Teorema de construcción de haces de fibras

En matemáticas , el teorema de construcción de fibrados es un teorema que construye un fibrado con un grupo de estructura a partir de un espacio base, una fibra, un grupo y un conjunto adecuado de funciones de transición . El teorema también proporciona condiciones bajo las cuales dos fibrados de este tipo son isomorfos .

El teorema se utiliza en la construcción de haces asociados , donde se parte de un haz dado y se cambia únicamente la fibra, manteniendo todos los demás datos iguales.

Declaración formal

Existencia

Sean X y F espacios topológicos y sea G un grupo topológico con una acción izquierda continua sobre F. Dado un recubrimiento abierto { U _i } de X y un conjunto de funciones continuas

t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G

definido en cada solapamiento no vacío, de tal manera que la condición del cociclo

t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}

Si se cumple que existe un fibrado E → X con fibra F y grupo de estructura G que es trivializable sobre { U _i } con funciones de transición t _ij .

Isomorfismo

Sea E ′ otro fibrado con el mismo espacio base, fibra, grupo de estructura y vecindades trivializantes, pero funciones de transición t ′ _ij . Si la acción de G sobre F es fiel , entonces E ′ y E son isomorfos si y solo si existen funciones

t_{i}:U_{i}\to G

de tal manera que

t'_{ij}(x)=t_{i}(x)^{-1}t_{ij}(x)t_{j}(x)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j}.

es decir, una transformación de calibre en datos de transición.

En particular, dados una base, una fibra, un grupo de estructura, una acción de grupo sobre la fibra, entornos trivializantes y un conjunto de funciones de transición, si la acción es fiel, entonces cualesquiera dos fibrados construidos son isomorfos. Para verlo, use la dirección "si" del teorema de isomorfismo con $t_{i}(x)=1_{G}$ , dónde $1_{G}\in G$ es el elemento de identidad de $G$ En otras palabras, la construcción es única salvo isomorfismo .

Categoría suave

El par de teoremas anterior se cumple en la categoría topológica . Un par de teoremas similar se cumple en la categoría lisa , donde X e Y son variedades lisas , G es un grupo de Lie con una acción izquierda lisa sobre Y y las aplicaciones t _ij son todas lisas.

Construcción

La existencia se demuestra de forma constructiva mediante la construcción estándar de coecualizador en la teoría de categorías .

Consideremos la unión disjunta de los espacios de productos. $U_{i}\times F$

T=\coprod _{i\in I}U_{i}\times F=\{(i,x,y):i\in I,x\in U_{i},y\in F\}.

Defina la relación de equivalencia

(j,x,y)\sim (i,x,t_{ij}(x)\cdot y)\qquad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},y\in F.

Toma el cociente $E:=T/\sim$ , con el mapa de proyección $\pi :E\to X,\quad \pi ([(i,x,y)])=x$ Las trivializaciones locales son

\phi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F,\quad \phi _{i}^{-1}(x,y)=[(i,x,y)].

Paquete asociado

Sea E → X un fibrado con fibra F y grupo de estructura G , y sea F ′ otro G -espacio izquierdo. Se puede formar un fibrado asociado E ′ → X con una fibra F ′ y grupo de estructura G tomando cualquier trivialización local de E y reemplazando F por F ′ en el teorema de construcción. Si se toma F ′ como G con la acción de multiplicación izquierda entonces se obtiene el fibrado principal asociado .

Referencias

Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
Steenrod, Norman (1951). La topología de los haces de fibras . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) Ver Parte I, §2.10 y §3.