Teorema del subgrupo cerrado

En matemáticas , el teorema del subgrupo cerrado (a veces denominado teorema de Cartan ) es un teorema de la teoría de los grupos de Lie . Afirma que si H es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G , entonces H es un grupo de Lie embebido con la estructura suave (y por lo tanto la topología del grupo ) que concuerda con la incrustación. ^{[1] [2] [3]} Uno de los varios resultados conocidos como teorema de Cartan , fue publicado por primera vez en 1930 por Élie Cartan , ^[4] quien se inspiró en la prueba de 1929 de John von Neumann de un caso especial para grupos de transformaciones lineales . ^{[5] [6]}

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie . Ahora sea H un subgrupo cerrado arbitrario de G. Es necesario demostrar que H es una subvariedad incrustada suave de G. El primer paso es identificar algo que podría ser el álgebra de Lie de H , es decir, el espacio tangente de H en la identidad. El desafío es que no se supone que H tenga ninguna suavidad y, por lo tanto, no está claro cómo se puede definir su espacio tangente. Para continuar, defina el "álgebra de Lie" de H mediante la fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{X\mid e^{tX}\en H,\,\,\forall t\en \mathbf {R} \right\}.}$$

No es difícil demostrar que es una subálgebra de Lie de . ^[7] En particular, es un subespacio de , que se podría esperar que fuera el espacio tangente de H en la identidad. Sin embargo, para que esta idea funcione, debe ser lo suficientemente grande como para capturar alguna información interesante sobre H . Si, por ejemplo, H fuera un subgrupo grande de G pero resultara ser cero, no sería útil. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

El paso clave, entonces, es demostrar que en realidad captura todos los elementos de H que están suficientemente cerca de la identidad. Es decir, es necesario demostrar el siguiente lema crítico: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Una vez establecido esto, se pueden utilizar coordenadas exponenciales en W , es decir, escribir cada g ∈ W (no necesariamente en H ) como g = e ^X para X = log( g ) . En estas coordenadas, el lema dice que X corresponde a un punto en H precisamente si X pertenece a . Es decir, en coordenadas exponenciales cercanas a la identidad, H se parece a . Dado que es solo un subespacio de , esto significa que es como R ^k ⊂ R ⁿ , con y . Por lo tanto, hemos exhibido un " sistema de coordenadas de corte " en el que H ⊂ G se parece localmente a R ^k ⊂ R ⁿ , que es la condición para una subvariedad incrustada. ^[9]${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subconjunto {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subconjunto {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subconjunto {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k=\dim({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle n=\dim({\mathfrak {g}})}$

Vale la pena señalar que Rossmann muestra que para cualquier subgrupo H de G (no necesariamente cerrado), el álgebra de Lie de H es un subálgebra de Lie de . ^[10] Rossmann luego introduce coordenadas ^[11] en H que convierten el componente identidad de H en un grupo de Lie. Es importante notar, sin embargo, que la topología en H que proviene de estas coordenadas no es la topología del subconjunto. Es decir, el componente identidad de H es una subvariedad inmersa de G pero no una subvariedad incrustada. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En particular, el lema enunciado anteriormente no se cumple si H no está cerrado.

Para un ejemplo de un subgrupo que no es un subgrupo de Lie incrustado, considere el toro y un " devanado irracional del toro ". y su subgrupo con un irracional. Entonces H es denso en G y por lo tanto no cerrado. ^[12] En la topología relativa , un pequeño subconjunto abierto de H está compuesto de infinitos segmentos de línea casi paralelos en la superficie del toro. Esto significa que H no está localmente conexo por trayectorias . En la topología de grupo, los pequeños conjuntos abiertos son segmentos de línea individuales en la superficie del toro y H está localmente conexo por trayectorias. $${\displaystyle G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{pmatrix}}\right|\theta ,\phi \in \mathbf {R} \right\},}$$$${\displaystyle H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\}{\text{con álgebra de Lie }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\},}$$

El ejemplo muestra que para algunos grupos H se pueden encontrar puntos en un entorno arbitrariamente pequeño U en la topología relativa τ _r de la identidad que son exponenciales de elementos de h , pero no se pueden conectar a la identidad con un camino que permanezca en U . ^[13] El grupo ( H , τ _r ) no es un grupo de Lie. Mientras que la función exp : h → ( H , τ _r ) es una biyección analítica, su inversa no es continua. Es decir, si U ⊂ h corresponde a un pequeño intervalo abierto − ε < θ < ε , no hay ningún abierto V ⊂ ( H , τ _r ) con log( V ) ⊂ U debido a la aparición de los conjuntos V . Sin embargo, con la topología de grupo τ _g , ( H , τ _g ) es un grupo de Lie. Con esta topología la inyección ι  : ( H , τ _g ) → G es una inmersión inyectiva analítica, pero no un homeomorfismo , por lo tanto no es una incrustación. También hay ejemplos de grupos H para los cuales se pueden encontrar puntos en un entorno arbitrariamente pequeño (en la topología relativa) de la identidad que no son exponenciales de elementos de h . ^[14] Para subgrupos cerrados este no es el caso como lo muestra la prueba del teorema a continuación.

Debido a la conclusión del teorema, algunos autores optaron por definir los grupos de Lie lineales o matriciales como subgrupos cerrados de GL( n , R ) o GL( n , C ) . ^[15] En este contexto, se demuestra que cada elemento del grupo suficientemente cercano a la identidad es el exponencial de un elemento del álgebra de Lie. ^[8] (La prueba es prácticamente idéntica a la prueba del teorema del subgrupo cerrado que se presenta a continuación). De ello se deduce que cada subgrupo cerrado es una subvariedad incrustada de GL( n , C ) ^[16]

El teorema del subgrupo cerrado simplifica ahora considerablemente las hipótesis, ampliando a priori la clase de espacios homogéneos. Todo subgrupo cerrado produce un espacio homogéneo.

De manera similar, el teorema del subgrupo cerrado simplifica la hipótesis del siguiente teorema.

Si X es un conjunto con acción de grupo transitiva y el grupo de isotropía o estabilizador de un punto x ∈ X es un subgrupo de Lie cerrado, entonces X tiene una estructura de variedad suave única tal que la acción es suave.

A continuación se dan algunas condiciones suficientes para que H ⊂ G sea cerrado, y por tanto un grupo de Lie incrustado.

• Todos los grupos clásicos están cerrados en GL( F , n ) , donde F es R , C o H , los cuaterniones .
• Un subgrupo que está localmente cerrado es cerrado. ^[17] Un subgrupo es localmente cerrado si cada punto tiene un vecindario en U ⊂ G tal que H ∩ U está cerrado en U .
• Si H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B } , donde A es un grupo compacto y B es un conjunto cerrado, entonces H es cerrado. ^[18]
• Si h ⊂ g es una subálgebra de Lie tal que para ningún X ∈ g ∖ h , [ X , h ] ∈ h , entonces Γ( h ) , el grupo generado por e ^h , es cerrado en G . ^[19]
• Si X ∈ g , entonces el subgrupo de un parámetro generado por X no es cerrado si y sólo si X es similar en C a una matriz diagonal con dos entradas de razón irracional. ^[20]
• Sea h ⊂ g una subálgebra de Lie. Si existe un grupo compacto simplemente conexo k con k isomorfo a h , entonces Γ( h ) es cerrado en G . ^[21]
• Si G está simplemente conexo y h ⊂ g es un ideal , entonces el subgrupo de Lie conexo con el álgebra de Lie h es cerrado. ^[22]

Un subgrupo de Lie insertado H ⊂ G es cerrado ^[23] , por lo que un subgrupo es un subgrupo de Lie insertado si y solo si es cerrado. De manera equivalente, H es un subgrupo de Lie insertado si y solo si su topología de grupo es igual a su topología relativa. ^[24]

La prueba se da para grupos de matrices con G = GL( n , R ) para concreción y relativa simplicidad, ya que las matrices y su aplicación exponencial son conceptos más fáciles que en el caso general. Históricamente, este caso fue demostrado primero, por John von Neumann en 1929, e inspiró a Cartan para demostrar el teorema de subgrupo cerrado completo en 1930. ^{[5] [6]} La prueba para G general es formalmente idéntica, ^[25] excepto que los elementos del álgebra de Lie son campos vectoriales invariantes en G y la aplicación exponencial es el flujo de tiempo uno del campo vectorial. Si H ⊂ G con G cerrado en GL( n , R ) , entonces H es cerrado en GL( n , R ) , por lo que la especialización a GL( n , R ) en lugar de G ⊂ GL( n , R ) arbitrario importa poco.

Comenzamos estableciendo el lema clave enunciado en la sección “descripción general” anterior.

Dote a g de un producto interno (por ejemplo, el producto interno de Hilbert–Schmidt ), y sea h el álgebra de Lie de H definida como h = { X ∈ M _n ( R ) = g | e ^tX ∈ H ∀ t ∈ R } . Sea s = { S ∈ g | ( S , T ) = 0 ∀ T ∈ h } , el complemento ortogonal de h . Entonces g se descompone como la suma directa g = s ⊕ h , por lo que cada X ∈ g se expresa de forma única como X = S + T con S ∈ s , T ∈ h .

Defina una función Φ : g → GL( n , R ) por ( S , T ) ↦ e ^S e ^T . Desarrolle las exponenciales y el empuje hacia adelante o diferencial en 0 , Φ _∗ ( S , T ) = ⁠$${\displaystyle \Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),}$$d/es⁠ Φ( tS , tT ) | _{t = 0} se ve que es S + T , es decir Φ _∗ = Id , la identidad. La hipótesis del teorema de la función inversa se satisface con Φ analítica, y por lo tanto hay conjuntos abiertos U ₁ ⊂ g , ​​V ₁ ⊂ GL( n , R ) con 0 ∈ U ₁ e I ∈ V ₁ tales que Φ es unabiyección real-analítica de U ₁ a V ₁ con inversa analítica. Queda por demostrar que U ₁ y V ₁ contienen conjuntos abiertos U y V tales que la conclusión del teorema se cumple.

Considérese una base de vecindad contable Β en 0 ∈ g , ordenada linealmente por inclusión inversa con B ₁ ⊂ U ₁ . ^[a] Supóngase con el propósito de obtener una contradicción que para todo i , Φ( B _i ) ∩ H contiene un elemento h _i que no está en la forma h _i = e ^{T _i} , T _i ∈ h . Entonces, como Φ es una biyección en B _i , hay una secuencia única X _i = S _i + T _i , con 0 ≠ S _i ∈ s y T _i ∈ h tal que X _i ∈ B _i converge a 0 porque Β es una base de vecindad, con e ^{S _i} e ^{T _i} = h _i . Como e ^{T _i} ∈ H y h _i ∈ H , e ^{S _i} ∈ H también.

Normalizar la secuencia en s , Y _i = ⁠Sí _yo/|| Si ||_​⁠ . Toma sus valores en la esfera unidad en s y como es compacta , hay una subsucesión convergente que converge a Y ∈ s . ^[26] El índice i de aquí en adelante se refiere a esta subsucesión. Se mostrará que e ^tY ∈ H , ∀ t ∈ R . Fijemos t y elijamos una sucesión m _i de enteros tales que m _i || S _i || → t cuando i → ∞ . Por ejemplo, m _i tal que m _i || S _i || ≤ t ≤ ( m _i + 1) || S _i || servirá, cuando S _i → 0 . Entonces $${\displaystyle (e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.}$$

Como H es un grupo, el lado izquierdo está en H para todo i . Como H es cerrado, e ^tY ∈ H , ∀ t , ^[27] por lo tanto Y ∈ h . Esto es una contradicción. Por lo tanto, para algún i los conjuntos U = Β _i y V = Φ(Β _i ) satisfacen e ^{U ∩ h} = H ∩ V y la exponencial restringida al conjunto abierto ( U ∩ h ) ⊂ h está en biyección analítica con el conjunto abierto Φ( U ) ∩ H ⊂ H . Esto demuestra el lema.

Para j ≥ i , la imagen en H de B _j bajo Φ forma una base de vecindad en I . Esta es, por la forma en que está construida, una base de vecindad tanto en la topología de grupo como en la topología relativa . Como la multiplicación en G es analítica, las traslaciones izquierda y derecha de esta base de vecindad por un elemento de grupo g ∈ G dan una base de vecindad en g . Estas bases restringidas a H dan bases de vecindad en todos los h ∈ H . La topología generada por estas bases es la topología relativa. La conclusión es que la topología relativa es la misma que la topología de grupo.

A continuación, construya gráficos de coordenadas en H . Primero defina φ ₁  : e ^{( U )} ⊂ G → g , g ↦ log( g ) . Esta es una biyección analítica con inversa analítica. Además, si h ∈ H , entonces φ ₁ ( h ) ∈ h . Al fijar una base para g = h ⊕ s e identificar g con R ⁿ , entonces en estas coordenadas φ ₁ ( h ) = ( x ₁ ( h ), ..., x _m ( h ), 0, ..., 0) , donde m es la dimensión de h . Esto muestra que ( e ^U , φ ₁ ) es un gráfico de rebanadas . Al traducir los gráficos obtenidos a partir de la base de vecindad contable utilizada anteriormente, se obtienen gráficos de rebanadas alrededor de cada punto en H . Esto muestra que H es una subvariedad incrustada de G .

Además, la multiplicación m y la inversión i en H son analíticas ya que estas operaciones son analíticas en G y la restricción a una subvariedad (incrustada o inmersa) con la topología relativa nuevamente produce operaciones analíticas m  : H × H → G e i  : H × H → G . ^[28] Pero como H está incrustada, m  : H × H → H e i  : H × H → H también son analíticas. ^[29]

• Teorema de la función inversa
• Correspondencia de mentiras