Espacio homogéneo

En matemáticas , un espacio homogéneo es, de manera muy informal, un espacio que se ve igual en todas partes al moverse por él, y cuyo movimiento está determinado por la acción de un grupo . Los espacios homogéneos aparecen en las teorías de grupos de Lie , grupos algebraicos y grupos topológicos . Más precisamente, un espacio homogéneo para un grupo G es una variedad no vacía o espacio topológico X sobre el cual G actúa transitivamente . Los elementos de G se denominan simetrías de X.

Un caso especial de esto se da cuando el grupo G en cuestión es el grupo de automorfismos del espacio X ; aquí, "grupo de automorfismos" puede referirse al grupo de isometrías , al grupo de difeomorfismos o al grupo de homeomorfismos . En este caso, X es homogéneo si intuitivamente X se ve localmente igual en cada punto, ya sea en el sentido de isometría (geometría rígida), difeomorfismo ( geometría diferencial ) o homeomorfismo ( topología ).

Algunos autores insisten en que la acción de G sea fiel (los elementos que no son identidad actúan de manera no trivial), aunque el presente artículo no lo hace. Por lo tanto, existe una acción de grupo de G sobre X que puede considerarse como la preservación de cierta "estructura geométrica" ​​en X , y la transformación de X en una única órbita de G.

Sea X un conjunto no vacío y G un grupo. Entonces X se llama G -espacio si está equipado con una acción de G sobre X. ^{[ 1 ]} Nótese que automáticamente G actúa mediante automorfismos (biyecciones) sobre el conjunto. Si X pertenece además a alguna categoría , entonces se supone que los elementos de G actúan como automorfismos en la misma categoría. Es decir, las aplicaciones sobre X que provienen de elementos de G preservan la estructura asociada con la categoría (por ejemplo, si X es un objeto en Diff, entonces se requiere que la acción sea mediante difeomorfismos ). Un espacio homogéneo es un G -espacio sobre el cual G actúa transitivamente.

Si X es un objeto de la categoría C , entonces la estructura de un G -espacio es un homomorfismo :

${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} _ {\mathbf {C} }(X)}$

en el grupo de automorfismos del objeto X en la categoría C. El par ( X , ρ ) define un espacio homogéneo siempre que ρ ( G ) sea un grupo transitivo de simetrías del conjunto subyacente de X. 

Desde el punto de vista del programa de Erlangen , se puede entender que "todos los puntos son iguales" en la geometría de X. Esto era cierto para prácticamente todas las geometrías propuestas antes de la geometría riemanniana , a mediados del siglo XIX.

Así, por ejemplo, el espacio euclidiano , el espacio afín y el espacio proyectivo son, de forma natural, espacios homogéneos para sus respectivos grupos de simetría . Lo mismo ocurre con los modelos de geometría no euclidiana de curvatura constante , como el espacio hiperbólico .

Otro ejemplo clásico es el espacio de líneas en el espacio proyectivo de tres dimensiones (o, equivalentemente, el espacio de subespacios bidimensionales de un espacio vectorial de cuatro dimensiones ). Es sencillo demostrar, mediante álgebra lineal , que GL ₄ actúa transitivamente sobre ellos. Podemos parametrizarlos mediante coordenadas de línea : estas son los menores de 2×2 de la matriz de 4×2 con dos columnas de vectores base para el subespacio. La geometría del espacio homogéneo resultante es la geometría de líneas de Julius Plücker .

En general, si X es un espacio homogéneo de G y H₀ es el estabilizador de un punto marcado o en X (un origen ) , los puntos de X corresponden a las clases laterales izquierdas G / H₀ _, y el punto marcado _o corresponde a la clase lateral de la identidad. Recíprocamente, dado un espacio de clases laterales G / H , este es un espacio homogéneo para G con un punto distinguido, a saber, la clase lateral de la identidad. Por lo tanto, un espacio homogéneo puede considerarse como un espacio de clases laterales sin elección de origen.

Por ejemplo, si H es el subgrupo identidad { e } , entonces X es el G -torsor , lo que explica por qué los G -torsores a menudo se describen intuitivamente como " G con identidad olvidada".

En general, una elección diferente del origen o conducirá a un cociente de G por un subgrupo diferente H _o′ que está relacionado con H _o por un automorfismo interno de G. Específicamente,  

donde g es cualquier elemento de G para el cual go = o ′ . Nótese que el automorfismo interno (1) no depende de cuál sea seleccionado dicho g ; depende solo de g módulo H _o . 

Si la acción de G sobre X es continua y X es un grupo de Hausdorff , entonces H es un subgrupo cerrado de G. En particular, si G es un grupo de Lie , entonces H es un subgrupo de Lie según el teorema de Cartan . Por lo tanto, G / H es una variedad diferenciable y, en consecuencia, X posee una estructura diferenciable única compatible con la acción del grupo.

Se puede ir más allá a los espacios de clases laterales dobles , en particular las formas de Clifford-Klein Γ\ G / H , donde Γ es un subgrupo discreto (de G ) que actúa propiamente de forma discontinua .

Por ejemplo, en el caso de la geometría de líneas, podemos identificar H como un subgrupo de 12 dimensiones del grupo lineal general de 16 dimensiones , GL(4), definido por condiciones sobre las entradas de la matriz.

h ₁₃ = h ₁₄ = h ₂₃ = h ₂₄ = 0,

Al buscar el estabilizador del subespacio generado por los dos primeros vectores base estándar, se demuestra que X tiene dimensión 4.

Dado que las coordenadas homogéneas dadas por los menores son seis, esto significa que estos no son independientes entre sí. De hecho, existe una única relación cuadrática entre los seis menores, como ya sabían los geómetras del siglo XIX.

Este ejemplo fue el primer ejemplo conocido de un espacio grassmanniano , distinto de un espacio proyectivo. Existen muchos otros espacios homogéneos de los grupos lineales clásicos de uso común en matemáticas.

La idea de un espacio vectorial prehomogéneo fue introducida por Mikio Sato .

Se trata de un espacio vectorial V de dimensión finita con una acción de grupo de un grupo algebraico G , tal que existe una órbita de G abierta para la topología de Zariski (y, por lo tanto, densa). Un ejemplo es GL(1) actuando sobre un espacio unidimensional.

La definición es más restrictiva de lo que parece inicialmente: dichos espacios poseen propiedades notables, y existe una clasificación de espacios vectoriales prehomogéneos irreducibles, salvo una transformación conocida como "enroque".

Dado el grupo de Poincaré G y su subgrupo, el grupo de Lorentz H , el espacio de clases laterales G / H es el espacio de Minkowski . ^{[ 3 ]} Junto con el espacio de De Sitter y el espacio anti-De Sitter, estos son los espaciotiempos lorentzianos máximamente simétricos . También existen espacios homogéneos relevantes en física que no son lorentzianos, por ejemplo, los espaciotiempos galileanos, carrollianos o aristotélicos. ^{[ 2 ]}

La cosmología física que utiliza la teoría general de la relatividad emplea el sistema de clasificación de Bianchi . Los espacios homogéneos en relatividad representan la parte espacial de las métricas de fondo para algunos modelos cosmológicos ; por ejemplo, los tres casos de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker pueden representarse mediante subconjuntos de los tipos Bianchi I (plano), V (abierto), VII (plano o abierto) y IX (cerrado), mientras que el universo Mixmaster representa un ejemplo anisotrópico de una cosmología Bianchi IX. ^{[ 4 ]}

Un espacio homogéneo de N dimensiones admite un conjunto de al menos N y hasta 1/2 N ( N +1) vectores de Killing . [ ^{5 ] Para tres dimensiones, esto da un total de hasta seis campos vectoriales} de Killing linealmente independientes; los 3-espacios homogéneos tienen la propiedad de que se pueden usar combinaciones lineales de estos para encontrar tres campos vectoriales de Killing ξ ^{( a )} _i que no se anulan en todas partes .

${\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}$

donde el objeto C ^a _bc , las " constantes de estructura ", forman un tensor constante de tercer orden antisimétrico en sus dos índices inferiores (en el lado izquierdo, los corchetes denotan antisimetrización y ";" representa el operador diferencial covariante ). En el caso de un universo plano isotrópico , una posibilidad es C ^a _bc = 0 (tipo I), pero en el caso de un universo FLRW cerrado, C ^a _bc = ε ^a _bc , donde ε ^a _bc es el símbolo de Levi-Civita .

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