Función L p-ádica

En matemáticas , una función zeta p -ádica , o más generalmente, una función L -ádica p , es una función análoga a la función zeta de Riemann , o más generalmente a las funciones L , pero cuyo dominio y objetivo son p-ádicos (donde p es un número primo ). Por ejemplo, el dominio podría ser los números enteros p -ádicos Z _p , un p -grupo profinito o una familia p -ádica de representaciones de Galois , y la imagen podría ser los números p -ádicos Q _p o su clausura algebraica .

La fuente de una función L p -ádica tiende a ser de uno de dos tipos. La primera fuente, de la que Tomio Kubota y Heinrich-Wolfgang Leopoldt dieron la primera construcción de una función L p -ádica (Kubota y Leopoldt 1964), es a través de la interpolación p -ádica de valores especiales de funciones L. Por ejemplo, Kubota-Leopoldt utilizó las congruencias de Kummer para los números de Bernoulli para construir una función L p -ádica , la función zeta p- ádica de Riemann ζ _p ( s ), cuyos valores en números enteros impares negativos son los de la función zeta de Riemann en números enteros impares negativos (hasta un factor de corrección explícito). Las funciones L p -ádicas que surgen de esta manera se denominan típicamente funciones L p -ádicas analíticas . La otra fuente principal de funciones L p -ádicas —descubierta por primera vez por Kenkichi Iwasawa— proviene de la aritmética de campos ciclotómicos o, de manera más general, de ciertos módulos de Galois sobre torres de campos ciclotómicos o incluso torres más generales. Una función L p -ádica que surge de esta manera se denomina típicamente función L p -ádica aritmética , ya que codifica datos aritméticos del módulo de Galois involucrado. La conjetura principal de la teoría de Iwasawa (ahora un teorema debido a Barry Mazur y Andrew Wiles ) es la afirmación de que la función L p -ádica de Kubota-Leopoldt y un análogo aritmético construido por la teoría de Iwasawa son esencialmente lo mismo. En situaciones más generales donde se construyen (o esperan) funciones L p -ádicas tanto analíticas como aritméticas , la afirmación de que concuerdan se denomina conjetura principal de la teoría de Iwasawa para esa situación. Estas conjeturas representan declaraciones formales sobre la filosofía de que los valores especiales de las funciones L contienen información aritmética.

La función L de Dirichlet viene dada por la continuación analítica de

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}$

La función L de Dirichlet en números enteros negativos viene dada por

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}$

donde B _{n ,χ} es un número de Bernoulli generalizado definido por

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}$

para χ un carácter de Dirichlet con conductor f .

La función L p -ádica de Kubota–Leopoldt L _p ( s , χ) interpola la función L de Dirichlet con el factor de Euler en p eliminado. Más precisamente, L _p ( s , χ) es la única función continua del número p -ádico s tal que

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )}$

para enteros positivos n divisibles por p  − 1. El lado derecho es simplemente la función L de Dirichlet habitual , excepto que se elimina el factor de Euler en p , de lo contrario no sería p -ádicamente continua. La continuidad del lado derecho está estrechamente relacionada con las congruencias de Kummer .

Cuando n no es divisible por p  − 1 esto no suele cumplirse; en cambio

${\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \ omega^{-n})}$

para números enteros positivos n . Aquí χ está torcido por una potencia del carácter de Teichmüller ω.

Las funciones L p -ádicas también pueden considerarse como medidas p -ádicas (o distribuciones p -ádicas ) en grupos de Galois p -profinitos. La traducción entre este punto de vista y el punto de vista original de Kubota-Leopoldt (como Q funciones _p -valuadas en Z _p ) se realiza a través de la transformada de Mazur-Mellin (y la teoría de campos de clases ).

Deligne y Ribet (1980), basándose en trabajos previos de Serre (1973), construyeron funciones L analíticas p -ádicas para cuerpos totalmente reales. Independientemente, Barsky (1978) y Cassou-Noguès (1979) hicieron lo mismo, pero sus enfoques siguieron el enfoque de Takuro Shintani para el estudio de los valores L.

• Barsky, Daniel (1978), "Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels", en Amice, Y .; Barskey, D.; Robba, P. (eds.), Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e año: 1977/78) , vol. 16, París: Secretaría de Matemáticas., ISBN 978-2-85926-266-2, Sr.  0525346
• Cassou-Noguès, Pierrette (1979), "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae , 51 (1): 29–59, doi :10.1007/BF01389911, ISSN  0020-9910, SEÑOR  0524276
• Coates, John (1989), "Sobre las funciones L p-ádicas", Astérisque (177): 33–59, ISSN  0303-1179, MR  1040567
• Colmez, Pierre (2004), Anillos de Fontaine y funciones L p-ádicas (PDF)
• Deligne, Pierre ; Ribet, Kenneth A. (1980), "Valores de funciones L abelianas en números enteros negativos sobre cuerpos totalmente reales", Inventiones Mathematicae , 59 (3): 227–286, Bibcode :1980InMat..59..227D, doi :10.1007/BF01453237, ISSN  0020-9910, MR  0579702
• Iwasawa, Kenkichi (1969), "Sobre las funciones L p-ádicas", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 89 (1), Anales de Matemáticas: 198–205, doi :10.2307/1970817, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970817, MR  0269627
• Iwasawa, Kenkichi (1972), Conferencias sobre funciones L pádicas , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08112-0, Sr.  0360526
• Katz, Nicholas M. (1975), "Funciones L p-ádicas mediante módulos de curvas elípticas", Geometría algebraica , Proc. Sympos. Pure Math., vol. 29, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 479–506, MR  0432649
• Koblitz, Neal (1984), Números p-ádicos, análisis p-ádicos y funciones zeta , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 58, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3, Sr.  0754003
• Kubota, Tomio ; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 214/215: 328–339, doi :10.1515 /crll.1964.214-215.328, ISSN  0075-4102, SEÑOR  0163900
• Serre, Jean-Pierre (1973), "Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques", en Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre (eds.), Funciones modulares de una variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972) , Lecture Notes in Math, vol. 350, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 191–268, doi :10.1007/978-3-540-37802-0_4, ISBN 978-3-540-06483-1, Sr.  0404145