Partición multiplicativa

En teoría de números , una partición multiplicativa o factorización no ordenada de un número entero${\displaystyle n}$es una forma de escribir${\displaystyle n}$como producto de enteros mayores que 1, considerando dos productos equivalentes si difieren únicamente en el orden de los factores. El número${\displaystyle n}$es considerado uno de estos productos. Las particiones multiplicativas son muy similares al estudio de las particiones multipartitas , ^{[ 1 ]} que son particiones aditivas de secuencias finitas de enteros positivos, con la adición realizada punto por punto . Aunque el estudio de las particiones multiplicativas se ha estado llevando a cabo desde al menos 1923, el nombre "partición multiplicativa" parece haber sido introducido por Hughes y Shallit (1983) . ^{[ 2 ]} El nombre en latín "factorisatio numerorum" se había utilizado anteriormente. MathWorld utiliza el término factorización no ordenada .

• El número 20 tiene cuatro particiones multiplicativas: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5 y 20.        
• 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9 y 81 son las cinco particiones multiplicativas de 81 = 3 ⁴ . Debido a que es la cuarta potencia de un número primo , 81 tiene el mismo número (cinco) de particiones multiplicativas que 4 tiene de particiones aditivas .              
• El número 30 tiene cinco particiones multiplicativas: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30.          
• En general, el número de particiones multiplicativas de un número libre de cuadrados con${\displaystyle i}$Los factores primos son los${\displaystyle i}$número de Bell ,${\displaystyle B_{i}}$.

Hughes y Shallit (1983) describen una aplicación de particiones multiplicativas para clasificar enteros con un número dado de divisores. Por ejemplo, los enteros con exactamente 12 divisores toman las formas${\displaystyle p^{11}}$,${\displaystyle p\cdot q^{5}}$,${\displaystyle p^{2}\cdot q^{3}}$, y${\displaystyle p\cdot q\cdot r^{2}}$, dónde${\displaystyle p}$,${\displaystyle q}$, y${\displaystyle r}$son números primos distintos ; estas formas corresponden a las particiones multiplicativas${\displaystyle 12}$,${\displaystyle 2\cdot 6}$,${\displaystyle 3\cdot 4}$, y${\displaystyle 2\cdot 2\cdot 3}$respectivamente. De forma más general, para cada partición multiplicativa $${\displaystyle k=\prod t_{i}}$$ del entero${\displaystyle k}$, corresponde una clase de enteros que tienen exactamente${\displaystyle k}$divisores, de la forma

${\displaystyle \prod p_{i}^{t_{i}-1},}$

donde cada${\displaystyle p_{i}}$es un número primo distinto. Esta correspondencia se deduce de la propiedad multiplicativa de la función divisora . ^{[ 2 ]}

Oppenheim (1926) atribuye a MacMahon (1923) el problema de contar el número de particiones multiplicativas de${\displaystyle n}$; ^{[ 3 ] [ 4 ]} Este problema ha sido estudiado desde entonces por otros bajo el nombre latino de factorisatio numerorum . Si el número de particiones multiplicativas de${\displaystyle n}$es${\displaystyle a_{n}}$McMahon y Oppenheim observaron que su función generadora de la serie de Dirichlet${\displaystyle f(s)}$tiene la representación del producto ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}.}$$

La secuencia de números${\displaystyle a_{n}}$comienza

Oppenheim también afirmó un límite superior en${\displaystyle a_{n}}$, de la forma ^{[ 3 ]}$${\displaystyle a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-2+o(1)},}$$ pero como demostraron Canfield, Erdős y Pomerance (1983) , este límite es erróneo y el límite verdadero es ^{[ 5 ].}$${\displaystyle a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-1+o(1)}.}$$

Ambos límites no están lejos de ser lineales en${\displaystyle n}$: son de la forma${\displaystyle n^{1-o(1)}}$. Sin embargo, el valor típico de${\displaystyle a_{n}}$es mucho más pequeño: el valor promedio de${\displaystyle a_{n}}$, promediado durante un intervalo${\displaystyle x\leq n\leq x+N}$, es $${\displaystyle {\bar {a}}=\exp \left({\frac {4{\sqrt {\log N}}}{{\sqrt {2e}}\log \log N}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )}\right),}$$ un límite que es de la forma${\displaystyle n^{o(1)}}$. ^{[ 6 ]}

Canfield, Erdős y Pomerance (1983) observan, y Luca, Mukhopadhyay y Srinivas (2010) demuestran, que la mayoría de los números no pueden surgir como el número${\displaystyle a_{n}}$de particiones multiplicativas de alguna${\displaystyle n}$: el número de valores menores que${\displaystyle N}$que surgen de esta manera es${\displaystyle N^{O(\log \log \log N/\log \log N)}}$. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Además, Luca et al. muestran que la mayoría de los valores de${\displaystyle n}$no son múltiplos de${\displaystyle a_{n}}$: el número de valores${\displaystyle n\leq N}$de tal manera que${\displaystyle a_{n}}$divide${\displaystyle n}$es${\displaystyle O(N/\log ^{1+o(1)}N)}$. ^{[ 6 ]}

• Divisor
• Partición (teoría de números)

• Knopfmacher, A.; Mays, ME (2005), "Un estudio de las funciones de conteo de factorización" (PDF) , International Journal of Number Theory , 1 (4): 563– 581, doi : 10.1142/S1793042105000315

• Weisstein, Eric W. , "Factorización no ordenada" , MathWorld