Desbordamiento

En el análisis no estándar , una rama de las matemáticas , el desbordamiento (al que Goldblatt (1998, p. 129) denomina overflow ) es una técnica de demostración ampliamente utilizada. Se basa en el hecho de que el conjunto de números naturales estándar N no es un subconjunto interno del conjunto interno * N de números hipernaturales .

Aplicando el principio de inducción para los números enteros estándar N y el principio de transferencia obtenemos el principio de inducción interna :

Para cualquier subconjunto interno A de * N , si

1. 1 es un elemento de A , y
2. para cada elemento n de A , n  + 1 también pertenece a A ,

entonces

A  = * N

Si N fuera un conjunto interno, entonces al instanciar el principio de inducción interna con N , se seguiría N  = * N , lo cual se sabe que no es el caso.

El principio de desbordamiento tiene una serie de consecuencias útiles:

• El conjunto de hiperreales estándar no es interno.
• El conjunto de hiperreales acotados no es interno.
• El conjunto de hiperreales infinitesimales no es interno.

En particular:

• Si un conjunto interno contiene todos los hiperreales infinitesimales no negativos, contiene un hiperreal positivo no infinitesimal (o apreciable ).
• Si un conjunto interno contiene N, contiene un elemento ilimitado (infinito) de * N.

Estos hechos se pueden utilizar para demostrar la equivalencia de las dos condiciones siguientes para una función hiperreal interna ƒ definida en * R .

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\existe \delta \in \mathbb {R} ^{+},|h|\leq \delta \implies |f(x+h)-f(x)|\leq \varepsilon }$

y

${\displaystyle \para todo h\cong 0,\ |f(x+h)-f(x)|\cong 0}$

La prueba de que el segundo hecho implica el primero utiliza el desbordamiento, ya que dado un ε positivo no infinitesimal ,

${\displaystyle \forall {\mbox{ positivo }}\delta \cong 0,\ (|h|\leq \delta \implies |f(x+h)-f(x)|<\varepsilon ).}$

Aplicando el sobresbordamiento obtenemos un δ positivo apreciable con las propiedades requeridas.

Estas condiciones equivalentes expresan la propiedad conocida en el análisis no estándar como S - continuidad (o microcontinuidad ) de ƒ en x . La S-continuidad se considera una propiedad externa. La primera definición es externa porque implica cuantificación sobre valores estándar únicamente. La segunda definición es externa porque implica la relación externa de ser infinitesimal.

• Robert Goldblatt (1998). Lecciones sobre los hiperreales. Una introducción al análisis no estándar. Springer.