Mapeo de Sobolev

En matemáticas , una aplicación de Sobolev es una aplicación entre variedades que posee suavidad en algún sentido. Las aplicaciones de Sobolev aparecen de forma natural en problemas con restricciones de variedades en el cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , incluyendo la teoría de aplicaciones armónicas . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Dadas las variedades riemannianas${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$, que según el teorema de incrustación suave de Nash, sin pérdida de generalidad, se supone que está incrustado isométricamente en${\displaystyle \mathbb {R} ^{\nu }}$como ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle W^{s,p}(M,N):=\{u\in W^{s,p}(M,\mathbb {R} ^{\nu })\,\vert \,u(x)\in N{\text{ para casi todo }}x\in M\}.}$$ De primer orden (${\displaystyle s=1}$) Las aplicaciones de Sobolev también pueden definirse en el contexto de espacios métricos . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El problema de aproximación fuerte consiste en determinar si las aplicaciones suaves de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$son densos en${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$con respecto a la topología de la norma. Cuando${\displaystyle sp>\dim M}$La desigualdad de Morrey implica que las aplicaciones de Sobolev son continuas y, por lo tanto, pueden aproximarse fuertemente mediante aplicaciones suaves. Cuando${\displaystyle sp=\dim M}$, las aplicaciones de Sobolev tienen una oscilación media nula ^{[ 8 ]} y, por lo tanto, pueden aproximarse mediante aplicaciones suaves. ^{[ 9 ]}

Cuando${\displaystyle sp<\dim M}$La cuestión de la densidad está relacionada con la teoría de la obstrucción : ${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$es denso en${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$si y solo si cada mapeo continuo en un desde un${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$–triangulación dimensional de${\displaystyle M}$en${\displaystyle N}$es la restricción de un mapa continuo de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$. ^{[ 10 ] [ 5 ]}

El problema de encontrar una secuencia de aproximaciones débiles de mapas en${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$es equivalente a la aproximación fuerte cuando${\displaystyle p}$no es un número entero . ^{[ 10 ]} Cuando${\displaystyle p}$es un número entero, una condición necesaria es que la restricción a un${\displaystyle \lfloor p-1\rfloor }$Triangulación dimensional de cada mapeo continuo de un${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$–triangulación dimensional de${\displaystyle M}$en${\displaystyle N}$coincide con la restricción de un mapa continuo de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N}$. ^{[ 5 ]} Cuando${\displaystyle p=2}$, esta condición es suficiente. ^{[ 11 ]} Para${\displaystyle W^{1,3}(M,\mathbb {S} ^{2})}$con${\displaystyle \dim M\geq 4}$, esta condición no es suficiente. ^{[ 12 ]}

El problema de homotopía consiste en describir y clasificar los componentes conectados por caminos del espacio${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$dotado de la topología de norma. Cuando${\displaystyle 0<s\leq 1}$y${\displaystyle \dim M\leq sp}$, entonces los componentes conectados por caminos de${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$son esencialmente lo mismo que los componentes conectados por caminos de${\displaystyle C(M,N)}$: dos mapas en${\displaystyle W^{s,p}(M,N)\cap C(M,N)}$están conectados por un camino en${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$si y solo si están conectados por un camino en${\displaystyle C(M,N)}$, cualquier componente conectado por ruta de${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$y cualquier componente conectado por ruta de${\displaystyle C(M,N)}$interseca${\displaystyle W^{s,p}(M,N)\cap C(M,N)}$no trivialmente. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} Cuando${\displaystyle \dim M>p}$, dos mapas en${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$están conectados por un camino continuo en${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$si y solo si sus restricciones a un genérico${\displaystyle \lfloor p-1\rfloor }$Las triangulaciones de dimensión n son homotópicas. ^{[ 5 ] : teorema 1.1}

La teoría clásica de trazas establece que cualquier mapa de Sobolev${\displaystyle u\in W^{1,p}(M,N)}$tiene un rastro${\displaystyle Tu\in W^{1-1/p,p}(\partial M,N)}$y que cuando${\displaystyle N=\mathbb {R} }$, el operador traza es sobreyectivo. La prueba de la sobreyectividad se basa en un argumento de promediación, el resultado no se extiende fácilmente a las aplicaciones de Sobolev. Se sabe que el operador traza es sobreyectivo cuando${\displaystyle \pi _{1}(N)\simeq \dotsb \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\simeq \{0\}}$^{[ 16 ]} o cuando${\displaystyle p\geq 3}$,${\displaystyle \pi _{1}(N)}$es finito y${\displaystyle \pi _{2}(N)\simeq \dotsb \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\simeq \{0\}}$. ^{[ 17 ]} La sobreyectividad del operador traza falla si${\displaystyle \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\not \simeq \{0\}}$^{[ 16 ] [ 18 ]} o si${\displaystyle \pi _{\ell }(N)}$es infinito para algunos${\displaystyle \ell \in \{1,\dotsc ,\lfloor p-1\rfloor \}}$. ^{[ 17 ] [ 19 ]}

Dado un mapa de cobertura${\displaystyle \pi$ :{\tilde {N}}\to N} , el problema de elevación pregunta si algún mapa${\displaystyle u\in W^{s,p}(M,N)}$se puede escribir como${\displaystyle u=\pi \circ {\tilde {u}}}$para algunos${\displaystyle {\tilde {u}}\in W^{s,p}(M,{\tilde {N}})}$, como ocurre con los procesos continuos o suaves${\displaystyle u}$y${\displaystyle {\tilde {u}}}$cuando${\displaystyle M}$es simplemente conexo en la teoría clásica de levantamiento . Si el dominio${\displaystyle M}$simplemente está conectado, cualquier mapa${\displaystyle u\in W^{s,p}(M,N)}$se puede escribir como${\displaystyle u=\pi \circ {\tilde {u}}}$para algunos${\displaystyle {\tilde {u}}\in W^{s,p}(M,N)}$ cuando${\displaystyle sp\geq \dim M}$, ^{[ 20 ] [ 21 ]} cuando${\displaystyle s\geq 1}$y${\displaystyle 2\leq sp<\dim M}$^{[ 22 ] [ 21 ]} y cuando${\displaystyle N}$es compacto,${\displaystyle 0<s<1}$y${\displaystyle 2\leq sp<\dim M}$. ^{[ 23 ]} Existe una obstrucción topológica al levantamiento cuando${\displaystyle sp<2}$y una obstrucción analítica cuando${\displaystyle 1\leq sp<\dim M}$. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

• https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds