Función L

Esta definición es abstracta e incompleta, ya que no especifica los objetos aritméticos a los que asigna las funciones L, ni el mecanismo exacto de dicha asignación. Sin embargo, incluye propiedades que generalmente se esperan de las funciones L.

La definición se amplía y comienza definiendo 6 definiciones preliminares, como sigue:

La definición propuesta por el matemático noruego-estadounidense Atle Selberg en 1989 es independiente de otros objetos matemáticos. En una definición no abstracta y unívoca, especifica un subconjunto del conjunto de todas las series de Dirichlet cuyos elementos deben satisfacer ciertas propiedades: convergencia absoluta de la serie de Dirichlet, continuación analítica, ecuación funcional, conjetura de Ramanujan ^{[ Nota 1 ]} y producto de Euler. Este subconjunto se conoce hoy como la clase de Selberg . ^{[ 3 ]}

La hipótesis fundamental y el fundamento para la definición de la clase de Selberg es la denominada Gran Hipótesis de Riemann . Aplicada a la clase de Selberg, esta hipótesis establece que ningún cero de una continuación analítica de una serie de Dirichlet en la clase de Selberg tiene una parte real mayor que 1/2. En el caso del elemento (supuestamente) más simple de la clase de Selberg (la serie de Riemann-Dirichlet junto con su continuación analítica a la función zeta de Riemann), esta conjetura corresponde a la Hipótesis de Riemann , que hasta la fecha no ha sido ni probada ni refutada.

Es en este contexto donde deben considerarse las deficiencias restantes en la definición del término "función L": se desearía definir el término "función L" de tal manera que las funciones L satisfagan de forma verificable la Gran Hipótesis de Riemann. Sin embargo, por otro lado, ni siquiera se ha podido demostrar el caso más simple (la Hipótesis de Riemann para la función zeta de Riemann), lo que podría ser un indicio de falta de comprensión de la función zeta de Riemann y, por lo tanto, dificulta proporcionar una definición clara del concepto generalizado de una función L.

El ejemplo más sencillo de una función L, y al mismo tiempo la base fundamental para cualquier definición del término función L basada en el trabajo de Leonhard Euler , es la función zeta de Riemann.${\displaystyle \textstyle \zeta }$. ^{[ 4 ]}

Uno de los posibles “objetos aritméticos”${\displaystyle \textstyle f}$En el sentido del enfoque de definición de Iwaniec y Kowalski, al que se puede asignar esta función L, es el campo${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$de los números racionales . Su serie de Dirichlet.

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}\,,}$

eso es

${\displaystyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)=1}$

a pesar de${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$, converge absolutamente para${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$. Junto con su producto de Euler, que también es absolutamente convergente, se cumple lo siguiente para${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \zeta (s)=L(\mathbb {Q} ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}.}$

Dado que todos${\displaystyle \textstyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)}$son reales, es decir, iguales a 1,${\displaystyle \textstyle \zeta (s)}$es autodual. El objeto dual a${\displaystyle \textstyle f=\mathbb {Q} }$Por lo tanto, también es${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$, entonces${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}=\mathbb {Q} }$.

El grado del producto de Euler de la función zeta de Riemann es

${\displaystyle d=1}$.

Para sus parámetros locales en${\displaystyle \textstyle p}$Se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \alpha (\mathbb {Q} ,p)=1}$

a pesar de${\displaystyle \textstyle p\in \mathbb {P} }$. Por lo general, se utiliza el siguiente factor gamma para la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \gamma (\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right).}$

El parámetro local${\displaystyle \textstyle \kappa }$en el infinito es, por lo tanto, 0. El conductor de${\displaystyle \textstyle \zeta }$es

${\displaystyle \textstyle q(\mathbb {Q} )=1}$,

de modo que la función zeta de Riemann completa toma la forma

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s):=\gamma (\mathbb {Q} ,s)L(\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

Esta definición solo es válida para${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$, ya que la función zeta de Riemann puede definirse mediante su serie de Dirichlet o su producto de Euler solo en este semiplano. Sin embargo, la función zeta de Riemann completa tiene una continuación analítica a una función meromorfa en todo el plano complejo. Esta extensión es holomorfa excepto por dos polos simples en${\displaystyle \textstyle s=0}$y${\displaystyle \textstyle s=1}$con residuos de −1 y 1, respectivamente. ^{[ 6 ]} Si también denotamos la función zeta de Riemann continua y completa por${\displaystyle \textstyle \Lambda }$, entonces satisface el número raíz

${\displaystyle \epsilon (\mathbb {Q} )=1}$

la ecuación funcional ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s)=\Lambda (\mathbb {Q} ,1-s).}$

Por lo tanto, la función zeta de Riemann, inicialmente definida solo para${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$a través de su serie de Dirichlet o producto de Euler, ahora tiene una continuación analítica a una función meromorfa en${\displaystyle \mathbb {C} }$, que no está definido solo en${\displaystyle \textstyle s=1}$, puesto que tiene un polo simple con el residuo 1 allí. Si conservamos la notación${\displaystyle \textstyle \zeta }$También para la función zeta de Riemann continua, satisface la ecuación funcional ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).}$

La función zeta de Riemann (extendida analíticamente) plantea una de las preguntas más importantes en la teoría analítica de números: la cuestión de la ubicación exacta de sus llamados ceros no triviales . Estos se encuentran en la “banda crítica”.${\displaystyle \textstyle 0<\Re (s)<1}$La hipótesis de Riemann de 1859, que aún no ha sido probada ni refutada, postula que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de${\displaystyle 1/2}$Una demostración de esta hipótesis permitiría obtener estimaciones particularmente precisas de la distribución de los números primos.

Los parientes más cercanos de la función zeta de Riemann son las funciones L de Dirichlet, que incluyen la función zeta de Riemann como un caso especial. Mientras que en la serie de Dirichlet asociada con la función zeta de Riemann todas${\displaystyle \lambda }$Los coeficientes son iguales a 1; en las funciones L de Dirichlet, estos se definen utilizando un carácter de Dirichlet . Por lo tanto, toman valores complejos con valor absoluto 1 o son iguales a 0. Sea${\displaystyle \textstyle m\in \mathbb {N} }$Sea un número entero y sea${\displaystyle \chi }$ser un carácter de Dirichlet módulo${\displaystyle \textstyle m}$:

${\displaystyle \chi$ :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow S^{1}:=\{z\in \mathbb {C}  :|z|=1\}}

se da, es decir, un homomorfismo de grupo del grupo de elementos que son invertibles con respecto a la multiplicación en el anillo de clases de residuos.${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} /m}$al grupo del círculo${\displaystyle \textstyle S^{1}}$de los números complejos con valor absoluto 1. Tal carácter de Dirichlet${\displaystyle \textstyle \chi }$se llama primitivo y${\displaystyle \textstyle m}$es el generador de${\displaystyle \textstyle \chi }$si no está ya dado por una composición

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Z} /m')^{\times }\;{\stackrel {\chi '}{\longrightarrow }}\;S^{1}}$

Se deriva de un personaje de Dirichlet.${\displaystyle \textstyle \chi '}$módulo${\displaystyle \textstyle m'}$con un divisor propio${\displaystyle \textstyle m'}$de${\displaystyle \textstyle m}$. Utilizando tal carácter de Dirichlet${\displaystyle \textstyle \chi }$, se define el siguiente mapeo, que también se denota por${\displaystyle \textstyle \chi }$y denominado carácter de Dirichlet módulo${\displaystyle \textstyle m}$: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \chi$ :{\text{ }}\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ,{\text{ }}\chi (n)={\begin{cases}\chi (n\operatorname {mod} m)&{\text{si}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)=1\\0&{\text{si}}\quad \operatorname {gcd} (n,m)>1.\end{cases}}}

Los caracteres triviales de Dirichlet${\displaystyle \textstyle \chi ^{0}}$módulo${\displaystyle m}$toma el valor 1 si${\displaystyle \textstyle \operatorname {gcd} (n,m)=1}$y 0 en caso contrario. El carácter trivial de Dirichlet módulo 1 se llama carácter principal. Satisface${\displaystyle \chi (n)=1}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Ahora bien, si${\displaystyle \textstyle \chi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} } es un carácter de Dirichlet primitivo módulo${\displaystyle \textstyle m}$, luego se asigna una función L a este objeto aritmético${\displaystyle \chi }$de la siguiente manera: Con

${\displaystyle \lambda (\chi ,n):=\chi (n)}$

la serie de Dirichlet (también llamada serie L de Dirichlet)

${\displaystyle L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (\chi ,n)}{n^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

para${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$es absoluto. ^{[ 11 ]} Con los parámetros locales para${\displaystyle \textstyle p}$

${\displaystyle \alpha (\chi ,p):=\chi (p)}$

Esto también se cumple para el producto de Euler correspondiente, y tenemos la identidad ^{[ 12 ].}

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$

para${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$. Al igual que con la función zeta de Riemann,

${\displaystyle d=1}$

es el orden del producto de Euler. Si establecemos${\displaystyle \textstyle \kappa =0}$cuando${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=1}$(en este caso,${\displaystyle \textstyle \chi }$se llama “par”), y${\displaystyle \textstyle \kappa =1}$si${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=-1}$(en este caso,${\displaystyle \textstyle \chi }$se llama “extraño”), entonces

${\displaystyle \gamma (\chi ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)}$

el factor gamma asociado con${\displaystyle \textstyle \chi }$. Eso${\displaystyle \textstyle \kappa \in \{0,1\}}$es, por lo tanto, el parámetro local en el punto primo infinito. El líder${\displaystyle \textstyle m}$del carácter primitivo de Dirichlet${\displaystyle \textstyle \chi }$También es el líder de la función L de Dirichlet:

${\displaystyle q(\chi )=m}$.

La función L de Dirichlet completa tiene, por lo tanto, la forma ^{[ 13 ].}

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{\frac {s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)=\left({\frac {m}{\pi }}\right)^{\frac {s}{2}}\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

Una definición que solo es válida para${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$, ya que la serie de Dirichlet utilizada converge solo allí. Sin embargo, dicha función L de Dirichlet completa puede extenderse analíticamente a${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$. Esto da como resultado una función integral si${\displaystyle \textstyle \chi }$es un carácter de Dirichlet no trivial. ^{[ 14 ]} De lo contrario, la función extendida tiene un polo simple en${\displaystyle \textstyle s=1}$con residuo 1. ^{[ 15 ]} El objeto dual a${\displaystyle \textstyle \chi }$es${\displaystyle {\overline {\chi }}}$, es decir, el carácter de Dirichlet obtenido de${\displaystyle \textstyle \chi }$por conjugación compleja de los valores de la función de${\displaystyle \textstyle \chi }$, es decir,

${\displaystyle \textstyle {\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}}$

a pesar de${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$. El número raíz${\displaystyle \textstyle \epsilon (\chi )}$se puede determinar utilizando la suma gaussiana ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{x\operatorname {mod} q(\chi )}\chi (x)\exp(2\pi ix/q(\chi ))}$

donde la suma se extiende sobre todas las clases de residuos módulo el generador${\displaystyle \textstyle q(\chi )=m}$y${\displaystyle \textstyle \pi }$denota el número circular ,${\displaystyle \textstyle i}$denota la unidad imaginaria y${\displaystyle \exp }$denota la función exponencial . Con

${\displaystyle \epsilon (\chi )={\begin{cases}{\frac {\tau (\chi )}{\sqrt {q(\chi )}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=1\\{\frac {\tau (\chi )}{i{\sqrt {q(\chi )}}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=-1\end{cases}}}$

entonces la función L de Dirichlet extendida y completa satisface la ecuación funcional ^{[ 17 ].}

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},1-s).}$

Como lo exige el teorema de la raíz cuadrada,${\displaystyle \textstyle |\epsilon (\chi )|=1}$, desde${\displaystyle \textstyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q(\chi )}}}$. ^{[ 18 ]} Las funciones L de Dirichlet incluyen la función zeta de Riemann, ya que surge del carácter trivial de Dirichlet módulo 1, es decir, el carácter principal. ^{[ 19 ]}

En 1837, el matemático alemán Peter Gustav Dirichlet utilizó las funciones L de Dirichlet, que llevan su nombre, para demostrar el teorema de los números primos de Dirichlet , según el cual en toda secuencia aritmética (también llamada progresión aritmética )

${\displaystyle a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\ldots ,{\text{ with }}\operatorname {gcd} (a,n)=1,}$

dónde${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} }$

Es decir, que en cada clase de residuo${\displaystyle \textstyle a\operatorname {mod} n}$, existen infinitos números primos. ^{[ 20 ] [ 21 ]} El argumento decisivo en la demostración del teorema de los números primos de Dirichlet es la constatación de que${\displaystyle \textstyle \Lambda (\chi ,1)\neq 0}$Se cumple para cada personaje de Dirichlet no trivial.${\displaystyle \textstyle \chi }$. ^{[ 22 ]}

La función zeta de Riemann se define en el campo${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$de números racionales, el cuerpo numérico algebraico más simple. Las funciones L de Dedekind generalizan esta referencia a cuerpos numéricos algebraicos arbitrarios, es decir, extensiones de cuerpos finitos de${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$, como${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$. Dejar${\displaystyle K}$Sea un cuerpo de números algebraicos y sea${\displaystyle n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N} }$sea ​​su grado de extensión sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ser su dominio integral y${\displaystyle d_{K}\in \mathbb {Z} }$su discriminante . Además, dejemos${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} _{0}}$sea ​​el número de incrustaciones reales y${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} _{0}}$el número de pares de incrustaciones complejas de${\displaystyle K}$. De este modo,${\displaystyle n_{K}=n_{1}+2n_{2}}$.

La función L de Dedekind (también conocida como función zeta de Dedekind ) con respecto a${\displaystyle K}$se define para${\displaystyle \Re (s)>1}$por ^{[ 23 ]}

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=L(K,s):=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

En resumen,${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$recorre todos los ideales enteros de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$que son distintos del ideal cero${\displaystyle \{0\}}$.${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N} }$denota la norma absoluta de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$Los coeficientes de la serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}}$

son así ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \lambda (K,n)=\#\{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\mid {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=n\}\in \mathbb {N} _{0}.}$

Por cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, especifican el número de ideales enteros de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$con norma absoluta${\displaystyle n}$. En particular, todos los coeficientes${\displaystyle \lambda (K,n)}$son reales y por lo tanto${\displaystyle L(K,s)}$es autodual. Esa serie de Dirichlet converge absolutamente para${\displaystyle \Re (s)>1}$, al igual que el producto de Euler correspondiente

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

Aquí, el producto abarca todos los ideales primordiales.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$que son distintos del ideal cero. Para${\displaystyle \Re (s)>1}$, se cumple la siguiente identidad ^{[ 25 ]}

${\displaystyle L(K,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

Esta forma del producto de Euler aún no muestra los factores individuales de Euler. ${\displaystyle (1-\alpha _{1}(K,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(K,p)p^{-s})^{-1}}$En cualquier caso, el grado del producto de Euler es igual al grado de la extensión del campo.${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]=n_{K}=n_{1}+2n_{2}.}$

Los parámetros locales${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$dependen del comportamiento de descomposición de los ideales ${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$

cada ideal${\displaystyle (p)}$tiene una “descomposición del ideal primo” que es única hasta el orden de los factores

${\displaystyle (p)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{e_{\mathfrak {p}}}}$

en ideales primordiales${\displaystyle 0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$donde se cumple lo siguiente:${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} _{0}}$y${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$solo para un número finito de ideales primos${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Para como máximo${\displaystyle n_{K}}$ideales primordiales${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$,${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$puede sostener. Tal${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$dividir${\displaystyle (p)}$y escribimos${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$El exponente${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}}$en la descomposición del ideal primo de${\displaystyle (p)}$se llama índice de ramificación de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$encima${\displaystyle p}$. Si${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$, entonces ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})=p^{f_{\mathfrak {p}}}}$ para algunos${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} }$, que se denomina índice de inercia de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$encima${\displaystyle p}$. Por cada${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, los índices de ramificación e inercia asociados con el ideal${\displaystyle (p)}$satisfacen la siguiente relación con respecto al grado de${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$:

${\displaystyle \sum _{{\mathfrak {p}}|(p)}e_{\mathfrak {p}}f_{\mathfrak {p}}=n_{K}.}$

Utilizando el conocimiento de los índices de inercia para cada${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$los parámetros locales${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$Ahora se puede determinar, concretamente a través de los factores${\displaystyle (1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1}}$en la identidad ^{[ 27 ]}

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\;\prod _{{\mathfrak {p}}|(p)}(1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1},}$

factorizando los polinomios${\displaystyle X^{f_{\mathfrak {p}}}-1}$en el anillo de polinomios${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$.

El factor gamma con respecto a${\displaystyle L(K,s)}$es ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \gamma (K,s)=\pi ^{-{\frac {s\cdot n_{K}}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}.}$

El valor del discriminante de${\displaystyle K}$es el director de${\displaystyle L(K,s)}$: ^{[ 29 ]}

${\displaystyle q(K)=|d_{K}|.}$

Por lo tanto, la función L completa de${\displaystyle K}$para${\displaystyle \Re (s)>1}$es dado por

${\displaystyle \Lambda (K,s):=q(K)^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)\,L(K,s)=\left({\frac {|d_{K}|}{\pi ^{n_{K}}}}\right)^{\frac {s}{2}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}\,\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

Esta función tiene una continuación analítica al plano complejo con polos simples en${\displaystyle s=0}$y${\displaystyle s=1}$y residuos de allí${\displaystyle -{\frac {2^{r}hR}{w}}}$y${\displaystyle {\frac {2^{r}hR}{w}}}$, respectivamente. Aquí,${\displaystyle r=n_{1}+n_{2}}$es el número de dígitos infinitos,${\displaystyle h\in \mathbb {N} }$es el número de clase ,${\displaystyle R\in \mathbb {R} }$es el regulador de${\displaystyle K}$, y${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$es el número de raíces unitarias en${\displaystyle K}$. ^{[ 30 ]}

Las funciones L de Dedekind siempre tienen una raíz de 1: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \epsilon (K)=1.}$

Por lo tanto, la función L completa y analíticamente extendida de${\displaystyle K}$satisface la ecuación funcional ^{[ 32 ]}

${\displaystyle \Lambda (K,s)=\Lambda (K,1-s).}$

La función extendida analíticamente${\displaystyle \Lambda (K,s)}$ahora también permite la extensión analítica de${\displaystyle L(K,s)}$, es decir, a través de la definición ^{[ 33 ]}

${\displaystyle L(K,s):={\frac {\Lambda (K,s)}{|d_{k}|^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)}}=\left({\frac {\pi ^{n_{K}}}{|d_{K}|}}\right)^{\frac {s}{2}}\cdot {\frac {\Lambda (K,s)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}}}.}$

Esto hace que${\displaystyle L(K,s)}$una función meromorfa en${\displaystyle \mathbb {C} }$con un simple poste en${\displaystyle s=1}$Una de sus propiedades fascinantes es la llamada fórmula del número de clase analítica , según la cual el residuo de${\displaystyle L(K,s)}$en${\displaystyle s=1}$adopta la siguiente forma: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle \operatorname {Res} _{s=1}\,L(K,s)={\frac {2^{n_{1}}(2\pi )^{n_{2}}}{w{\sqrt {|d_{K}|}}}}\,hR.}$