haz de vectores complejos

En matemáticas, un fibrado vectorial complejo es un fibrado vectorial cuyas fibras son espacios vectoriales complejos .

Cualquier fibrado vectorial complejo puede verse como un fibrado vectorial real mediante la restricción de escalares . Recíprocamente, cualquier fibrado vectorial real${\displaystyle E}$puede promoverse a un haz de vectores complejo, la complejización

${\displaystyle E\otimes \mathbb {C}$ ;}

cuyas fibras son${\displaystyle E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$.

Cualquier fibrado vectorial complejo sobre un espacio paracompacto admite una métrica hermitiana .

El invariante básico de un fibrado vectorial complejo es una clase de Chern . Un fibrado vectorial complejo está orientado canónicamente ; en particular, se puede tomar su clase de Euler .

Un fibrado vectorial complejo es un fibrado vectorial holomorfo si${\displaystyle X}$es una variedad compleja y si las trivializaciones locales son biholomorfas .

Un fibrado vectorial complejo puede pensarse como un fibrado vectorial real con una estructura adicional, la estructura compleja . Por definición, una estructura compleja es una aplicación de fibrado entre un fibrado vectorial real.${\displaystyle E}$y ella misma:

${\displaystyle J:E\to E}$

de tal manera que${\displaystyle J}$actúa como la raíz cuadrada${\displaystyle \mathrm {i} }$de${\displaystyle -1}$sobre fibras: si${\displaystyle J_{x}:E_{x}\to E_{x}}$es el mapa a nivel de fibra, entonces${\displaystyle J_{x}^{2}=-1}$como un mapa lineal. Si${\displaystyle E}$es un haz vectorial complejo, entonces la estructura compleja${\displaystyle J}$se puede definir mediante la configuración${\displaystyle J_{x}}$ser la multiplicación escalar por${\displaystyle \mathrm {i} }$. Por el contrario, si${\displaystyle E}$es un fibrado vectorial real con una estructura compleja${\displaystyle J}$, entonces${\displaystyle E}$se puede convertir en un haz vectorial complejo estableciendo: para cualquier número real${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$y un vector real${\displaystyle v}$en una fibra${\displaystyle E_{x}}$,

${\displaystyle (a+\mathrm {i} b)v=av+J(bv).}$

Ejemplo : Una estructura compleja en el fibrado tangente de una variedad real.${\displaystyle M}$Se suele llamar estructura casi compleja . Un teorema de Newlander y Nirenberg dice que una estructura casi compleja${\displaystyle J}$es "integrable" en el sentido de que es inducido por una estructura de una variedad compleja si y solo si un cierto tensor que involucra${\displaystyle J}$desaparece.

Si E es un fibrado vectorial complejo, entonces el fibrado conjugado${\displaystyle {\overline {E}}}$de E se obtiene al tener números complejos que actúan a través de los conjugados complejos de los números. Por lo tanto, la aplicación identidad de los haces de vectores reales subyacentes:${\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }}$es lineal conjugado, y E y su conjugado E son isomorfos como haces de vectores reales.

La k -ésima clase de Chern de${\displaystyle {\overline {E}}}$es dado por

${\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)}$.

En particular, E y E no son isomorfos en general.

Si E tiene una métrica hermitiana , entonces el fibrado conjugado E es isomorfo al fibrado dual.${\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})}$a través de la métrica, donde escribimos${\displaystyle {\mathcal {O}}}$para el fibrado de líneas complejo trivial.

Si E es un fibrado vectorial real, entonces el fibrado vectorial real subyacente de la complejización de E es una suma directa de dos copias de E :

${\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E}$

(ya que V ⊗ _R C = V ⊕ i ‌ V para cualquier espacio vectorial real V .) Si un fibrado vectorial complejo E es la complejización de un fibrado vectorial real E ' , entonces E ' se llama una forma real de E (puede haber más de una forma real) y se dice que E está definido sobre los números reales. Si E tiene una forma real, entonces E es isomorfo a su conjugado (ya que ambos son suma de dos copias de una forma real) y, en consecuencia, las clases de Chern impares de E tienen orden 2.

• fibrado vectorial holomorfo
• Teoría K

• Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Characteristic classes , Annals of Mathematics Studies, vol.  76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9