Teorema de la preimagen

En matemáticas , particularmente en el campo de la topología diferencial , el teorema de la preimagen es una variación del teorema de la función implícita que se refiere a la preimagen de puntos particulares en una variedad bajo la acción de una aplicación suave . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Definición. Sea una aplicación suave entre variedades. Decimos que un punto es un valor regular de si para todo la aplicación es sobreyectiva . Aquí, y son los espacios tangentes de y en los puntos y${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle df_{x}:T_{x}X\to T_{y}Y}$${\displaystyle T_{x}X}$${\displaystyle T_{y}Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

Teorema. Sea una aplicación suave y sea un valor regular de Entonces es una subvariedad de Si entonces la codimensión de es igual a la dimensión de Además, el espacio tangente de en es igual a${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle y\in {\text{im}}(f),}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ker(df_{x}).}$

También existe una versión compleja de este teorema: ^{[ 3 ]}

Teorema. Sean y dos variedades complejas de dimensiones complejas. Sea una aplicación holomorfa y sea tal que para todo Entonces es una subvariedad compleja de de dimensión compleja.${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle Y^{m}}$${\displaystyle n>m.}$${\displaystyle g:X\to Y}$${\displaystyle y\in {\text{im}}(g)}$${\displaystyle {\text{rank}}(dg_{x})=m}$${\displaystyle x\in g^{-1}(y).}$${\displaystyle g^{-1}(y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle nm.}$

• Fibra (matemáticas) – Conjunto de todos los puntos en el dominio de una función que se corresponden con un único punto dado. 
• Conjunto de nivel : subconjunto del dominio de una función en el que su valor es igual.