Coordenadas de línea

En geometría , las coordenadas de línea se utilizan para especificar la posición de una línea , del mismo modo que las coordenadas de punto (o simplemente coordenadas ) se utilizan para especificar la posición de un punto . La idea de las coordenadas de línea es fundamental para la geometría de líneas , que es un enfoque de la geometría en el que las líneas se consideran objetos fundamentales e indivisibles, en lugar de puntos.

Líneas en el plano

Existen varias formas posibles de especificar la posición de una recta en el plano. Una forma sencilla es mediante el par $(m, b)$ , donde la ecuación de la recta es $y = mx + b$ . Aquí, $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección $con el eje y$ . Este sistema especifica las coordenadas de todas las rectas que no son verticales. Sin embargo, es más común y algebraicamente más sencillo usar las coordenadas $(l, m),$ donde la ecuación de la recta es $lx + my = 1 = 0.$ Este sistema especifica las coordenadas de todas las rectas excepto aquellas que pasan por el origen. Las interpretaciones geométricas de $l$ y $m$ son los recíprocos negativos de las intersecciones con los ejes $x$ e $y$ , respectivamente.

La exclusión de líneas que pasan por el origen se puede resolver utilizando un sistema de tres coordenadas $(l, m, n)$ para especificar la línea con la ecuación $lx + my + n = 0.$ Aquí $, l$ y $m$ no tienen por qué ser ambos cero. En esta ecuación, solo las razones entre $l$ , $m$ y $n$ son significativas; es decir, si las coordenadas se multiplican por un escalar distinto de cero, la línea representada permanece inalterada. Por lo tanto $, (l, m, n)$ es un sistema de coordenadas homogéneas para la línea.

Si los puntos en el plano proyectivo real se representan mediante coordenadas homogéneas $(x, y, z)$ , la ecuación de la recta es $lx + my + nz = 0$ , siempre que $(l, m, n) \neq (0, 0, 0)$ . En particular, la coordenada $(0, 0, 1)$ representa la recta $z = 0$ , que es la recta en el infinito en el plano proyectivo . Las coordenadas $(0, 1, 0)$ y $(1, 0, 0)$ representan los ejes $x e$ y $,$ respectivamente.

Ecuaciones tangenciales

Así como $f (x, y) = 0$ puede representar una curva como un subconjunto de los puntos en el plano, la ecuación $φ(l, m) = 0$ representa un subconjunto de las rectas en el plano. El conjunto de rectas en el plano puede considerarse, en un sentido abstracto, como el conjunto de puntos en un plano proyectivo, el dual del plano original. La ecuación $φ(l, m) = 0$ representa entonces una curva en el plano dual.

Para una curva $f (x, y) = 0$ en el plano, las tangentes a la curva forman una curva en el espacio dual llamada curva dual . Si $φ(l, m) = 0$ es la ecuación de la curva dual, entonces se denomina ecuación tangente para la curva original. Una ecuación dada $φ(l, m) = 0$ representa una curva en el plano original determinada como la envolvente de las rectas que satisfacen esta ecuación. De manera similar, si $φ(l, m, n)$ es una función homogénea, entonces $φ(l, m, n) = 0$ representa una curva en el espacio dual dada en coordenadas homogéneas, y puede denominarse ecuación tangente homogénea de la curva envolvente.

Las ecuaciones tangenciales son útiles en el estudio de curvas definidas como envolventes, al igual que las ecuaciones cartesianas son útiles en el estudio de curvas definidas como lugares geométricos.

Ecuación tangencial de un punto

Una ecuación lineal en coordenadas de línea tiene la forma $al + bm + c = 0$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son constantes. Supongamos que $(l, m)$ es una línea que satisface esta ecuación. Si $c$ no es 0, entonces $lx + my + 1 = 0$ , donde $x = a / c$ e $y = b / c$ , por lo que toda línea que satisface la ecuación original pasa por el punto $(x, y)$ . Recíprocamente, cualquier línea que pase por $(x, y)$ satisface la ecuación original, por lo que $al + bm + c = 0$ es la ecuación del conjunto de líneas que pasan por $(x, y)$ . Para un punto dado $(x, y)$ , la ecuación del conjunto de líneas que lo atraviesa es $lx + my + 1 = 0$ , por lo que esto puede definirse como la ecuación tangente del punto. De manera similar, para un punto $(x, y, z)$ dado en coordenadas homogéneas, la ecuación del punto en coordenadas tangenciales homogéneas es $lx + my + nz = 0$ .

Fórmulas

$La$ intersección de las líneas $($ $l1, m1) y$ ( $l2, m2) es$ la solución de las ecuaciones $lineales$ $.$

${\begin{aligned}l_{1}x+m_{1}y+1&=0,\\l_{2}x+m_{2}y+1&=0.\end{aligned}}$

Según la regla de Cramer , la solución es

$x={\frac {m_{1}-m_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}},\quad y=-{\frac {l_{1}-l_{2}}{l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}}}.$

Las líneas $(l 1, m 1)$ , $(l 2, m 2)$ , y $(l 3, m 3)$ son concurrentes cuando el determinante

${\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&1\\l_{2}&m_{2}&1\\l_{3}&m_{3}&1\end{vmatrix}}=0.$

Para coordenadas homogéneas, la $intersección$ $de$ $las$ $líneas$ $(l1, m1, n1)$ y $(l2, m2,$ $n2$ $)$ es $el$ producto $vectorial$ :

$(m_{1}n_{2}-m_{2}n_{1},\ l_{2}n_{1}-l_{1}n_{2},\ l_{1}m_{2}-l_{2}m_{1}).$

Las líneas $(l 1, m 1, n 1)$ , $(l 2, m 2, n 2)$ y $(l 3, m 3, n 3)$ son concurrentes cuando el determinante

${\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}=0.$

De manera similar, las coordenadas de la línea que contiene $(x 1, y 1, z 1)$ y $(x 2, y 2, z 2)$ se pueden obtener mediante el producto vectorial: $(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\ x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}).$

Líneas en el espacio tridimensional

Para dos puntos dados en el plano proyectivo real , $(x 1, y 1, z 1)$ y $(x 2, y 2, z 2)$ , los tres determinantes

$y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},\ \ x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2},\ \ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},\ \$

determinar la línea proyectiva que los contiene.

De manera similar, para dos puntos en ⁠ $\mathbb {RP} ^{3},$ ⁠ $(x 1, y 1, z 1, w 1)$ y $(x 2, y 2, z 2, w 2)$ , la línea que los contiene está determinada por los seis determinantes

${\begin{aligned}&x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},&&x_{1}w_{2}-x_{2}w_{1},\\&x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1},&&y_{1}w_{2}-y_{2}w_{1},\\&y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},&&z_{1}w_{2}-z_{2}w_{1}.\end{aligned}}$

Esta es la base de un sistema de coordenadas de línea homogéneas en el espacio tridimensional llamado coordenadas de Plücker . Seis números en un conjunto de coordenadas solo representan una línea cuando satisfacen una ecuación adicional. Este sistema mapea el espacio de líneas en el espacio tridimensional al espacio proyectivo . $\mathbb {RP} ^{5},$ pero con el requisito adicional de que el espacio de líneas corresponde a la cuádrica de Klein , que es una variedad de dimensión cuatro.

De manera más general, las líneas en el espacio proyectivo $n$ -dimensional están determinadas por un sistema de $n (n - 1)/2$ coordenadas homogéneas que satisfacen un conjunto de $(n - 2)(n - 3)/2$ condiciones, lo que resulta en una variedad de dimensión $2 n - 2$ .

Con números complejos

Isaak Yaglom ha demostrado ^{[ 1 ]} cómo los números duales proporcionan coordenadas para líneas orientadas en el plano euclidiano , y los números complejos divididos forman coordenadas de línea para el plano hiperbólico . Las coordenadas dependen de la presencia de un origen y una línea de referencia en él. Entonces, dada una línea arbitraria, sus coordenadas se encuentran a partir de la intersección con la línea de referencia. Se utilizan la distancia $s$ desde el origen hasta la intersección y el ángulo de inclinación $θ entre las dos líneas:$

$z=\tan \!{\bigl (}{\tfrac {\theta }{2}}{\bigr )}\ (1+s\epsilon )$ es el número dual ^{[ 1 ]}^{: 81} para una línea euclidiana, y
$z=\tan \!{\bigl (}{\tfrac {\theta }{2}}{\bigr )}\ (\cosh s+j\sinh s)$ es el número complejo dividido ^{[ 1 ]}^{: 118} para una línea en el plano de Lobachevski.

Dado que existen líneas ultraparalelas a la línea de referencia en el plano de Lobachevski, también necesitan coordenadas: existe una única perpendicular común , digamos que $s$ es la distancia desde el origen a esta perpendicular, y $d$ es la longitud del segmento entre la línea de referencia y la línea dada.

$z=\tanh \!{\bigl (}{\tfrac {d}{2}}{\bigr )}\ (\sinh s+j\cosh s)$ denota la línea ultraparalela. ^{[ 1 ]}^{: 118}

Los movimientos de la geometría de la línea se describen mediante transformaciones fraccionarias lineales en los planos complejos apropiados. ^{[ 1 ]}^{: 87, 123}

Véase también

Referencias

1 2 3 4 5 Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , Academic Press

Baker, Henry Frederick (1923), Principios de geometría. Volumen 3. Geometría sólida. Cuádricas, curvas cúbicas en el espacio, superficies cúbicas. , Colección de la Biblioteca de Cambridge, Cambridge University Press , pág. 56, ISBN 978-1-108-01779-4, MR 2857520 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) . Reimpreso en 2010.
Jones, Alfred Clement (1912). Introducción a la geometría algebraica . Clarendon. pág. 390.
Edge, WL (1931). Teoría de las superficies regladas . Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-68967-1.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Hlavatý, Václav (1953). Geometría de líneas diferenciales . Groninga: P. Noordhoff.

[Yaglom68-1] 1 2 3 4 5 Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , Academic Press

[ 1 ]