J y V ⁺ , por lo que estos espacios vectoriales pueden considerarse iguales, mientras que V ⁻ puede considerarse como el conjugado complejo de V _J .

Tenga en cuenta que si V _J tiene dimensión compleja n, entonces tanto V ⁺ como V ⁻ tienen dimensión compleja n, mientras que V ^C tiene dimensión compleja 2 n .

En abstracto, si se parte de un espacio vectorial complejo W y se toma la complejización del espacio real subyacente, se obtiene un espacio isomorfo a la suma directa de W y su conjugado:

W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.

Extensión a espacios vectoriales relacionados

Sea V un espacio vectorial real con una estructura compleja J. El espacio dual V * tiene una estructura compleja natural J * dada por el dual (o transpuesta ) de J. La complejización del espacio dual ( V *) ^C tiene, por lo tanto, una descomposición natural.

(V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}

en los autoespacios ± i de J *. Bajo la identificación natural de ( V *) ^C con ( V ^C )* se puede caracterizar ( V *) ⁺ como aquellos funcionales lineales complejos que se anulan en V ⁻ . De igual modo, ( V *) ⁻ consiste en aquellos funcionales lineales complejos que se anulan en V ⁺ .

Las álgebras tensoriales (complejas) , simétricas y exteriores sobre V ^C también admiten descomposiciones. El álgebra exterior es quizás la aplicación más importante de esta descomposición. En general, si un espacio vectorial U admite una descomposición U = S ⊕ T , entonces las potencias exteriores de U se pueden descomponer de la siguiente manera:

\Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).

Por lo tanto, una estructura compleja J sobre V induce una descomposición.

\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}

dónde

\Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).

Todas las potencias exteriores se toman sobre los números complejos. Por lo tanto, si V _J tiene dimensión compleja n (dimensión real 2 n ) entonces

\dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.

Las dimensiones coinciden correctamente como consecuencia de la identidad de Vandermonde .

El espacio de formas ( p , q ) Λ ^{p , q} V _J * es el espacio de formas multilineales (complejas) en V ^C que se anulan en elementos homogéneos a menos que p sean de V ⁺ y q sean de V ⁻ . También es posible considerar Λ ^{p , q} V _J * como el espacio de aplicaciones multilineales reales de V _J a C que son lineales complejas en términos de p y lineales conjugadas en términos de q .

Consulte la forma diferencial compleja y la variedad casi compleja para ver aplicaciones de estas ideas.

Véase también

Referencias

Kobayashi S. y Nomizu K. , Fundamentos de geometría diferencial , John Wiley & Sons, 1969. ISBN 0-470-49648-7(Las estructuras complejas se analizan en el Volumen II, Capítulo IX, sección 1).
Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez espinorial , Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3(Las estructuras complejas se analizan en la sección 3.1).
Goldberg SI, Curvatura y homología , Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X(Las estructuras complejas y las variedades casi complejas se analizan en la sección 5.2).