Restricción (matemáticas)

Una función${\displaystyle F}$Se dice que es unextensión de otra función${\displaystyle f}$si siempre${\displaystyle x}$está en el dominio de${\displaystyle f}$entonces${\displaystyle x}$también está en el dominio de${\displaystyle F}$y${\displaystyle f(x)=F(x).}$ Es decir, si${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$y${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

Aextensión lineal (respectivamente,extensión continua , etc.) de una función${\displaystyle f}$es una extensión de${\displaystyle f}$que también es un mapa lineal (respectivamente, un mapa continuo , etc.).

Para que una función tenga una inversa, debe ser biyectiva . Si una función${\displaystyle f}$no es uno a uno, puede ser posible definir una inversa parcial de${\displaystyle f}$restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función $${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$ definido en su totalidad${\displaystyle \mathbb {R} }$no es uno a uno ya que${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$para cualquier${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ Sin embargo, la función se vuelve biyectiva si nos restringimos al dominio${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$en cuyo caso $${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(Si en cambio nos restringimos al dominio${\displaystyle (-\infty ,0],}$entonces el inverso es el negativo de la raíz cuadrada de${\displaystyle y.}$) Alternativamente, no es necesario restringir el dominio si permitimos que la inversa sea una función multivaluada .

En álgebra relacional , una selección (a veces llamada restricción para evitar confusiones con el uso de SELECT en SQL ) es una operación unaria escrita como ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$o${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$dónde:

• ${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son nombres de atributos,
• ${\displaystyle \theta }$es una operación binaria en el conjunto${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$es un valor constante,
• ${\displaystyle R}$es una relación .

La selección${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$selecciona todas esas tuplas en${\displaystyle R}$para qué${\displaystyle \theta }$se mantiene entre el${\displaystyle a}$y el${\displaystyle b}$atributo.

La selección${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$selecciona todas esas tuplas en${\displaystyle R}$para qué${\displaystyle \theta }$se mantiene entre el${\displaystyle a}$atributo y el valor${\displaystyle v.}$

De este modo, el operador de selección se restringe a un subconjunto de toda la base de datos.

El lema de pegado es un resultado en topología que relaciona la continuidad de una función con la continuidad de sus restricciones a subconjuntos.

Dejar${\displaystyle X,Y}$sean dos subconjuntos cerrados (o dos subconjuntos abiertos) de un espacio topológico${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle A=X\cup Y,}$y dejar${\displaystyle B}$también puede ser un espacio topológico. Si${\displaystyle f:A\to B}$es continuo cuando se restringe a ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$entonces${\displaystyle f}$es continuo.

Este resultado permite tomar dos funciones continuas definidas en subconjuntos cerrados (o abiertos) de un espacio topológico y crear una nueva.

Los haces proporcionan una forma de generalizar las restricciones a objetos que no son funciones.

En la teoría de haces , se asigna un objeto${\displaystyle F(U)}$en una categoría para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$de un espacio topológico , y requiere que los objetos satisfagan ciertas condiciones. La condición más importante es que existan morfismos de restricción entre cada par de objetos asociados a conjuntos abiertos anidados; es decir, si${\displaystyle V\subseteq U,}$entonces hay un morfismo${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$que satisfacen las siguientes propiedades, las cuales están diseñadas para imitar la restricción de una función:

• Para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X,}$el morfismo de restricción${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$es el morfismo identidad en${\displaystyle F(U).}$
• Si tenemos tres conjuntos abiertos${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$luego el compuesto${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• (Localidad) Si${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$es una cubierta abierta de un conjunto abierto${\displaystyle U,}$y si${\displaystyle s,t\in F(U)}$son tales que${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$para cada conjunto${\displaystyle U_{i}}$de la cubierta, entonces${\displaystyle s=t}$; y
• (Pegado) Si${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$es una cubierta abierta de un conjunto abierto${\displaystyle U,}$y si para cada${\displaystyle i}$una sección${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$se da de tal manera que para cada par${\displaystyle U_{i},U_{j}}$de la cubierta establece las restricciones de${\displaystyle s_{i}}$y${\displaystyle s_{j}}$estar de acuerdo en las coincidencias:${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$Luego hay una sección${\displaystyle s\in F(U)}$de tal manera que${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$para cada${\displaystyle i.}$

La colección de todos esos objetos se llama haz . Si solo se cumplen las dos primeras propiedades, es un prehaz .