Función cuasi-analítica

Para una función${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$y multiíndices${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$, denota${\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}}$, y

${\displaystyle D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}}$

${\displaystyle j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}$

y

${\displaystyle x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.}$

Entonces${\displaystyle f}$se denomina cuasi-analítico en el conjunto abierto${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$si por cada compacto${\displaystyle K\subset U}$hay una constante${\displaystyle A}$de tal manera que

${\displaystyle \left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}}$

para todos los índices múltiples${\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{n}}$y todos los puntos${\displaystyle x\in K}$.

La clase de funciones de Denjoy-Carleman de${\displaystyle n}$variables con respecto a la secuencia${\displaystyle M}$en el set${\displaystyle U}$puede ser denotado${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$, aunque abundan otras notaciones.

La clase Denjoy-Carleman${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$Se dice que una función es cuasi-analítica cuando la única función que tiene todas sus derivadas parciales iguales a cero en un punto es la función idénticamente igual a cero.

Se dice que una función de varias variables es cuasi-analítica cuando pertenece a una clase cuasi-analítica de Denjoy-Carleman.

En las definiciones anteriores es posible suponer que${\displaystyle M_{1}=1}$y que la secuencia${\displaystyle M_{k}}$es no decreciente.

La secuencia${\displaystyle M_{k}}$Se dice que es logarítmicamente convexa , si

${\displaystyle M_{k+1}/M_{k}}$está aumentando.

Cuando${\displaystyle M_{k}}$es logarítmicamente convexa, entonces${\displaystyle (M_{k})^{1/k}}$está aumentando y

${\displaystyle M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}}$a pesar de${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2}}$.

La clase cuasi-analítica${\displaystyle C_{n}^{M}}$con respecto a una secuencia logarítmicamente convexa${\displaystyle M}$Satisface:

• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$es un anillo. En particular, es cerrado bajo la multiplicación.
• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$está cerrado bajo composición. Específicamente, si${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}}$y${\displaystyle g\in C_{p}^{M}}$, entonces${\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M}}$.

Una función${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$Se dice que es un orden regular.${\displaystyle d}$con respecto a${\displaystyle x_{n}}$si${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}}$y${\displaystyle h(0)\neq 0}$. Dado${\displaystyle g}$regular de orden${\displaystyle d}$con respecto a${\displaystyle x_{n}}$, un anillo${\displaystyle A_{n}}$de funciones reales o complejas de${\displaystyle n}$Se dice que las variables satisfacen la división de Weierstrass con respecto a${\displaystyle g}$si por cada${\displaystyle f\in A_{n}}$hay${\displaystyle q\in A}$, y${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}}$de tal manera que

${\displaystyle f=gq+h}$con${\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}$.

Si bien tanto el anillo de funciones analíticas como el anillo de series de potencias formales satisfacen la propiedad de división de Weierstrass, lo mismo no ocurre con otras clases cuasi-analíticas.

Si${\displaystyle M}$es logarítmicamente convexa y${\displaystyle C^{M}}$no es igual a la clase de función analítica, entonces${\displaystyle C^{M}}$no satisface la propiedad de división de Weierstrass con respecto a${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}}$.