Mapa antilineal

En matemáticas , una función${\displaystyle f:V\to W}$Se dice que la relación entre dos espacios vectoriales complejos es antilineal o conjugada lineal si $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (aditividad) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (homogeneidad conjugada) }}\\\end{alignedat}}}$$ válido para todos los vectores${\displaystyle x,y\in V}$y cada número complejo${\displaystyle s,}$dónde${\displaystyle {\overline {s}}}$denota el conjugado complejo de${\displaystyle s.}$

Las aplicaciones antilineales contrastan con las lineales , que son aplicaciones aditivas homogéneas en lugar de homogéneas conjugadas . Si los espacios vectoriales son reales , la antilinealidad es equivalente a la linealidad.

Las aplicaciones antilineales aparecen en mecánica cuántica en el estudio de la inversión temporal y en el cálculo espinorial , donde es habitual reemplazar las barras sobre los vectores base y las componentes de los objetos geométricos por puntos sobre los índices. Las aplicaciones antilineales escalares suelen surgir al trabajar con productos internos complejos y espacios de Hilbert .

Una función se denomina antilineal o lineal conjugada si es aditiva y homogénea conjugada . Un funcional antilineal en un espacio vectorial${\displaystyle V}$es una aplicación antilineal con valores escalares.

Una función${\displaystyle f}$se llama aditivo si $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ para todos los vectores }}x,y}$$ mientras que se llama homogéneo conjugado si $${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$ En contraste, un mapeo lineal es una función que es aditiva y homogénea , donde${\displaystyle f}$se denomina homogéneo si $${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

Un mapa antilineal${\displaystyle f:V\to W}$puede describirse de forma equivalente en términos del mapa lineal.${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$de${\displaystyle V}$al espacio vectorial conjugado complejo${\displaystyle {\overline {W}}.}$

La composición de dos aplicaciones antilineales es una aplicación lineal . La clase de aplicaciones semilineales generaliza la clase de aplicaciones antilineales al generalizar el cuerpo.

El espacio vectorial de todas las formas antilineales en un espacio vectorial${\displaystyle X}$se denomina espacio antidual algebraico de${\displaystyle X.}$Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico , entonces el espacio vectorial de todos los funcionales antilineales continuos en${\displaystyle X,}$denotado por${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$se denomina espacio antidual continuo o simplemente espacio antidual de${\displaystyle X}$^{[ 2 ]} si no puede surgir confusión.

Cuando${\displaystyle H}$es un espacio normado entonces la norma canónica en el espacio antidual (continuo)${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$denotado por${\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$se define utilizando esta misma ecuación: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

Esta fórmula es idéntica a la fórmula para la norma dual en el espacio dual continuo.${\displaystyle X^{\prime }}$de${\displaystyle X,}$que se define por ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}$$

Isometría canónica entre el dual y el antidual

El conjugado complejo${\displaystyle {\overline {f}}}$de un funcional${\displaystyle f}$se define mediante el envío${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$a${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$Satisface $${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$ por cada${\displaystyle f\in X^{\prime }}$y cada${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$ Esto dice exactamente que la biyección antilineal canónica definida por $${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$ así como su inversa${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$son isometrías antilineales y, en consecuencia, también homeomorfismos .

Si${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$entonces${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$y este mapa canónico${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$se reduce al mapa de identidad .

Espacios de productos internos

Si${\displaystyle X}$es un espacio de producto interno entonces tanto la norma canónica en${\displaystyle X^{\prime }}$y en${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$satisface la ley del paralelogramo , lo que significa que la identidad de polarización se puede utilizar para definir un producto interno canónico en${\displaystyle X^{\prime }}$y también en${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$que este artículo denotará con las notaciones $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$ donde este producto interno hace${\displaystyle X^{\prime }}$y${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$en espacios de Hilbert. Los productos internos${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$y${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$son antilineales en sus segundos argumentos. Además, la norma canónica inducida por este producto interno (es decir, la norma definida por${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$) es consistente con la norma dual (es decir, como se define anteriormente por el supremo sobre la bola unitaria); explícitamente, esto significa que lo siguiente se cumple para todo${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$$${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

Si${\displaystyle X}$es un espacio de producto interno entonces los productos internos en el espacio dual${\displaystyle X^{\prime }}$y el espacio antidual${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$denotado respectivamente por${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$y${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$están relacionados por$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$ y $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

• Ecuación funcional de Cauchy – Ecuación funcional 
• Conjugado complejo : operación fundamental sobre números complejos. 
• Espacio vectorial conjugado complejo – Concepto matemático Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección 
• Teorema fundamental de los espacios de Hilbert – Sobre la sobreyectividad de una aplicación lineal a un espacio antidual 
• Espacio con producto interno – Espacio vectorial con producto escalar generalizado 
• Mapa lineal – Función matemática, en álgebra lineal 
• Consimilitud de matrices
• Teorema de representación de Riesz : Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert. 
• Forma sesquilineal : generalización de productos internos complejos 
• Inversión temporal – Simetría de inversión temporal en física 

• Budinich, P. y Trautman, A. El tablero de ajedrez Spinorial . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3(Los mapas antilineales se analizan en la sección 3.3).
• Horn y Johnson, Análisis matricial, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2(Los mapas antilineales se analizan en la sección 4.6).
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​