Métrica de paquete

En geometría diferencial , la noción de tensor métrico puede extenderse a un fibrado vectorial arbitrario y a algunos fibrados principales . Esta métrica se suele denominar métrica de fibrado o métrica de fibra .

Si M es una variedad topológica y π  : E → M un fibrado vectorial en M , entonces una métrica en E es una aplicación de fibrado k  : E × _M E → M × R del producto fibrado de E consigo mismo al fibrado trivial con fibra R tal que la restricción de k a cada fibra sobre M es una aplicación bilineal no degenerada de espacios vectoriales . ^{[ 1 ]} En términos generales, k da una especie de producto escalar (no necesariamente simétrico o definido positivo) en el espacio vectorial sobre cada punto de M , y estos productos varían suavemente sobre M.  

Todo fibrado vectorial con espacio base paracompacto puede equiparse con una métrica de fibrado. ^{[ 1 ]} Para un fibrado vectorial de rango n , esto se deduce de las cartas de fibrado.${\displaystyle \phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{n}} : la métrica del fibrado puede tomarse como el retroceso del producto interno de una métrica en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$; por ejemplo, las cartas ortonormales del espacio euclidiano. El grupo de estructura de dicha métrica es el grupo ortogonal O ( n ).

Si M es una variedad riemanniana y E es su fibrado tangente T M , entonces la métrica riemanniana da una métrica de fibrado, y viceversa. ^{[ 1 ]}

Si el fibrado π : P → M es un fibrado principal con grupo G , y G es un grupo de Lie compacto , entonces existe un producto interno k invariante bajo Ad( G ) en las fibras, tomado del producto interno en el álgebra de Lie compacta correspondiente . Más precisamente, existe un tensor métrico k definido en el fibrado vertical E = V P tal que k es invariante bajo la multiplicación por la izquierda:

${\displaystyle k(L_{g*}X,L_{g*}Y)=k(X,Y)}$

Para los vectores verticales X , Y y L _{, g} es la multiplicación por la izquierda por g a lo largo de la fibra, y L _g* es el empuje hacia adelante . Es decir, E es el fibrado vectorial que consiste en el subespacio vertical de la tangente del fibrado principal.

De manera más general, siempre que se tenga un grupo compacto con medida de Haar μ y un producto interno arbitrario h(X,Y) definido en el espacio tangente de algún punto en G , se puede definir una métrica invariante simplemente promediando sobre todo el grupo, es decir definiendo

${\displaystyle k(X,Y)=\int _{G}h(L_{g*}X,L_{g*}Y)d\mu _{g}}$

como promedio.

La noción anterior puede extenderse al conjunto asociado.${\displaystyle P\times _{G}V}$donde V es un espacio vectorial que se transforma covariantemente bajo alguna representación de G.

Si el espacio base M es también un espacio métrico , con métrica g , y el fibrado principal está dotado de una forma de conexión ^ω , entonces π ^* g+kω es una métrica definida en todo el fibrado tangente E = T P. ^{[ 2} ]

Más precisamente, se escribe π ^* g( X , Y )  = g ( π _* X , π _* Y ) donde π _* es el impulso de la proyección π , y g es el tensor métrico en el espacio base M . La expresión kω debe entenderse como ( kω )( X , Y ) = k ( ω ( X ), ω ( Y )), con k el tensor métrico en cada fibra. Aquí, X e Y son elementos del espacio tangente T P .   

Obsérvese que la elevación π ^* g se anula en el subespacio vertical T V (ya que π _* se anula en los vectores verticales), mientras que kω se anula en el subespacio horizontal T H (ya que el subespacio horizontal se define como la parte del espacio tangente T P en la que se anula la conexión ω). Dado que el espacio tangente total del fibrado es una suma directa de los subespacios vertical y horizontal (es decir, T P = T V  ⊕  T H ), esta métrica está bien definida en todo el fibrado.

Esta métrica de fibrado sustenta la forma generalizada de la teoría de Kaluza-Klein debido a varias propiedades interesantes que posee. La curvatura escalar derivada de esta métrica es constante en cada fibra, ^{[ 2 ]} esto se deduce de la invariancia Ad( G ) de la métrica de fibra k . La curvatura escalar en el fibrado se puede descomponer en tres partes distintas:

R _E = R _M ( g ) + L ( g , ω) + R _G ( k )

donde R _E es la curvatura escalar en el fibrado en su conjunto (obtenida de la métrica π ^* g+kω anterior), y R _M ( g ) es la curvatura escalar en la variedad base M (la densidad lagrangiana de la acción de Einstein-Hilbert ), y L ( g , ω) es la densidad lagrangiana para la acción de Yang-Mills , y R _G ( k ) es la curvatura escalar en cada fibra (obtenida de la métrica de la fibra k , y constante, debido a la invariancia Ad( G ) de la métrica k ). Los argumentos denotan que R _M ( g ) solo depende de la métrica g en la variedad base, pero no de ω o k , y de igual manera, que R _G ( k ) solo depende de k , y no de g o ω, y así sucesivamente.