Homomorfismo inducido

En matemáticas , especialmente en topología algebraica , un homomorfismo inducido es un homomorfismo derivado de forma canónica de otra aplicación. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, una aplicación continua de un espacio topológico X a un espacio topológico Y induce un homomorfismo de grupos del grupo fundamental de X al grupo fundamental de Y.

De forma más general, en teoría de categorías , cualquier functor , por definición, proporciona un morfismo inducido en la categoría de destino para cada morfismo en la categoría de origen. Por ejemplo, los grupos fundamentales , los grupos de homotopía superior , la homología singular y la cohomología de De Rham son estructuras algebraicas que son functoriales , lo que significa que su definición proporciona un functor desde (p. ej.) la categoría de espacios topológicos a (p. ej.) la categoría de grupos o anillos . Esto significa que cada espacio está asociado con una estructura algebraica, mientras que cada aplicación continua entre espacios está asociada con una aplicación que preserva la estructura entre estructuras, llamada homomorfismo inducido. Un homomorfismo inducido a partir de una aplicación${\displaystyle h}$a menudo se denota${\displaystyle h_{*}}$.

Los homomorfismos inducidos suelen heredar propiedades de las aplicaciones de las que provienen; por ejemplo, dos aplicaciones inversas entre sí salvo homotopía inducen homomorfismos inversos entre sí. Un uso común de los homomorfismos inducidos es el siguiente: al demostrar que un homomorfismo con ciertas propiedades no puede existir, se concluye que no puede existir una aplicación continua con propiedades que lo induzcan. Gracias a esto, las relaciones entre espacios y aplicaciones continuas, a menudo muy complejas, pueden inferirse a partir de las relaciones entre los homomorfismos que inducen. Estas últimas pueden ser más sencillas de analizar, ya que implican estructuras algebraicas que suelen ser fáciles de describir, comparar y calcular.

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios topológicos con puntos${\displaystyle x_{0}}$en${\displaystyle X}$y${\displaystyle y_{0}}$en${\displaystyle Y}$. Dejar${\displaystyle h:X\to Y}$sea ​​una aplicación continua tal que${\displaystyle h(x_{0})=y_{0}}$Entonces podemos definir un mapa.${\displaystyle h_{*}}$del grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$al grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$de la siguiente manera: cualquier elemento de${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$, representado por un bucle${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$con sede en${\displaystyle x_{0}}$, se asigna al bucle en${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$obtenido mediante composición con${\displaystyle h}$:

${\displaystyle h_{*}([f]):=[h\circ f]}$

Aquí${\displaystyle [f]}$denota la clase de equivalencia de${\displaystyle f}$bajo homotopía, como en la definición del grupo fundamental. Se comprueba fácilmente a partir de las definiciones que${\displaystyle h_{*}}$es una función bien definida π ₁ ( X , x ₀ ) → π ₁ ( Y , y ₀ ) : los bucles en la misma clase de equivalencia, es decir, los bucles homotópicos en X , se mapean a bucles homotópicos en Y , porque una homotopía también puede componerse con h . También se deduce de la definición de la operación de grupo en grupos fundamentales (es decir, por concatenación de bucles) que${\displaystyle h_{*}}$es un homomorfismo de grupo:

${\displaystyle h_{*}([f+g])=h_{*}([f])+h_{*}([g])}$

(donde + denota la concatenación de bucles, con el primer + en X y el segundo + en Y ). ^{[ 2 ]} El homomorfismo resultante${\displaystyle h_{*}}$es el homomorfismo inducido desde h .

También se puede denotar como π ( h ). En efecto, π da un functor de la categoría de espacios con punto a la categoría de grupos: asocia el grupo fundamental π ₁ ( X , x ₀ ) a cada espacio con punto ( X , x ₀ ) y asocia el homomorfismo inducido.${\displaystyle \pi (h)=h_{*}}$a cada aplicación continua que preserva el punto base h : ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ ) . Para demostrar que satisface la definición de un functor, hay que comprobar además que es compatible con la composición: para las aplicaciones continuas que preservan el punto base h : ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ ) y k : ( Y , y ₀ ) → ( Z , z ₀ ) , tenemos:

${\displaystyle \pi (k\circ h)=\pi (k)\circ \pi (h).}$

Esto implica que si h no es solo una aplicación continua sino de hecho un homeomorfismo entre X e Y , entonces el homomorfismo inducido${\displaystyle \pi (h)}$es un isomorfismo entre grupos fundamentales (porque el homomorfismo inducido por el inverso de h es el inverso de${\displaystyle \pi (h)}$, por la ecuación anterior). (Véase la sección III.5.4, pág.  201, en H. Schubert.) ^{[ 3 ]}

Asimismo, existen homomorfismos inducidos de grupos de homotopía y grupos de homología superiores . Toda teoría de homología conlleva homomorfismos inducidos. Por ejemplo, la homología simplicial , la homología singular y la homología de Borel-Moore presentan homomorfismos inducidos (IV.1.3, pp.  240-241) ^{[ 3 ].} De manera similar, toda cohomología conlleva homomorfismos inducidos, aunque en la dirección opuesta (de un grupo asociado a Y a un grupo asociado a X ). Por ejemplo, la cohomología de Čech , la cohomología de de Rham y la cohomología singular presentan homomorfismos inducidos (IV.4.2-3, pp.  298-299). ^{[ 3 ].} Las generalizaciones como el cobordismo también presentan homomorfismos inducidos.

Dada alguna categoría${\displaystyle \mathbf {T} }$de espacios topológicos (posiblemente con alguna estructura adicional) como la categoría de todos los espacios topológicos Top o la categoría de espacios topológicos con punto base (es decir, espacios topológicos con un punto base distinguido), y un functor${\displaystyle F:\mathbf {T} \to \mathbf {A} }$de esa categoría a alguna categoría${\displaystyle \mathbf {A} }$de estructuras algebraicas como la categoría de grupos Grp o de grupos abelianos Ab que luego asocia dicha estructura algebraica a cada espacio topológico, entonces para cada morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$de${\displaystyle \mathbf {T} }$(que suele ser una aplicación continua, que posiblemente conserva alguna otra estructura como el punto base) este functor induce un morfismo inducido${\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}$en${\displaystyle \mathbf {A} }$(que por ejemplo es un homomorfismo de grupo si${\displaystyle \mathbf {A} }$es una categoría de grupos) entre las estructuras algebraicas${\displaystyle F(X)}$y${\displaystyle F(Y)}$asociado a${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, respectivamente.

Si${\displaystyle F}$Si no es un functor (covariante) sino un functor contravariante , entonces por definición induce morfismos en la dirección opuesta:${\displaystyle F(f):F(Y)\to F(X)}$Los grupos de cohomología dan un ejemplo .

• James Munkres (1999). Topología, 2.ª edición, Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.