Factorización

En matemáticas , la factorización (o factorización , véanse las diferencias ortográficas en inglés ) consiste en escribir un número u otro objeto matemático como producto de varios factores , generalmente objetos más pequeños o más simples del mismo tipo. Por ejemplo, 3 × 5 es una factorización entera de 15 , y ( x − 2)( x + 2) es una factorización polinómica de x² ⁻ 4 .

La factorización no suele considerarse significativa dentro de los sistemas numéricos que poseen división , como los números reales o complejos , ya que cualquier${\displaystyle x}$se puede escribir trivialmente como${\displaystyle (xy)\times (1/y)}$cuando sea${\displaystyle y}$no es cero. Sin embargo, se puede obtener una factorización significativa para un número racional o una función racional escribiéndolo en su mínima expresión y factorizando por separado su numerador y su denominador.

La factorización fue considerada por primera vez por los matemáticos griegos antiguos en el caso de los números enteros. Demostraron el teorema fundamental de la aritmética , que afirma que todo entero positivo puede factorizarse en un producto de números primos , el cual no puede factorizarse a su vez en enteros mayores que 1. Además, esta factorización es única salvo por el orden de los factores. Si bien la factorización de enteros es una especie de operación inversa a la multiplicación, es mucho más difícil algorítmicamente , un hecho que se aprovecha en el sistema criptográfico RSA para implementar la criptografía de clave pública .

La factorización de polinomios también se ha estudiado durante siglos. En álgebra elemental , factorizar un polinomio reduce el problema de encontrar sus raíces a encontrar las raíces de sus factores. Los polinomios con coeficientes enteros o en un cuerpo poseen la propiedad de factorización única , una versión del teorema fundamental de la aritmética con números primos reemplazados por polinomios irreducibles . En particular, un polinomio univariado con coeficientes complejos admite una factorización única (salvo orden) en polinomios lineales : esta es una versión del teorema fundamental del álgebra . En este caso, la factorización se puede realizar con algoritmos de búsqueda de raíces . El caso de los polinomios con coeficientes enteros es fundamental para el álgebra computacional . Existen algoritmos computacionales eficientes para calcular factorizaciones (completas) dentro del anillo de polinomios con coeficientes racionales (véase factorización de polinomios ).

Un anillo conmutativo que posee la propiedad de factorización única se denomina dominio de factorización única . Existen sistemas numéricos , como ciertos anillos de enteros algebraicos , que no son dominios de factorización única. Sin embargo, los anillos de enteros algebraicos satisfacen la propiedad más débil de los dominios de Dedekind : los ideales se factorizan de forma única en ideales primos .

La factorización también puede referirse a descomposiciones más generales de un objeto matemático en el producto de objetos más pequeños o simples. Por ejemplo, toda función puede factorizarse en la composición de una función sobreyectiva con una función inyectiva . Las matrices poseen muchos tipos de factorizaciones matriciales . Por ejemplo, toda matriz tiene una factorización LUP única como producto de una matriz triangular inferior L con todas las entradas diagonales iguales a uno, una matriz triangular superior U y una matriz de permutación P ; esta es una formulación matricial de la eliminación gaussiana .

Según el teorema fundamental de la aritmética , todo número entero mayor que 1 tiene una factorización única (salvo el orden de los factores) en números primos , que son aquellos números enteros que no pueden factorizarse más en el producto de números enteros mayores que uno.

Para calcular la factorización de un entero n , se necesita un algoritmo para encontrar un divisor q de n o determinar si n es primo. Cuando se encuentra dicho divisor, la aplicación repetida de este algoritmo a los factores q y n / q da finalmente la factorización completa de n . ^{[ 1 ]}

Para encontrar un divisor q de n , si lo hay, basta con probar todos los valores de q tales que 1 < q y q ² ≤ n . De hecho, si r es un divisor de n tal que r ² > n , entonces q = n / r es un divisor de n tal que q ² ≤ n .

Si se prueban los valores de q en orden ascendente, el primer divisor que se encuentra es necesariamente un número primo, y el cofactor r = n / q no puede tener ningún divisor menor que q . Para obtener la factorización completa, basta con continuar el algoritmo buscando un divisor de r que no sea menor que q ni mayor que √ r .

No es necesario comprobar todos los valores de q para aplicar el método. En principio, basta con comprobar solo los divisores primos. Para ello, se necesita una tabla de números primos que se puede generar, por ejemplo, con la criba de Eratóstenes . Como el método de factorización realiza esencialmente el mismo trabajo que la criba de Eratóstenes, generalmente es más eficiente comprobar si un divisor es aquel número del que no está claro de inmediato si es primo o no. Normalmente, se puede proceder comprobando 2, 3, 5 y los números mayores que  5, cuyo último dígito es 1, 3, 7, 9 y cuya suma de dígitos no es múltiplo de 3.

Este método funciona bien para factorizar números enteros pequeños, pero es ineficiente para números enteros más grandes. Por ejemplo, Pierre de Fermat no pudo descubrir que el sexto número de Fermat

${\displaystyle 1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297}$

no es un número primo. De hecho, aplicar el método anterior requeriría más de10 000  divisiones , para un número que tiene 10 dígitos decimales . 

Existen algoritmos de factorización más eficientes. Sin embargo, siguen siendo relativamente ineficientes, ya que, con la tecnología actual, ni siquiera con los ordenadores más potentes se puede factorizar un número de 500 dígitos decimales que sea producto de dos números primos elegidos al azar. Esto garantiza la seguridad del sistema criptográfico RSA , ampliamente utilizado para la comunicación segura en internet .

La manipulación de expresiones es la base del álgebra . La factorización es uno de los métodos más importantes para la manipulación de expresiones por varias razones. Si se puede expresar una ecuación en forma factorizada E ⋅ F = 0 , entonces el problema de resolver la ecuación se divide en dos problemas independientes (y generalmente más fáciles): E = 0 y F = 0. Cuando una expresión se puede factorizar, los factores suelen ser mucho más simples y, por lo tanto, pueden ofrecer alguna información sobre el problema. Por ejemplo,

${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc}$

que tiene 16 multiplicaciones, 4 restas y 3 sumas, se puede factorizar en la expresión mucho más simple

${\displaystyle (xa)(xb)(xc),}$

con solo dos multiplicaciones y tres restas. Además, la forma factorizada proporciona inmediatamente las raíces x = a , b , c como raíces del polinomio.

Por otro lado, la factorización no siempre es posible, y cuando lo es, los factores no siempre son más simples. Por ejemplo,${\displaystyle x^{10}-1}$puede descomponerse en dos factores irreducibles${\displaystyle x-1}$y${\displaystyle x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1}$.

Se han desarrollado diversos métodos para encontrar factorizaciones; algunos se describen a continuación .

La resolución de ecuaciones algebraicas puede considerarse un problema de factorización de polinomios . De hecho, el teorema fundamental del álgebra se puede enunciar de la siguiente manera: todo polinomio en x de grado n con coeficientes complejos puede factorizarse en n factores lineales.${\displaystyle x-a_{i},}$para i = 1, ..., n , donde los a _i s son las raíces del polinomio. ^{[ 2 ]} Aunque se conoce la estructura de la factorización en estos casos, los a _i s generalmente no se pueden calcular en términos de radicales ( raíces n ^-ésimas ), por el teorema de Abel-Ruffini . En la mayoría de los casos, lo mejor que se puede hacer es calcular valores aproximados de las raíces con un algoritmo de búsqueda de raíces .

Patrones reconocibles

Muchas identidades establecen una igualdad entre una suma y un producto. Los métodos descritos anteriormente pueden utilizarse para que la suma de una identidad aparezca en una expresión, pudiendo así sustituirse por un producto.

A continuación se muestran identidades cuyos lados izquierdos se utilizan comúnmente como patrones (esto significa que las variables E y F que aparecen en estas identidades pueden representar cualquier subexpresión de la expresión que debe factorizarse). ^{[ 6 ]}

• Diferencia de dos cuadrados

${\displaystyle E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)}$

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+&2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}}$

• Suma/diferencia de dos cubos

${\displaystyle E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})}$

${\displaystyle E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})}$

• identidad de Cauchy

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)=(a-b)^{3}}$

• Diferencia de dos cuartas potencias

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}}$

• Suma/diferencia de dos potencias n- ésimas

En las siguientes identidades, los factores a menudo pueden factorizarse aún más:

• Diferencia, exponente par

${\displaystyle E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})}$

• Diferencia, exponente par o impar

${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})=(E-F)\sum _{k=0}^{n-1}{E^{n-1-k}F^{k}}}$

Este es un ejemplo que muestra que los factores pueden ser mucho mayores que la suma que se factoriza.

• Suma, exponente impar

${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})=(E+F)\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{E^{n-1-k}F^{k}}}$

(obtenido al cambiar F por – F en la fórmula anterior)

• Suma, exponente par

Si el exponente es una potencia de dos, entonces la expresión no puede, en general, factorizarse sin introducir números complejos (si E y F contienen números complejos, esto puede no ser el caso). Si n tiene un divisor impar, es decir, si n = pq con p impar, se puede usar la fórmula anterior (en "Suma, exponente impar") aplicada a${\displaystyle (E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.}$

• Trinomios y fórmulas cúbicas

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)^{3}\\\end{aligned}}}$

• Identidad de Argand

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)}$

• Desarrollos binomiales

El teorema del binomio proporciona patrones que pueden reconocerse fácilmente a partir de los números enteros que aparecen en ellos.

En grado bajo:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}}$

De manera más general, los coeficientes de las formas expandidas de${\displaystyle (a+b)^{n}}$y${\displaystyle (a-b)^{n}}$son los coeficientes binomiales que aparecen en la n -ésima fila del triángulo de Pascal .

Raíces de la unidad

Las raíces enésimas de la unidad son los números complejos, cada uno de los cuales es una raíz del polinomio.${\displaystyle x^{n}-1.}$Son, por lo tanto, los números $${\displaystyle e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}}$$ para${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$

De ello se deduce que para cualesquiera dos expresiones E y F , se tiene: $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}}$$

Si E y F son expresiones reales, y se desean factores reales, hay que reemplazar cada par de factores conjugados complejos por su producto. Como el conjugado complejo de${\displaystyle e^{i\alpha }}$es${\displaystyle e^{-i\alpha },}$y $${\displaystyle \left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},}$$ uno tiene las siguientes factorizaciones reales (se pasa de una a otra cambiando k por n − k o n + 1 − k y aplicando las fórmulas trigonométricas habituales : $${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Los cosenos que aparecen en estas factorizaciones son números algebraicos y pueden expresarse en términos de radicales (esto es posible porque su grupo de Galois es cíclico); sin embargo, estas expresiones radicales son demasiado complicadas para ser utilizadas, excepto para valores bajos de n . Por ejemplo, $${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).}$$$${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$$${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$

A menudo se busca una factorización con coeficientes racionales. Dicha factorización involucra polinomios ciclotómicos . Para expresar factorizaciones racionales de sumas y diferencias o potencias, necesitamos una notación para la homogeneización de un polinomio : si${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},}$Su homogeneización es el polinomio bivariado.${\displaystyle {\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.}$Entonces, uno tiene $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$ donde los productos se toman sobre todos los divisores de n , o todos los divisores de 2n que no dividen a n , y${\displaystyle Q_{n}(x)}$es el n -ésimo polinomio ciclotómico.

Por ejemplo, $${\displaystyle a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),}$$$${\displaystyle a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),}$$ ya que los divisores de 6 son 1, 2, 3, 6, y los divisores de 12 que no dividen a 6 son 4 y 12.

Para los polinomios, la factorización está fuertemente relacionada con el problema de resolver ecuaciones algebraicas . Una ecuación algebraica tiene la forma

${\displaystyle P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,}$

donde P ( x ) es un polinomio en x con${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ Una solución de esta ecuación (también llamada raíz del polinomio) es un valor r de x tal que

${\displaystyle P(r)=0.}$

Si${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)}$es una factorización de P ( x ) = 0 como producto de dos polinomios, entonces las raíces de P ( x ) son la unión de las raíces de Q ( x ) y las raíces de R ( x ) . Por lo tanto, resolver P ( x ) = 0 se reduce a los problemas más simples de resolver Q ( x ) = 0 y R ( x ) = 0 .

Por el contrario, el teorema del factor afirma que, si r es una raíz de P ( x ) = 0 , entonces P ( x ) puede factorizarse como

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

donde Q ( x ) es el cociente de la división euclidiana de P ( x ) = 0 por el factor lineal (de grado uno) x − r .

Si los coeficientes de P ( x ) son números reales o complejos , el teorema fundamental del álgebra afirma que P ( x ) tiene una raíz real o compleja. Usando el teorema del factor recursivamente, resulta que

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

dónde${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$son las raíces reales o complejas de P , algunas de las cuales pueden repetirse. Esta factorización completa es única hasta el orden de los factores.

Si los coeficientes de P ( x ) son reales, generalmente se busca una factorización cuyos factores tengan coeficientes reales. En este caso, la factorización completa puede tener algunos factores cuadráticos (de segundo grado). Esta factorización se puede deducir fácilmente de la factorización completa anterior. De hecho, si r = a + ib es una raíz no real de P ( x ) , entonces su conjugado complejo s = a − ib también es una raíz de P ( x ) . Por lo tanto, el producto

${\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}$

es un factor de P ( x ) con coeficientes reales. Repitiendo esto para todos los factores no reales se obtiene una factorización con factores reales lineales o cuadráticos.

Para calcular estas factorizaciones reales o complejas, se necesitan las raíces del polinomio, que no siempre se pueden calcular con exactitud, sino solo aproximar mediante algoritmos de búsqueda de raíces .

En la práctica, la mayoría de las ecuaciones algebraicas de interés tienen coeficientes enteros o racionales , y puede que se desee una factorización con factores del mismo tipo. El teorema fundamental de la aritmética puede generalizarse a este caso, estableciendo que los polinomios con coeficientes enteros o racionales tienen la propiedad de factorización única . Más precisamente, todo polinomio con coeficientes racionales puede factorizarse en un producto

${\displaystyle P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),}$

donde q es un número racional y${\displaystyle P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)}$son polinomios no constantes con coeficientes enteros que son irreducibles y primitivos ; esto significa que ninguno de los${\displaystyle P_{i}(x)}$Se puede escribir como el producto de dos polinomios (con coeficientes enteros) que no son ni 1 ni -1 (los enteros se consideran polinomios de grado cero). Además, esta factorización es única salvo por el orden y el signo de los factores.

Existen algoritmos eficientes para calcular esta factorización, implementados en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional . Véase Factorización de polinomios . Desafortunadamente, estos algoritmos son demasiado complejos para realizar cálculos manuales. Además de las heurísticas mencionadas, solo unos pocos métodos son adecuados para cálculos manuales, los cuales generalmente solo funcionan para polinomios de bajo grado, con pocos coeficientes distintos de cero. Los principales métodos de este tipo se describen en las siguientes subsecciones.

Los números enteros y los polinomios sobre un cuerpo comparten la propiedad de factorización única; es decir, todo elemento distinto de cero puede factorizarse en un producto de un elemento invertible (una unidad , ±1 en el caso de los enteros) y un producto de elementos irreducibles ( números primos , en el caso de los enteros). Esta factorización es única salvo por la reordenación de los factores y el desplazamiento de unidades entre ellos. Los dominios de integridad que comparten esta propiedad se denominan dominios de factorización única (DFU).

Los dominios universales de datos (DUD) tienen máximos comunes divisores , pero no todos los dominios de integridad en los que existen máximos comunes divisores (conocidos como dominios MCD ) son DUD. Todos los dominios de ideales principales son DUD.

Un dominio euclidiano es un dominio de integridad sobre el cual se define una división euclidiana similar a la de los números enteros. Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales principales y, por lo tanto, un dominio de dominio universal (DDU).

En un dominio euclidiano, la división euclidiana permite definir un algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor. Sin embargo, esto no implica la existencia de un algoritmo de factorización. Existe un ejemplo explícito de un cuerpo F tal que no puede existir ningún algoritmo de factorización en el dominio euclidiano F [ x ] de los polinomios univariados sobre F.

En la teoría algebraica de números , el estudio de las ecuaciones diofánticas llevó a los matemáticos, durante el siglo XIX, a introducir generalizaciones de los enteros llamados enteros algebraicos . El primer anillo de enteros algebraicos que se ha considerado fueron los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein , que comparten con los enteros usuales la propiedad de ser dominios de ideales principales y, por lo tanto, tienen la propiedad de factorización única .

Desafortunadamente, pronto se hizo evidente que la mayoría de los anillos de enteros algebraicos no son principales y no tienen factorización única. El ejemplo más simple es${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],}$en el cual

$${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),}$$

y todos estos factores son irreductibles .

Esta falta de factorización única representa una gran dificultad para resolver ecuaciones diofánticas. Por ejemplo, muchas demostraciones erróneas del Último Teorema de Fermat ( probablemente incluyendo la "demostración verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener" ) se basaron en la suposición implícita de factorización única.

Esta dificultad fue resuelta por Dedekind , quien demostró que los anillos de enteros algebraicos poseen una factorización única de ideales : en estos anillos, cada ideal es producto de ideales primos , y esta factorización es única hasta el orden de los factores. Los dominios de integridad que poseen esta propiedad de factorización única se denominan ahora dominios de Dedekind . Estos dominios tienen muchas propiedades interesantes que los hacen fundamentales en la teoría algebraica de números.

Los anillos de matrices no son conmutativos y carecen de factorización única: en general, existen muchas maneras de escribir una matriz como producto de matrices. Por lo tanto, el problema de factorización consiste en encontrar factores de tipos específicos. Por ejemplo, la descomposición LU da como resultado una matriz producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior . Dado que esto no siempre es posible, generalmente se considera la descomposición LUP, cuyo tercer factor es una matriz de permutación .

Consulte la sección Descomposición de matrices para conocer los tipos más comunes de factorizaciones de matrices.

Una matriz lógica representa una relación binaria , y la multiplicación de matrices corresponde a la composición de relaciones . La descomposición de una relación mediante factorización permite perfilar la naturaleza de la misma, como por ejemplo, una relación difuncional .

• Método de factorización de Euler para números enteros
• Método de factorización de Fermat para números enteros
• factorización monoide
• Partición multiplicativa
• Tabla de factorizaciones enteras gaussianas

• Burnside, William Snow ; Panton, Arthur William (1960) [1912], La teoría de las ecuaciones con una introducción a la teoría de las formas algebraicas binarias (Volumen uno) , Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), "Primer curso de teoría de ecuaciones", Nature , 109 (2746), Nueva York: John Wiley & Sons: 773, Bibcode : 1922Natur.109R.773. , doi : 10.1038/109773c0
• Fite, William Benjamin (1921), Álgebra universitaria (revisada) , Boston: DC Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado; aritmética, álgebra, análisis , Dover
• Selby, Samuel M. (1970), Tablas matemáticas estándar CRC (18.ª  ed.), The Chemical Rubber Co.

• Wolfram Alpha también puede factorizar .