Suavidad

Una función${\displaystyle f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$definido en un conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se dice ^{[ 2 ]} que es de clase${\displaystyle C^{k}}$en${\displaystyle U}$, para un entero positivo${\displaystyle k}$, si todas las derivadas parciales$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$ existen y son continuos para cada índice múltiple${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$de enteros no negativos con${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$. De forma equivalente, en dimensiones finitas,${\displaystyle f}$es de clase${\displaystyle C^{k}}$en${\displaystyle U}$si es${\displaystyle k}$veces continuamente Fréchet diferenciable en${\displaystyle U}$. La función${\displaystyle f}$Se dice que es de clase${\displaystyle C}$o${\displaystyle C^{0}}$si es continuo en${\displaystyle U}$. Funciones de la clase${\displaystyle C^{1}}$También se dice que son continuamente diferenciables .

Una función${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, definido en un conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se dice que es de clase${\displaystyle C^{k}}$en${\displaystyle U}$, para un entero positivo${\displaystyle k}$, si todos sus componentes $${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f\quad {\text{for }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$ son de clase${\displaystyle C^{k}}$, dónde${\displaystyle \pi _{i}}$son las proyecciones naturales${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$Se dice que es de clase${\displaystyle C}$o${\displaystyle C^{0}}$si es continuo, o equivalentemente, si todos los componentes${\displaystyle f_{i}}$son continuos, en${\displaystyle U}$.

Dejar${\displaystyle D}$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. El conjunto de todos los valores reales${\displaystyle C^{k}}$funciones en${\displaystyle D}$se denota${\displaystyle C^{k}(D)}$Con el diseño compacto y abierto${\displaystyle C^{k}}$topología,${\displaystyle C^{k}(D)}$es un espacio de Fréchet . Una forma de describir esta topología es mediante la familia de seminormas.$${\displaystyle p_{K,\alpha }(f)=\sup _{x\in K}|D^{\alpha }f(x)|,}$$ dónde${\displaystyle K}$abarca subconjuntos compactos de${\displaystyle D}$y${\displaystyle \alpha }$abarca múltiples índices con${\displaystyle |\alpha |\leq k}$.

Si${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$está delimitado y abierto, entonces${\displaystyle C^{k}({\overline {U}})}$denota el espacio de funciones en${\displaystyle U}$cuyas derivadas parciales de orden como máximo${\displaystyle k}$se extienden continuamente al conjunto compacto${\displaystyle {\overline {U}}}$. ^{[ 3 ]} Es un espacio de Banach con la norma $${\displaystyle \|f\|_{C^{k}({\overline {U}})}=\max _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\overline {U}}}|D^{\alpha }f(x)|.}$$ De forma equivalente, se puede utilizar la suma de estos supremos sobre${\displaystyle |\alpha |\leq k}$; la norma resultante es equivalente.

Bajo suma y multiplicación punto por punto,${\displaystyle C^{k}({\overline {U}})}$es un álgebra de Banach conmutativa . La propiedad de álgebra se deriva de la regla de Leibniz , que expresa cada derivada de un producto en términos de derivadas de los factores de orden como máximo${\displaystyle k}$.

En términos más generales, si${\displaystyle M}$es un colector liso y compacto, posiblemente con límite, entonces${\displaystyle C^{k}(M)}$es un espacio de Banach. Su norma puede definirse utilizando una colección finita de cartas de coordenadas y una partición de la unidad; diferentes elecciones de este tipo dan normas equivalentes. Con la multiplicación punto por punto,${\displaystyle C^{k}(M)}$es de nuevo un álgebra de Banach. Por el contrario,${\displaystyle C^{\infty }(M)}$Generalmente no es un espacio de Banach; en una variedad compacta es naturalmente un espacio de Fréchet , con seminormas que controlan derivadas de todos los órdenes.

El espectro de Gelfand de${\displaystyle C^{k}(M)}$es${\displaystyle M}$por sí misma. Así, la transformada de Gelfand da una aplicación inyectiva (pero no sobreyectiva).${\displaystyle C^{k}(M)\to C^{0}(M)}$. ^{[ 4 ] : Ejercicio 11.9}

Los espacios mencionados anteriormente aparecen de forma natural en aplicaciones donde se necesitan funciones con derivadas de ciertos órdenes; sin embargo, particularmente en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales , a veces puede ser más provechoso trabajar con espacios de Sobolev .

Las funciones suaves con soporte compacto son densas en muchos espacios de funciones utilizados en el análisis, como por ejemplo:${\displaystyle L^{p}}$espacios y espacios de Sobolev bajo hipótesis adecuadas. Estas corresponden a poner topologías en las funciones suaves que son más débiles que las de convergencia uniforme (como la${\displaystyle L^{p}}$norma). Esto hace que las funciones suaves sean útiles como funciones de prueba y como aproximaciones a funciones menos regulares.

Si bien todas las funciones analíticas son suaves en el conjunto en el que son analíticas, ejemplos como las funciones de tipo bump (mencionadas anteriormente) muestran que lo contrario no es cierto para las funciones en los números reales: existen funciones reales suaves que no son analíticas. Ejemplos sencillos de funciones que son suaves pero no analíticas en ningún punto se pueden obtener mediante series de Fourier ; otro ejemplo es la función de Fabius . Aunque podría parecer que tales funciones son la excepción y no la regla, las funciones analíticas forman una pequeña subclase de funciones suaves; por ejemplo, con topologías adecuadas en espacios de funciones suaves, las funciones analíticas forman un pequeño subconjunto de las funciones suaves. ^{[ 6 ]} Además, para cada subconjunto abierto A de la recta real, existen funciones suaves que son analíticas en A y en ningún otro lugar. ^{[ 7 ]}

La situación descrita contrasta marcadamente con las funciones diferenciables complejas. Si una función compleja es holomorfa en un conjunto abierto, es infinitamente diferenciable y analítica en ese conjunto. ^{[ 8 ]}

Un teorema de Émile Borel afirma que toda serie de potencias formal se presenta como la serie de Taylor de alguna función suave. Esta es otra forma en que las funciones suaves se diferencian de las funciones analíticas, cuyas series de Taylor las determinan localmente.

Bajo ciertas hipótesis, una mayor diferenciabilidad de una función se relaciona con una disminución más rápida de su transformada de Laplace o de Fourier . Por ejemplo, la integración por partes proporciona estimaciones de la disminución de las transformadas de Fourier de funciones cuyas derivadas satisfacen condiciones de integrabilidad o de contorno apropiadas. Estas relaciones están vinculadas a resultados como el teorema de Paley-Wiener .

Por el contrario, el decaimiento de la transformada de Fourier puede implicar propiedades de diferenciabilidad o continuidad de la función original. Esto se formula a menudo utilizando espacios de Sobolev : el decaimiento de la transformada de Fourier da regularidad de Sobolev, y el teorema de inmersión de Sobolev da condiciones bajo las cuales la regularidad de Sobolev implica regularidad clásica.${\displaystyle C^{k}}$suavidad.

Funciones suaves con soporte compacto, generalmente denotadas${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$, se denominan funciones de prueba . Se utilizan para definir distribuciones y derivadas débiles .

Las funciones suaves con soporte adecuadamente controlado , especialmente las funciones suaves con soporte compacto, se utilizan en la construcción de particiones suaves de la unidad (véase partición de la unidad y glosario de topología ); estas son esenciales en el estudio de variedades suaves , por ejemplo, para demostrar que las métricas riemannianas pueden definirse globalmente a partir de su existencia local. Un caso simple es el de una función de protuberancia en la recta real, es decir, una función suave f que toma el valor 0 fuera de un intervalo [ a , b ] y tal que $${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

Dada una colección localmente finita de intervalos superpuestos en la línea, se pueden construir funciones de elevación en cada uno de ellos y en intervalos semiinfinitos.${\displaystyle (-\infty ,c]}$y${\displaystyle [d,+\infty )}$para cubrir toda la línea, de modo que la suma de las funciones sea siempre 1.

De lo expuesto anteriormente, las particiones de la unidad no se aplican de la misma manera a las funciones holomorfas ; por ejemplo, no existen funciones holomorfas no nulas con soporte compacto en un dominio complejo conexo. Su comportamiento diferente con respecto a la existencia y la continuación analítica es uno de los fundamentos de la teoría de haces . En contraste, los haces de funciones suaves son finos y, por lo tanto, presentan un comportamiento cohomológico diferente.

Dado un colector liso${\displaystyle M}$, de dimensión${\displaystyle m,}$y un atlas${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$un mapa${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$es suave en${\displaystyle M}$si, por cada${\displaystyle p\in M}$Hay un gráfico.${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$con${\displaystyle p\in U,}$de tal manera que${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$es una función suave del subconjunto abierto${\displaystyle \phi (U)}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Similarmente,${\displaystyle f}$es de clase${\displaystyle C^{k}}$si estas representaciones de coordenadas son de clase${\displaystyle C^{k}}$. La suavidad se puede comprobar con respecto a cualquier carta del atlas que contenga${\displaystyle p,}$ya que los requisitos de suavidad en las funciones de transición entre gráficos aseguran que si${\displaystyle f}$es suave cerca${\displaystyle p}$en un gráfico será suave cerca${\displaystyle p}$en cualquier otro gráfico.

En un colector liso${\displaystyle M}$Los campos vectoriales suaves pueden identificarse con derivaciones del álgebra.${\displaystyle C^{\infty }(M)}$. Es decir, un campo vectorial${\displaystyle X}$actúa sobre funciones suaves mediante${\displaystyle f\mapsto Xf}$y satisface la regla de Leibniz $${\displaystyle X(fg)=fX(g)+gX(f).}$$

Si${\displaystyle F:M\to N}$es un mapa de${\displaystyle M}$a un${\displaystyle n}$variedad dimensional${\displaystyle N}$, entonces${\displaystyle F}$es suave si, para cada${\displaystyle p\in M,}$Hay un gráfico${\displaystyle (U,\phi )}$que contiene${\displaystyle p,}$y un gráfico${\displaystyle (V,\psi )}$que contiene${\displaystyle F(p)}$de tal manera que${\displaystyle F(U)\subset V,}$y${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$es una función suave entre subconjuntos abiertos de espacios euclidianos.

Las aplicaciones suaves entre variedades inducen aplicaciones lineales entre espacios tangentes : para${\displaystyle F:M\to N}$, en cada punto el empuje hacia adelante (o diferencial) mapea vectores tangentes en${\displaystyle p}$a vectores tangentes en${\displaystyle F(p)}$:${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$y a nivel del fibrado tangente , el pushforward es un homomorfismo de fibrados vectoriales :${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$El dual del empuje hacia adelante es el retroceso , que "tira" de los covectores en${\displaystyle N}$volver a los covectores en${\displaystyle M,}$y${\displaystyle k}$-formularios a${\displaystyle k}$-formularios:${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$De esta forma, las funciones suaves entre variedades pueden transportar datos locales , como campos vectoriales y formas diferenciales , de una variedad a otra, o hasta el espacio euclidiano, donde se comprenden bien cálculos como la integración .

Las preimágenes e imágenes de mapas suaves, en general, no son variedades sin supuestos adicionales. Las preimágenes de valores regulares son variedades; esto significa que, para un mapa suave${\displaystyle F:M\to N}$y un valor${\displaystyle q\in N}$, el diferencial${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{q}N}$es sobreyectiva en cada punto${\displaystyle p\in F^{-1}(q)}$Este es el teorema de la preimagen . De manera similar, la imagen de una incrustación es una subvariedad incrustada. ^{[ 9 ]}

La suavidad también se define para secciones de haces vectoriales. Una sección es suave si sus componentes de coordenadas son suaves en trivializaciones locales. Los campos vectoriales suaves, las formas diferenciales y los campos tensoriales son ejemplos de secciones suaves.

Existe una noción correspondiente de aplicación suave para subconjuntos arbitrarios de variedades. Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una función cuyo dominio y codominio son subconjuntos de variedades${\displaystyle X\subseteq M}$y${\displaystyle Y\subseteq N}$, respectivamente, entonces${\displaystyle f}$Se dice que es suave si para todos${\displaystyle x\in X}$Hay un conjunto abierto${\displaystyle U\subseteq M}$con${\displaystyle x\in U}$y un funcionamiento suave${\displaystyle F:U\to N}$de tal manera que${\displaystyle F(p)=f(p)}$a pesar de${\displaystyle p\in U\cap X.}$

Para${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$, los espacios Hölder${\displaystyle C^{k,\alpha }(U)}$en un escenario abierto${\displaystyle U}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$son funciones que son${\displaystyle C^{k}}$en${\displaystyle U}$y cuyo${\displaystyle k}$Los parciales -ésimos satisfacen una condición de Hölder en${\displaystyle U}$: $${\displaystyle |\partial ^{k}f(x)-\partial ^{k}f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }.}$$ Esta condición es más fuerte que la continuidad ordinaria. Cuando${\displaystyle \alpha =1}$, implica la continuidad de Lipschitz de la k-ésima derivada, que es más débil que su diferenciabilidad. Por lo tanto, para${\displaystyle 0<\alpha <1}$y en un dominio abierto no vacío${\displaystyle U}$, $${\displaystyle C^{k}(U)\subsetneq C^{k,\alpha }(U)\subsetneq C^{k,1}(U)\subsetneq C^{k+1}(U).}$$