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Sobre una pelota abierta${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, o${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, con coordenadas inducidas${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$cualquier director${\displaystyle G}$-bundle es isomorfo a un fibrado trivial

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

y una sección lisa${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$se da equivalentemente mediante una función (suave)${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$desde

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

para alguna función suave. Por ejemplo, si${\displaystyle G=U(2)}$, el grupo Lie de${\displaystyle 2\times 2}$matrices unitarias , entonces se puede construir una sección considerando cuatro funciones de valor real.

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

y aplicándolos a la parametrización

$${\displaystyle {\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$Este mismo procedimiento es válido tomando una parametrización de una colección de matrices que definen un grupo de Lie.${\displaystyle G}$y considerando el conjunto de funciones de un parche del espacio base${\displaystyle U\subset X}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$y su inserción en la parametrización.

• El ejemplo prototípico de un fibrado principal liso es el fibrado de marcos de una variedad lisa.${\displaystyle M}$, a menudo denotado${\displaystyle FM}$o${\displaystyle GL(M)}$Aquí la fibra sobre un punto${\displaystyle x\in M}$es el conjunto de todos los marcos (es decir, bases ordenadas) para el espacio tangente${\displaystyle T_{x}M}$. El grupo lineal general${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$actúa libre y transitivamente sobre estos marcos. Estas fibras se pueden pegar entre sí de forma natural para obtener un principal${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$-paquete terminado${\displaystyle M}$.
• Variations on the above example include the orthonormal frame bundle of a Riemannian manifold. Here the frames are required to be orthonormal with respect to the metric. The structure group is the orthogonal group${\displaystyle O(n)}$. The example also works for bundles other than the tangent bundle; if ${\displaystyle E}$ is any vector bundle of rank ${\displaystyle k}$ over ${\displaystyle M}$, then the bundle of frames of ${\displaystyle E}$ is a principal ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$-bundle, sometimes denoted ${\displaystyle F(E)}$.
• A normal (regular) covering space${\displaystyle p:C\to X}$ is a principal bundle where the structure group

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

acts on the fibres of ${\displaystyle p}$ via the monodromy action. In particular, the universal cover of ${\displaystyle X}$ is a principal bundle over ${\displaystyle X}$ with structure group ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ (since the universal cover is simply connected and thus ${\displaystyle \pi _{1}(C)}$ is trivial).

• Let ${\displaystyle G}$ be a Lie group and let ${\displaystyle H}$ be a closed subgroup (not necessarily normal). Then ${\displaystyle G}$ is a principal ${\displaystyle H}$-bundle over the (left) coset space${\displaystyle G/H}$. Here the action of ${\displaystyle H}$ on ${\displaystyle G}$ is just right multiplication. The fibers are the left cosets of ${\displaystyle H}$ (in this case there is a distinguished fiber, the one containing the identity, which is naturally isomorphic to ${\displaystyle H}$).
• Consider the projection ${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$ given by ${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$. This principal ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-bundle is the associated bundle of the Möbius strip. Besides the trivial bundle, this is the only principal ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-bundle over ${\displaystyle S^{1}}$.
• Projective spaces provide some more interesting examples of principal bundles. Recall that the ${\displaystyle n}$-sphere${\displaystyle S^{n}}$ is a two-fold covering space of real projective space${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$. The natural action of ${\displaystyle O(1)}$ on ${\displaystyle S^{n}}$ gives it the structure of a principal ${\displaystyle O(1)}$-bundle over ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$. Likewise, ${\displaystyle S^{2n+1}}$ is a principal ${\displaystyle U(1)}$-bundle over complex projective space${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ and ${\displaystyle S^{4n+3}}$ is a principal ${\displaystyle Sp(1)}$-bundle over quaternionic projective space${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$. We then have a series of principal bundles for each positive ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Here ${\displaystyle S(V)}$ denotes the unit sphere in ${\displaystyle V}$ (equipped with the Euclidean metric). For all of these examples the ${\displaystyle n=1}$ cases give the so-called Hopf bundles.

One of the most important questions regarding any fiber bundle is whether or not it is trivial, i.e. isomorphic to a product bundle. For principal bundles there is a convenient characterization of triviality:

Proposition. A principal bundle is trivial if and only if it admits a global section.

The same is not true in general for other fiber bundles. For instance, vector bundles always have a zero section whether they are trivial or not and sphere bundles may admit many global sections without being trivial.

El mismo hecho se aplica a las trivializaciones locales de fibrados principales. Sea π  : P → X un fibrado principal G. Un conjunto abierto U en X admite una trivialización local si y solo si existe una sección local en U. Dada una trivialización local

${\displaystyle \Phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}

se puede definir una sección local asociada

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

donde e es la identidad en G. Recíprocamente, dada una sección s se define una trivialización Φ mediante

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

La transitividad simple de la acción de G sobre las fibras de P garantiza que este mapa es una biyección , y también un homeomorfismo . Las trivializaciones locales definidas por secciones locales son G - equivariantes en el siguiente sentido. Si escribimos

${\displaystyle \Phi$ :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}

en la forma

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

luego el mapa

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

Satisface

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

Por lo tanto, las trivializaciones equivariantes preservan la estructura G -torsor de las fibras. En términos de la sección local asociada s, el mapa φ viene dado por

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

La versión local del teorema de la sección transversal establece entonces que las trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal están en correspondencia biunívoca con las secciones locales.

Dada una trivialización local equivariante ({ U _i }, {Φ _i }) de P , tenemos secciones locales s _i en cada U _i . En las superposiciones, estas deben estar relacionadas por la acción del grupo de estructura G . De hecho, la relación viene dada por las funciones de transición

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

Al unir las trivializaciones locales mediante estas funciones de transición, se puede reconstruir el fibrado principal original. Este es un ejemplo del teorema de construcción de fibrados . Para cualquier x ∈ U _i ∩ U _j tenemos

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

Si${\displaystyle \pi :P\to X}$es un principio suave${\displaystyle G}$-paquete entonces${\displaystyle G}$actúa libre y correctamente en${\displaystyle P}$para que el espacio orbital${\displaystyle P/G}$es difeomorfo al espacio base${\displaystyle X}$. Resulta que estas propiedades caracterizan completamente los fibrados principales suaves. Es decir, si${\displaystyle P}$es un colector liso,${\displaystyle G}$un grupo de mentiras y${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$una acción correcta, fluida, libre y apropiada entonces

• ${\displaystyle P/G}$es un colector liso,
• la proyección natural${\displaystyle \pi :P\to P/G}$es una inmersión suave y
• ${\displaystyle P}$es un principio suave${\displaystyle G}$-paquete terminado${\displaystyle P/G}$.

Dado un subgrupo H de G, se puede considerar el haz${\displaystyle P/H}$cuyas fibras son homeomorfas al espacio cociente${\displaystyle G/H}$. Si el nuevo fibrado admite una sección global, entonces se dice que la sección es una reducción del grupo de estructura de${\displaystyle G}$a${\displaystyle H}$. La razón de este nombre es que la imagen inversa (fibra a fibra) de los valores de esta sección forma un subhaz de${\displaystyle P}$ese es un principio${\displaystyle H}$-paquete. Si${\displaystyle H}$es la identidad, entonces una sección de${\displaystyle P}$en sí misma es una reducción del grupo de estructura a la identidad. Las reducciones del grupo de estructura no existen en general.

Muchas cuestiones topológicas sobre la estructura de una variedad o la estructura de los haces sobre ella que están asociadas a un principio${\displaystyle G}$-bundle puede reformularse como preguntas sobre la admisibilidad de la reducción del grupo de estructura (de${\displaystyle G}$a${\displaystyle H}$). Por ejemplo:

• A${\displaystyle 2n}$Una variedad real de dimensión admite una estructura casi compleja si el fibrado de marcos en la variedad, cuyas fibras son${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$, se puede reducir al grupo${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$.
• Un${\displaystyle n}$una variedad real de dimensión admite una${\displaystyle k}$-campo plano si el haz de marcos se puede reducir al grupo de estructuras${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$.
• Una variedad es orientable si y solo si su fibrado de marcos puede reducirse al grupo ortogonal especial ,${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$.
• Una variedad tiene estructura de espín si y solo si su fibrado de marcos puede reducirse aún más desde${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$a${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$el grupo Spin , que se asigna a${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$como una doble portada.

Tenga en cuenta también: un${\displaystyle n}$Variedad de -dimensiones admite${\displaystyle n}$Los campos vectoriales son linealmente independientes en cada punto si y solo si su fibrado de marcos admite una sección global. En este caso, la variedad se denomina paralelizable .

Si${\displaystyle P}$es un director${\displaystyle G}$-paquete y${\displaystyle V}$es una representación lineal de${\displaystyle G}$Entonces se puede construir un haz vectorial.${\displaystyle E=P\times _{G}V}$con fibra${\displaystyle V}$, como el cociente del producto${\displaystyle P}$×${\displaystyle V}$por la acción diagonal de${\displaystyle G}$. Este es un caso especial de la construcción de haces asociados , y${\displaystyle E}$se denomina haz vectorial asociado a${\displaystyle P}$. Si la representación de${\displaystyle G}$en${\displaystyle V}$es fiel , de modo que${\displaystyle G}$es un subgrupo del grupo lineal general GL(${\displaystyle V}$), entonces${\displaystyle E}$es un${\displaystyle G}$-paquete y${\displaystyle P}$proporciona una reducción del grupo de estructura del haz de marcos de${\displaystyle E}$de${\displaystyle GL(V)}$a${\displaystyle G}$. En este sentido, los haces principales proporcionan una formulación abstracta de la teoría de los haces de marcos.