Análisis no estándar

La historia del cálculo está plagada de debates filosóficos sobre el significado y la validez lógica de las fluxiones o números infinitesimales . La forma habitual de resolver estos debates es definir las operaciones del cálculo utilizando límites en lugar de infinitesimales. El análisis no estándar ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} reformula el cálculo utilizando una noción lógicamente rigurosa de números infinitesimales .

El análisis no estándar se originó a principios de la década de 1960 gracias al matemático Abraham Robinson . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Él escribió:

... la idea de cantidades infinitesimales o infinitamente pequeñas parece apelar naturalmente a nuestra intuición. En cualquier caso, el uso de infinitesimales fue generalizado durante las etapas formativas del cálculo diferencial e integral. En cuanto a la objeción de que la distancia entre dos números reales distintos no puede ser infinitamente pequeña, Gottfried Wilhelm Leibniz argumentó que la teoría de los infinitesimales implica la introducción de números ideales que podrían ser infinitamente pequeños o infinitamente grandes en comparación con los números reales, pero que poseerían las mismas propiedades que estos últimos.

Robinson argumentó que esta ley de continuidad de Leibniz es precursora del principio de transferencia . Robinson continuó:

Sin embargo, ni él ni sus discípulos y sucesores pudieron ofrecer un desarrollo racional que condujera a un sistema de este tipo. Como resultado, la teoría de los infinitesimales cayó gradualmente en descrédito y finalmente fue reemplazada por la teoría clásica de los límites. ^{[ 6 ]}

Robinson continúa:

Las ideas de Leibniz se ven plenamente justificadas y conducen a un enfoque novedoso y fructífero del análisis clásico y de muchas otras ramas de las matemáticas. La clave de nuestro método reside en el análisis detallado de la relación entre los lenguajes matemáticos y las estructuras matemáticas, que constituye la base de la teoría de modelos contemporánea .

En 1973, el intuicionista Arend Heyting elogió el análisis no estándar como "un modelo estándar de investigación matemática importante". ^{[ 7 ]}

Un elemento distinto de cero de un campo ordenado.${\displaystyle \mathbb {F} }$es infinitesimal si y solo si su valor absoluto es menor que cualquier elemento de${\displaystyle \mathbb {F} }$que es de la forma${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$, para${\displaystyle n}$Un número natural estándar . Los cuerpos ordenados que tienen elementos infinitesimales también se denominan no arquimedianos . En términos más generales, el análisis no estándar es cualquier forma de matemáticas que se basa en modelos no estándar y en el principio de transferencia . Un cuerpo que satisface el principio de transferencia para los números reales se denomina cuerpo real cerrado , y el análisis real no estándar utiliza estos cuerpos como modelos no estándar de los números reales.

El enfoque original de Robinson se basó en estos modelos no estándar del campo de los números reales. Su libro clásico fundamental sobre el tema, Análisis no estándar, se publicó en 1966 y todavía se imprime. ^{[ 8 ]} En la página 88, Robinson escribe:

La existencia de modelos aritméticos no estándar fue descubierta por Thoralf Skolem (1934). El método de Skolem anticipa la construcción de ultrapotencias [...]

Para desarrollar un cálculo de infinitesimales, es necesario abordar varias cuestiones técnicas. Por ejemplo, no basta con construir un cuerpo ordenado con infinitesimales. Consulte el artículo « Número hiperreal» para un análisis de algunas de las ideas relevantes.

En esta sección describimos uno de los enfoques más sencillos para definir un campo hiperreal.${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$. Dejar${\displaystyle \mathbb {R} }$Sea el campo de los números reales, y sea${\displaystyle \mathbb {N} }$Sea el semianillo de los números naturales. Denotemos por${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$el conjunto de secuencias de números reales. Un campo${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$se define como un cociente adecuado de${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$, de la siguiente manera. Tome un ultrafiltro no principal${\displaystyle F\subseteq P(\mathbb {N} )}$. En particular,${\displaystyle F}$contiene el filtro de Fréchet . Consideremos un par de secuencias

${\displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Decimos que${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son equivalentes si coinciden en un conjunto de índices que es miembro del ultrafiltro, o en fórmulas:

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F}$

El cociente de${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$La relación de equivalencia resultante es un campo hiperreal.${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$, una situación resumida por la fórmula${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}}$.

Existen al menos tres razones para considerar el análisis no estándar: históricas, pedagógicas y técnicas.

Existen dos enfoques principales y diferentes para el análisis no estándar: el enfoque semántico o de teoría de modelos y el enfoque sintáctico. Ambos enfoques se aplican a otras áreas de las matemáticas más allá del análisis, como la teoría de números, el álgebra y la topología.

La formulación original de Robinson sobre el análisis no estándar se enmarca dentro del enfoque semántico . Desarrollado por él en sus artículos, se basa en el estudio de modelos (en particular, modelos saturados ) de una teoría . Desde la publicación del trabajo de Robinson, se ha desarrollado un enfoque semántico más sencillo (debido a Elias Zakon) que utiliza objetos puramente conjuntistas denominados superestructuras . En este enfoque, un modelo de una teoría se reemplaza por un objeto llamado superestructura V ( S ) sobre un conjunto S. Partiendo de una superestructura V ( S ) , se construye otro objeto * V ( S ) mediante la construcción de ultrapotencia junto con una aplicación V ( S ) → * V ( S ) que satisface el principio de transferencia . La aplicación * relaciona propiedades formales de V ( S ) y * V ( S ) . Además, es posible considerar una forma más simple de saturación denominada saturación contable . Este enfoque simplificado también resulta más adecuado para matemáticos que no son especialistas en teoría de modelos o lógica.

El enfoque sintáctico requiere mucha menos lógica y teoría de modelos para su comprensión y uso. Este enfoque fue desarrollado a mediados de la década de 1970 por el matemático Edward Nelson . Nelson introdujo una formulación completamente axiomática del análisis no estándar que denominó teoría interna de conjuntos (IST). ^{[ 13 ]} IST es una extensión de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) en que, junto con la relación de pertenencia binaria básica ∈, introduce un nuevo estándar de predicado unario , que puede aplicarse a elementos del universo matemático junto con algunos axiomas para razonar con este nuevo predicado.

El análisis sintáctico no estándar requiere un gran cuidado al aplicar el principio de formación de conjuntos (conocido formalmente como axioma de comprensión ), que los matemáticos suelen dar por sentado. Como señala Nelson, una falacia en el razonamiento en IST es la de la formación ilegal de conjuntos . Por ejemplo, no existe ningún conjunto en IST cuyos elementos sean precisamente los enteros estándar (aquí estándar se entiende en el sentido del nuevo predicado). Para evitar la formación ilegal de conjuntos, solo se deben usar predicados de ZFC para definir subconjuntos. ^{[ 13 ]}

Otro ejemplo del enfoque sintáctico es la teoría de conjuntos alternativa de Vopěnka , ^{[ 14 ]} que intenta encontrar axiomas de la teoría de conjuntos más compatibles con el análisis no estándar que los axiomas de ZF.

El libro de Abraham Robinson, Análisis no estándar, se publicó en 1966. Algunos de los temas desarrollados en el libro ya estaban presentes en su artículo de 1961 con el mismo título (Robinson 1961). ^{[ 15 ]} Además de contener el primer tratamiento completo del análisis no estándar, el libro contiene una sección histórica detallada donde Robinson cuestiona algunas de las opiniones aceptadas sobre la historia de las matemáticas basadas en la percepción pre-análisis no estándar de los infinitesimales como entidades inconsistentes. Así, Robinson cuestiona la idea de que el " teorema de la suma " de Augustin-Louis Cauchy en Cours d'Analyse sobre la convergencia de una serie de funciones continuas fuera incorrecto, y propone una interpretación basada en infinitesimales de su hipótesis que resulta en un teorema correcto.

Abraham Robinson y Allen Bernstein utilizaron análisis no estándar para demostrar que todo operador lineal polinomialmente compacto en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante . ^{[ 16 ]}

Dado un operador T en el espacio de Hilbert H , consideremos la órbita de un punto v en H bajo las iteraciones de T. Aplicando Gram-Schmidt se obtiene una base ortonormal ( e _i ) para H . Sea ( H _i ) la secuencia anidada correspondiente de subespacios "coordenados" de H . La matriz a _i,j que expresa T con respecto a ( e _i ) es casi triangular superior, en el sentido de que los coeficientes a _{i +1, i} son los únicos coeficientes subdiagonales no nulos. Bernstein y Robinson muestran que si T es polinomialmente compacto, entonces hay un índice hiperfinito w tal que el coeficiente de la matriz a _{w +1, w} es infinitesimal. A continuación, consideremos el subespacio H _w de * H . Si y en H _w tiene norma finita, entonces T ( y ) es infinitamente cercano a H _w .

Ahora sea T _w el operador${\displaystyle P_{w}\circ T}$actuando sobre H _w , donde P _w es la proyección ortogonal a H _w . Denotemos por q el polinomio tal que q ( T ) es compacto. El subespacio H _w es interno de dimensión hiperfinita. Al transferir la triangularización superior de operadores del espacio vectorial complejo de dimensión finita, hay una base de espacio de Hilbert ortonormal interno ( e _k ) para H _w donde k va de 1 a w , tal que cada uno de los subespacios k -dimensionales correspondientes E _k es T- invariante. Denotemos por Π _k la proyección al subespacio E _k . Para un vector no nulo x de norma finita en H , se puede suponer que q ( T )( x ) es no nulo, o | q ( T )( x )| > 1 para fijar ideas. Dado que q ( T ) es un operador compacto, ( q ( T _w ))( x ) es infinitamente cercano a q ( T )( x ) y por lo tanto también se tiene | q ( T _w )( x )| > 1 . Ahora sea j el mayor índice tal que${\textstyle \left|q(T_{w})\left(\prod _{j}(x)\right)\right|<{\tfrac {1}{2}}}$. Entonces, el espacio de todos los elementos estándar infinitamente cercanos a E _j es el subespacio invariante deseado.

Tras leer una versión preliminar del artículo de Bernstein y Robinson, Paul Halmos reinterpretó su demostración utilizando técnicas estándar. ^{[ 17 ]} Ambos artículos aparecieron consecutivamente en el mismo número del Pacific Journal of Mathematics . Algunas de las ideas empleadas en la demostración de Halmos reaparecieron muchos años después en su propio trabajo sobre operadores cuasi-triangulares.

Se obtuvieron otros resultados que consistieron en reinterpretar o refutarse resultados previamente conocidos. De particular interés es la demostración de Teturo Kamae ^{[ 18 ]} del teorema ergódico individual o el tratamiento de L. van den Dries y Alex Wilkie ^{[ 19 ]} del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial . Larry Manevitz y Shmuel Weinberger utilizaron análisis no estándar para demostrar un resultado en topología algebraica. ^{[ 20 ]}

Las verdaderas contribuciones del análisis no estándar residen, sin embargo, en los conceptos y teoremas que utilizan el nuevo lenguaje extendido de la teoría de conjuntos no estándar. Entre la lista de nuevas aplicaciones en matemáticas se encuentran nuevos enfoques de probabilidad, ^{[ 11 ]} hidrodinámica, ^{[ 21 ]} teoría de la medida, ^{[ 22 ]} análisis no suave y armónico, ^{[ 23 ]} etc.

También existen aplicaciones del análisis no estándar a la teoría de procesos estocásticos, en particular construcciones del movimiento browniano como caminatas aleatorias . Albeverio et al. ^{[ 12 ]} ofrecen una introducción a esta área de investigación.

En términos de axiomática, el axioma de superuniversalidad de Boffa ha encontrado aplicación como base para el análisis no estándar axiomático. ^{[ 24 ]}

A pesar de la elegancia y el atractivo de algunos aspectos del análisis no estándar, también se han expresado críticas, como las de Errett Bishop , Alain Connes y Paul Halmos .

Dado cualquier conjunto S , la superestructura sobre un conjunto S es el conjunto V ( S ) definido por las condiciones

${\displaystyle V_{0}(S)=S,}$

${\displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S)),}$

${\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).}$

Así, la superestructura sobre S se obtiene partiendo de S e iterando la operación de adjuntar el conjunto potencia de S y tomar la unión de la secuencia resultante. La superestructura sobre los números reales incluye una gran cantidad de estructuras matemáticas: por ejemplo, contiene copias isomorfas de todos los espacios métricos separables y espacios vectoriales topológicos metrizables . Prácticamente todas las matemáticas que interesan a un analista se desarrollan dentro de V ( R ) .

La visión operativa del análisis no estándar es un conjunto * R y una función *  : V ( R ) → V (* R ) que satisface algunas propiedades adicionales. Para formular estos principios, primero enunciamos algunas definiciones.

Una fórmula tiene cuantificación acotada si y solo si los únicos cuantificadores que aparecen en la fórmula tienen un rango restringido sobre conjuntos, es decir, todos tienen la forma:

${\displaystyle \forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

Por ejemplo, la fórmula

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y}$

tiene cuantificación acotada, la variable cuantificada universalmente x abarca A , la variable cuantificada existencialmente y abarca el conjunto potencia de B. Por otro lado,

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y}$

no tiene cuantificación limitada porque la cuantificación de y no está restringida.

Un conjunto x es interno si y solo si x es un elemento de * A para algún elemento A de V ( R ) . * A mismo es interno si A pertenece a V ( R ) .

A continuación, formulamos el marco lógico básico del análisis no estándar:

• Principio de extensión : La aplicación * es la identidad en R.
• Principio de transferencia : Para cualquier fórmula P ( x ₁ , ..., x _n ) con cuantificación acotada y con variables libres x ₁ , ..., x _n , y para cualquier elemento A ₁ , ..., A _n de V ( R ) , se cumple la siguiente equivalencia:

${\displaystyle P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots ,*A_{n})}$

• Saturación contable : Si { A _k } _{k ∈ N} es una secuencia decreciente de conjuntos internos no vacíos, con k recorriendo los números naturales, entonces

${\displaystyle \bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset }$

Se puede demostrar usando ultraproductos que existe tal mapa *. Los elementos de V ( R ) se llaman estándar . Los elementos de * R se llaman números hiperreales .

El símbolo * N denota los números naturales no estándar. Por el principio de extensión, este es un superconjunto de N. El conjunto * N − N no es vacío. Para comprobarlo, aplique la saturación contable a la secuencia de conjuntos internos.

${\displaystyle A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}}$

La secuencia { A _n } _{n ∈ N} tiene una intersección no vacía, lo que demuestra el resultado.

Comenzamos con algunas definiciones: Los hiperreales r , s son infinitamente cercanos si y solo si

${\displaystyle r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |r-s|\leq \theta }$

Un hiperreal r es infinitesimal si y solo si está infinitamente cerca de 0. Por ejemplo, si n es un hiperentero , es decir, un elemento de * N − N , entonces 1/ n es un infinitesimal. Un hiperreal r es limitado (o finito ) si y solo si su valor absoluto está dominado por (menor que) un entero estándar. Los hiperreales limitados forman un subanillo de * R que contiene los reales. En este anillo, los hiperreales infinitesimales son un ideal .

El conjunto de hiperreales limitados o el conjunto de hiperreales infinitesimales son subconjuntos externos de V (* R ) ; lo que esto significa en la práctica es que la cuantificación acotada, donde el límite es un conjunto interno, nunca abarca estos conjuntos.

Ejemplo : El plano ( x , y ) con x e y tomando valores sobre * R es interno y constituye un modelo de geometría euclidiana plana. El plano con x e y restringidos a valores limitados (análogo al plano de Dehn ) es externo, y en este plano limitado se incumple el postulado de paralelismo. Por ejemplo, cualquier recta que pase por el punto (0, 1) en el eje y y tenga una pendiente infinitesimal es paralela al eje x .

Teorema. Para cualquier hiperreal limitado r, existe un único real estándar denotado st( r ) infinitamente cercano a r . La aplicación st es un homomorfismo de anillos del anillo de hiperreales limitados a R.

El mapeo st también es externo.

Una forma de concebir la parte estándar de un hiperreal es en términos de cortes de Dedekind ; cualquier hiperreal limitado s define un corte al considerar el par de conjuntos ( L , U ), donde L es el conjunto de racionales estándar a menores que s y U es el conjunto de racionales estándar b mayores que s . Se puede observar que el número real correspondiente a ( L , U ) satisface la condición de ser la parte estándar de s .

Una caracterización intuitiva de la continuidad es la siguiente:

Teorema. Una función de valor real f en el intervalo [ a , b ] es continua si y solo si para todo hiperreal x en el intervalo *[ a , b ] , tenemos: * f ( x ) ≅ * f (st( x )) .

Similarmente,

Teorema. Una función de valor real f es diferenciable en el valor real x si y solo si para todo número hiperreal infinitesimal h , el valor

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)}$

existe y es independiente de h . En este caso, f ′( x ) es un número real y es la derivada de f en x .

Es posible "mejorar" la saturación permitiendo que se intersecten colecciones de mayor cardinalidad. Un modelo es κ - saturado si siempre que${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$es una colección de conjuntos internos con la propiedad de intersección finita y${\displaystyle |I|\leq \kappa }$,

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset }$

Esto es útil, por ejemplo, en un espacio topológico X , donde podríamos querer la saturación de |2 ^X | para asegurar que la intersección de una base de vecindario estándar no esté vacía. ^{[ 25 ]}

Para cualquier cardinal κ , se puede construir una extensión κ -saturada. ^{[ 26 ]}

• EE Rosinger, [math/0407178]. Breve introducción al análisis no estándar . arxiv.org.

• Citas relacionadas con el análisis no estándar en Wikiquote
• Los fantasmas de las cantidades desaparecidas, de Lindsay Keegan. Archivado el 25 de abril de 2018 en Wayback Machine.