Función completa

En análisis complejo , una función entera , también llamada función integral , es una función de valores complejos que es holomorfa en todo el plano complejo . Ejemplos típicos de funciones enteras son los polinomios y la función exponencial , y cualquier suma, producto y composición finita de estos, como las funciones trigonométricas seno y coseno y sus contrapartes hiperbólicas sinh y cosh , así como derivadas e integrales de funciones enteras como la función de error . Si una función entera${\displaystyle f(z)}$tiene una raíz en ⁠${\displaystyle w}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle f(z)/(zw)}$⁠ , tomando el valor límite en ⁠${\displaystyle w}$⁠ , es una función entera. Por otro lado, el logaritmo natural , la función recíproca y la raíz cuadrada no son funciones enteras, ni pueden extenderse analíticamente a una función entera.

Una función entera trascendental es una función entera que no es un polinomio.

Así como las funciones meromorfas pueden considerarse una generalización de las funciones racionales , las funciones enteras pueden considerarse una generalización de los polinomios. En particular, si para las funciones meromorfas se puede generalizar la factorización en fracciones simples (el teorema de Mittag-Leffler sobre la descomposición de una función meromorfa), entonces para las funciones enteras existe una generalización de la factorización: el teorema de Weierstrass sobre funciones enteras.

Cada función completa${\displaystyle f(z)}$puede representarse como una única serie de potencias : $${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$ que converge en todas partes en el plano complejo, por lo tanto uniformemente en conjuntos compactos . El radio de convergencia es infinito, lo que implica que $${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\ }$$ o, equivalentemente, ^{[ a ]}$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$ Cualquier serie de potencias que satisfaga este criterio representará una función completa.

Si (y solo si) los coeficientes de la serie de potencias son todos reales, entonces la función evidentemente toma valores reales para argumentos reales, y el valor de la función en el conjugado complejo de${\displaystyle z}$será el conjugado complejo del valor en ⁠${\displaystyle z}$⁠ . Estas funciones a veces se denominan autoconjugadas (la función conjugada, ⁠${\displaystyle F^{*}(z)}$⁠ , siendo dado por ⁠${\displaystyle {\bar {F}}({\bar {z}})}$⁠ ). ^{[ 1 ]}

Si se conoce la parte real de una función completa en un entorno (complejo) de un punto, entonces se conocen tanto la parte real como la imaginaria para todo el plano complejo, salvo una constante imaginaria. Por ejemplo, si se conoce la parte real en un entorno de cero, entonces podemos hallar los coeficientes para${\displaystyle n>0}$a partir de las siguientes derivadas con respecto a una variable real${\displaystyle r}$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Re (a_{n})&={\frac {1}{n!}}\left.{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}r^{n}}}\ \Re (f(r))\right|_{r=0}\\\Im (a_{n})&={\frac {1}{n!}}\left.{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}r^{n}}}\Re {\Bigl (}f{\Bigl (}re^{-{\frac {i\pi }{2n}}}{\Bigr )}{\Bigr )}\right|_{r=0}\end{aligned}}}$$

(Asimismo, si se conoce la parte imaginaria en tal vecindad, entonces la función está determinada salvo una constante real). De hecho, si se conoce la parte real solo en un arco de círculo, entonces la función está determinada salvo una constante imaginaria. ^{[ b ]} Sin embargo, tenga en cuenta que una función completa no está necesariamente determinada por su parte real en otras curvas. En particular, si se conoce la parte real en cualquier curva del plano complejo donde la parte real de otra función completa es cero, entonces cualquier múltiplo de esa función se puede sumar a la función que estamos tratando de determinar. Por ejemplo, si la curva donde se conoce la parte real es la recta real, entonces podemos sumar${\displaystyle i}$veces cualquier función autoconjugada. Si la curva forma un bucle, entonces está determinada por la parte real de la función en el bucle, ya que las únicas funciones cuya parte real es cero en la curva son aquellas que son iguales en todas partes a algún número imaginario .

El teorema de factorización de Weierstrass afirma que cualquier función completa puede representarse mediante un producto que involucre sus ceros (o "raíces").

Todas las funciones en el plano complejo forman un dominio de integridad (de hecho, un dominio de Prüfer ). También forman un álgebra asociativa unitaria conmutativa sobre los números complejos .

El teorema de Liouville establece que cualquier función entera acotada debe ser constante. ^{[ c ]}

Como consecuencia del teorema de Liouville, cualquier función que sea entera en toda la esfera de Riemann ^{[ d ]} es constante. Por lo tanto, cualquier función entera no constante debe tener una singularidad en el punto complejo en el infinito , ya sea un polo para un polinomio o una singularidad esencial para una función entera trascendental . Específicamente, por el teorema de Casorati-Weierstrass , para cualquier función entera trascendental${\displaystyle f}$y cualquier complejo${\displaystyle w}$Hay una secuencia${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$de tal manera que

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{y}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

El pequeño teorema de Picard es un resultado mucho más fuerte: Cualquier función entera no constante toma como valor cualquier número complejo, posiblemente con una sola excepción. Cuando existe una excepción, se le llama valor lacunar de la función. La posibilidad de un valor lacunar se ilustra con la función exponencial , que nunca toma el valor ⁠${\displaystyle 0}$⁠ . Se puede tomar una rama adecuada del logaritmo de una función completa que nunca toca ⁠${\displaystyle 0}$⁠ , de modo que también será una función completa (según el teorema de factorización de Weierstrass ). El logaritmo alcanza todos los números complejos excepto posiblemente uno, lo que implica que la primera función alcanzará cualquier valor distinto de${\displaystyle 0}$un número infinito de veces. De manera similar, una función completa no constante que no alcanza un valor en particular alcanzará todos los demás valores un número infinito de veces.

El teorema de Liouville es un caso especial de la siguiente afirmación:

Las funciones completas pueden crecer tan rápido como cualquier función creciente: para cualquier función creciente${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$existe toda una función${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$para todos los reales${\displaystyle x}$⁠ . Dicha función${\displaystyle f}$se puede encontrar fácilmente con el siguiente formato: $${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$ por una constante${\displaystyle c}$y una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos .${\displaystyle n_{k}}$Cualquier secuencia de este tipo define una función completa .${\displaystyle f(z)}$y si las potencias se eligen adecuadamente podemos satisfacer la desigualdad${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$para todos los reales${\displaystyle x}$⁠ . (Por ejemplo, ciertamente se cumple si uno elige${\displaystyle c:=g(2)}$y, para cualquier entero${\displaystyle k\geq 1}$uno elige un exponente par${\displaystyle n_{k}}$de tal manera que ${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$⁠ ).

El orden (en el infinito) de una función completa${\displaystyle f(z)}$se define utilizando el límite superior como: $${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$ dónde${\displaystyle B_{r}}$es el disco de radio${\displaystyle r}$y${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$denota la norma suprema de${\displaystyle f(z)}$en​${\displaystyle B_{r}}$⁠ . El orden es un número real no negativoo infinito (excepto cuando${\displaystyle f(z)=0}$para todos${\displaystyle z}$⁠ ). En otras palabras, el orden de${\displaystyle f(z)}$es el ínfimo de todos${\displaystyle m}$de tal manera que: $${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

El ejemplo de${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$muestra que esto no significa${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$si ${\displaystyle f(z)}$es de orden${\displaystyle m}$.​

Si​${\displaystyle 0<\rho <\infty }$⁠ , también se puede definir el tipo : $${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

Si el orden es 1 y el tipo es ⁠${\displaystyle \sigma }$Se dice que la función es "de tipo exponencial ".${\displaystyle \sigma }$⁠ ". Si es de orden menor que 1, se dice que es de tipo exponencial 0.

Si$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$Entonces, el orden y el tipo se pueden encontrar mediante las fórmulas. $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

Dejar${\displaystyle f^{(n)}}$denotan el${\displaystyle n}$⁠ derivada de ⁠${\displaystyle f}$Entonces podemos reescribir estas fórmulas en términos de las derivadas en cualquier punto arbitrario .${\displaystyle z_{0}}$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

El tipo puede ser infinito, como en el caso de la función gamma recíproca , o cero (véase el ejemplo a continuación en el §  Orden 1 ).

Otra forma de averiguar el orden y el tipo es mediante el teorema de Matsaev .

Las funciones enteras de orden finito tienen la representación canónica de Hadamard ( teorema de factorización de Hadamard ): $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$ dónde${\displaystyle z_{k}}$son esas raíces de${\displaystyle f}$que no son cero ( ⁠${\displaystyle z_{k}\neq 0}$⁠ ),${\displaystyle m}$es el orden del cero de${\displaystyle f}$en${\displaystyle z=0}$(el caso${\displaystyle m=0}$ser tomado en el sentido de${\displaystyle f(0)\neq 0}$⁠ ),${\displaystyle P}$un polinomio (cuyo grado llamaremos${\displaystyle q}$), y${\displaystyle p}$es el entero no negativo más pequeño tal que la serie $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$ converge. El entero no negativo${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$se denomina género de la función completa${\displaystyle f}$.​

Si el pedido${\displaystyle \rho }$si no es un número entero, entonces${\displaystyle g=\lfloor \rho \rfloor }$es la parte entera de${\displaystyle \rho }$Si el orden es un número entero positivo, entonces hay dos posibilidades:${\displaystyle g=\rho -1}$o​${\displaystyle g=\rho }$.​

Por ejemplo ,${\displaystyle \sin }$⁠ ,${\displaystyle \cos }$y${\displaystyle \exp }$son funciones completas del género${\displaystyle g=\rho =1}$.​

Según JE Littlewood , la función sigma de Weierstrass es una función entera "típica". Esta afirmación se puede precisar en la teoría de funciones enteras aleatorias: el comportamiento asintótico de casi todas las funciones enteras es similar al de la función sigma. Otros ejemplos incluyen las integrales de Fresnel , la función theta de Jacobi y la función gamma recíproca . La función exponencial y la función de error son casos especiales de la función de Mittag-Leffler . Según el teorema fundamental de Paley y Wiener , las transformadas de Fourier de funciones (o distribuciones) con soporte acotado son funciones enteras de orden${\displaystyle 1}$y de tipo finito.

Otros ejemplos son las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinómicos. Si el coeficiente de la derivada de mayor grado es constante, entonces todas las soluciones de dichas ecuaciones son funciones enteras. Por ejemplo, la función exponencial, el seno, el coseno, las funciones de Airy y las funciones del cilindro parabólico surgen de esta manera. La clase de funciones enteras es cerrada con respecto a composiciones. Esto permite estudiar la dinámica de las funciones enteras .

Una función entera de la raíz cuadrada de un número complejo es entera si la función original es par , por ejemplo${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$.​

Si una sucesión de polinomios cuyas raíces son todas reales converge en un entorno del origen a un límite que no es idénticamente igual a cero, entonces este límite es una función entera. Dichas funciones enteras forman la clase de Laguerre-Pólya , que también puede caracterizarse en términos del producto de Hadamard, a saber:${\displaystyle f}$pertenece a esta clase si y solo si en la representación de Hadamard todos${\displaystyle z_{n}}$son reales ,${\displaystyle \rho \leq 1}$y​ ​${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$, donde${\displaystyle b}$y${\displaystyle c}$son reales, y${\displaystyle c\leq 0}$Por ejemplo , la secuencia de polinomios $${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$ converge, como${\displaystyle n}$aumenta, a${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$⁠ . Los polinomios $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$ todas tienen raíces reales y convergen a${\displaystyle \cos(z)}$⁠ . Los polinomios $${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$ también convergen a${\displaystyle \cos(z)}$⁠ , mostrando la acumulación del producto de Hadamard para el coseno.

• La fórmula de Jensen
• Teorema de Carlson
• Tipo exponencial
• Teorema de Paley-Wiener
• Teoría de Wiman-Valiron