Teorema de factorización de Hadamard

En matemáticas , y particularmente en el campo del análisis complejo , el teorema de factorización de Hadamard afirma que toda función entera de orden finito puede representarse como un producto de sus raíces y la exponencial de un polinomio. Recibe su nombre de Jacques Hadamard .

Este teorema puede considerarse una extensión del teorema fundamental del álgebra , que afirma que todo polinomio puede factorizarse en factores lineales, uno por cada raíz. Está estrechamente relacionado con el teorema de factorización de Weierstrass , que no se limita a funciones enteras de orden finito.

Defina los factores canónicos de Hadamard$${\displaystyle E_{n}(z):=(1-z)\prod _{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}}$$Funciones enteras de orden finito${\displaystyle \rho }$tener la representación canónica de Hadamard : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{Q(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n})}$$dónde${\displaystyle a_{k}}$son esas raíces de${\displaystyle f}$que no son cero (${\displaystyle a_{k}\neq 0}$),${\displaystyle m}$es el orden del cero de${\displaystyle f}$en${\displaystyle z=0}$(el caso${\displaystyle m=0}$ser tomado para significa${\displaystyle f(0)\neq 0}$),${\displaystyle Q}$un polinomio (cuyo grado llamaremos${\displaystyle q}$), y${\displaystyle p}$es el entero no negativo más pequeño tal que la serie$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$converge. El entero no negativo${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$se denomina el género de toda la función${\displaystyle f}$. En esta notación,$${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$En otras palabras: Si el pedido${\displaystyle \rho }$no es un número entero, entonces${\displaystyle g=[\rho ]}$es la parte entera de${\displaystyle \rho }$Si el orden es un número entero positivo, entonces hay dos posibilidades:${\displaystyle g=\rho -1}$o${\displaystyle g=\rho }$.

Por ejemplo,${\displaystyle \sin }$,${\displaystyle \cos }$y${\displaystyle \exp }$son funciones enteras del género${\displaystyle g=\rho =1}$.

Defina el exponente de convergencia de las raíces de${\displaystyle f}$como sigue: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \alpha$$ :=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log N(f,r)}{\log r}}} donde${\displaystyle N(f,r)}$es el número de raíces con módulo${\displaystyle <r}$En otras palabras, tenemos una cota asintótica para el comportamiento de crecimiento del número de raíces de la función:$${\displaystyle \forall \epsilon >0\quad N(f,r)\ll r^{\alpha +\epsilon },{\text{ y existe una sucesión }}r_{k}{\text{ tal que }}N(f,r_{k})>r_{k}^{\alpha -\epsilon }}$$Está claro que${\displaystyle \alpha \geq 0}$.

Teorema: ^{[ 3 ]} Si${\displaystyle f}$es una función entera con infinitas raíces, entonces$${\displaystyle \alpha =\inf \left\{\beta$$ :\sum _{k}|a_{k}|^{-\beta }<\infty \right\}=\limsup _{k\to \infty }{\frac {\log k}{\log |a_{k}|}}} Nota: Estas dos igualdades se refieren exclusivamente al comportamiento límite de unasecuencia de números reales .${\displaystyle |a_{1}|\leq |a_{2}|\leq \cdots }$que diverge hasta el infinito. No implica análisis complejo.

Proposición: ^{[ 2 ]}${\displaystyle \alpha (f)\leq \rho }$, según la fórmula de Jensen .

Con la factorización de Hadamard podemos demostrar algunos casos especiales del pequeño teorema de Picard .

Teorema: ^{[ 4 ]} Si${\displaystyle f}$Si es entero, no constante y tiene un orden finito, entonces asume todo el plano complejo o el plano menos un solo punto.

Prueba: Si${\displaystyle f}$no asume valor${\displaystyle z_{0}}$, luego por factorización de Hadamard,${\displaystyle f(z)-z_{0}=e^{Q(z)}}$para un polinomio no constante${\displaystyle Q}$. Por el teorema fundamental del álgebra ,${\displaystyle Q}$asume todos los valores, por lo tanto${\displaystyle f(z)-z_{0}}$asume todos los valores distintos de cero.

Teorema: ^{[ 4 ]} Si${\displaystyle f}$es entera, no constante y tiene un orden finito y no entero.${\displaystyle \rho }$, entonces asume todo el plano complejo infinitas veces.

Prueba: Para cualquier${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$Basta con demostrarlo${\displaystyle f(z)-w}$tiene infinitas raíces. Expandir${\displaystyle f(z)-w}$a su representación de Hadamard${\displaystyle f(z)-w=e^{Q(z)}z^{m}\prod _{k}E_{p}(z/a_{k})}$Si el producto es finito, entonces${\displaystyle \rho =g}$es un número entero.

La demostración que sigue a continuación se basa en el tratamiento que Conway da al teorema de factorización de Hadamard. ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle f}$ser una función entera de orden finito${\displaystyle \rho }$. Si${\displaystyle f}$tiene un orden cero${\displaystyle m}$en el origen, escribe

${\displaystyle f(z)=z^{m}f_{0}(z),}$

dónde${\displaystyle f_{0}}$es entero y${\displaystyle f_{0}(0)\neq 0}$Multiplicar por una constante distinta de cero no afecta al orden, por lo que basta con demostrar el teorema bajo la normalización.${\displaystyle f(0)=1}$. El factor${\displaystyle z^{m}}$Luego se puede restaurar al final.

Dejar${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$sean los ceros no nulos de${\displaystyle f}$, repetido según la multiplicidad y ordenado de manera que

${\displaystyle |a_{1}|\leq |a_{2}|\leq \cdots .}$

Dejar${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$El primer paso es demostrar que la sucesión cero tiene un exponente de convergencia como máximo${\displaystyle \rho }$y en particular que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{-p-1}<\infty .}$

En efecto, dejemos${\displaystyle n(r)}$denota el número de ceros de${\displaystyle f}$en${\displaystyle |z|<r}$, contado con multiplicidad. Mediante la fórmula de Jensen , se obtiene una estimación de la forma

${\displaystyle n(r)\log 2\leq \log M(2r),}$

dónde

${\displaystyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|.}$

Desde${\displaystyle f}$tiene orden${\displaystyle \rho }$, por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$y todos suficientemente grandes${\displaystyle r}$,

${\displaystyle \log M(r)\leq r^{\rho +\varepsilon }.}$

Elegir${\displaystyle \varepsilon >0}$tan pequeño que${\displaystyle \rho +\varepsilon <p+1}$De ello se deduce que

${\displaystyle n(r)=O(r^{\rho +\varepsilon }).}$

Desde${\displaystyle k\leq n(|a_{k}|)}$esto da

${\displaystyle |a_{k}|\geq Ck^{1/(\rho +\varepsilon )}}$

para todos suficientemente grandes${\displaystyle k}$y alguna constante${\displaystyle C>0}$. Por lo tanto

${\displaystyle |a_{k}|^{-p-1}\leq C'k^{-(p+1)/(\rho +\varepsilon )},}$

y el exponente de la derecha es mayor que${\displaystyle 1}$. Por eso

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{-p-1}<\infty .}$

En consecuencia, el producto canónico

${\displaystyle P(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n})}$

converge localmente de forma uniforme y define una función entera cuyos ceros son precisamente los ceros.${\displaystyle a_{n}}$, con las mismas multiplicidades. Por lo tanto

${\displaystyle F(z)={\frac {f(z)}{P(z)}}}$

es una función entera libre de ceros. Dado que el plano complejo es simplemente conexo, existe una función entera.${\displaystyle g}$de tal manera que

${\displaystyle F(z)=e^{g(z)}.}$

Por eso

${\displaystyle f(z)=e^{g(z)}P(z).}$

Queda por demostrar que${\displaystyle g}$es un polinomio de grado como máximo${\displaystyle p}$Para ello, Conway utiliza el siguiente lema de derivada logarítmica.

Lema. Si${\displaystyle f}$es una función entera de orden finito${\displaystyle \rho }$,${\displaystyle f(0)\neq 0}$, y${\displaystyle p}$es un número entero con${\displaystyle p>\rho -1}$, entonces, lejos de los ceros de${\displaystyle f}$,

${\displaystyle {\frac {d^{p}}{dz^{p}}}\left({\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)=-p!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{n}-z)^{p+1}}}.}$

En el presente caso${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$, entonces${\displaystyle p>\rho -1}$. Aplicando el lema a${\displaystyle f}$da

${\displaystyle {\frac {d^{p}}{dz^{p}}}\left({\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)=-p!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{n}-z)^{p+1}}}.}$

Por otro lado, dado que${\displaystyle f=e^{g}P}$,

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}=g'+{\frac {P'}{P}}.}$

Para un único factor elemental,

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log E_{p}(z/a)=-{\frac {1}{a-z}}+\sum _{j=1}^{p}{\frac {z^{j-1}}{a^{j}}}.}$

Después de diferenciar${\displaystyle p}$veces, la parte polinómica desaparece y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {d^{p}}{dz^{p}}}\left({\frac {P'}{P}}\right)=-p!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{n}-z)^{p+1}}}.}$

Comparando las dos fórmulas se obtiene

${\displaystyle g^{(p+1)}(z)=0.}$

Por lo tanto${\displaystyle g}$es un polinomio de grado como máximo${\displaystyle p}$.

Restableciendo el cero en el origen, se obtiene

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{Q(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n}),}$

dónde${\displaystyle Q}$es un polinomio de grado como máximo${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$. Por lo tanto, el género de${\displaystyle f}$es finito y es como máximo${\displaystyle \rho }$Este es el teorema de factorización de Hadamard.