Elemento integral

En álgebra conmutativa , se dice que un elemento b de un anillo conmutativo ^B es integral sobre un subanillo A de B si b es una raíz de algún polinomio mónico sobre A. ^[¹ ]

Si A y B son cuerpos , entonces las nociones de "integral sobre" y de "extensión integral" son precisamente " algebraica sobre" y " extensiones algebraicas " en teoría de cuerpos (ya que la raíz de cualquier polinomio es la raíz de un polinomio mónico).

El caso de mayor interés en la teoría de números es el de los números complejos enteros sobre Z (por ejemplo, ${\sqrt {2}}$ o $1+i$ En este contexto, los elementos enteros se denominan generalmente enteros algebraicos . Los enteros algebraicos en un cuerpo de extensión finito k de los racionales Q forman un subanillo de k , llamado anillo de enteros de k , un objeto central de estudio en la teoría algebraica de números .

En este artículo, el término anillo se entenderá como un anillo conmutativo con un elemento neutro multiplicativo.

Definición

Dejar $B$ ser un anillo y dejar $A\subset B$ ser un subanillo de $B.$ Un elemento $b$ de $B$ Se dice que es integral sobre $A$ si para algunos $n\geq 1,$ existe $a_{0},\ a_{1},\ \dots ,\ a_{n-1}$ en $A$ de tal manera que $b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0.$

El conjunto de elementos de $B$ que son integrales sobre $A$ se llama el cierre integral de $A$ en $B.$ El cierre integral de cualquier subanillo $A$ en $B$ es, en sí mismo, un subanillo de $B$ y contiene $A.$ Si cada elemento de $B$ es integral sobre $A,$ entonces decimos que $B$ es integral sobre $A$ o equivalentemente $B$ es una extensión integral de $A.$

Ejemplos

Cierre integral en la teoría algebraica de números.

Existen numerosos ejemplos de cierre integral que se pueden encontrar en la teoría algebraica de números, ya que es fundamental para definir el anillo de enteros para una extensión de cuerpo algebraico. $K/\mathbb {Q}$ (o $L/\mathbb {Q} _{p}$ ).

Cierre integral de los números enteros en los racionales

Los enteros son los únicos elementos de Q que son enteros sobre Z. En otras palabras, Z es la clausura entera de Z en Q.

Extensiones cuadráticas

Los enteros gaussianos son los números complejos de la forma $a+b{\sqrt {-1}},\,a,b\in \mathbf {Z}$ y son integrales sobre Z. $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]$ es entonces el cierre integral de Z en $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})$ . Normalmente este anillo se denomina ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [i]}$ .

El cierre integral de Z en $\mathbf {Q} ({\sqrt {5}})$ es el anillo

{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right]

Este ejemplo y el anterior son ejemplos de enteros cuadráticos . El cierre integral de una extensión cuadrática. $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ se puede encontrar construyendo el polinomio mínimo de un elemento arbitrario $a+b{\sqrt {d}}$ y encontrar un criterio de teoría de números para que el polinomio tenga coeficientes enteros. Este análisis se puede encontrar en el artículo sobre extensiones cuadráticas .

Raíces de la unidad

Sea ζ una raíz de la unidad . Entonces, la clausura integral de Z en el campo ciclotómico Q (ζ) es Z [ζ]. ^{[ 2 ]} Esto se puede encontrar usando el polinomio mínimo y el criterio de Eisenstein .

Anillo de enteros algebraicos

El cierre integral de Z en el campo de los números complejos C , o el cierre algebraico. ${\overline {\mathbb {Q} }}$ se denomina anillo de enteros algebraicos .

Otro

Las raíces de la unidad , los elementos nilpotentes y los elementos idempotentes en cualquier anillo son enteros sobre Z.

Cierre integral en geometría algebraica

En geometría , el cierre integral está estrechamente relacionado con la normalización y los esquemas normales . Es el primer paso en la resolución de singularidades, ya que proporciona un proceso para resolver singularidades de codimensión 1.

Por ejemplo, el cierre integral de $\mathbb {C} [x,y,z]/(xy)$ es el anillo $\mathbb {C} [x,z]\times \mathbb {C} [y,z]$ ya que geométricamente, el primer anillo corresponde al $xz$ -avión unido con el $yz$ -plano. Tienen una singularidad de codimensión 1 a lo largo del $z$ -eje donde se cruzan.
Sea un grupo finito G que actúa sobre un anillo A. Entonces A es integral sobre A ^G , el conjunto de elementos fijos por G ; véase Anillo de invariantes .
Sea R un anillo y u una unidad en un anillo que contiene a R. Entonces ^{[ 3 ]}

u ⁻¹ es integral sobre R si y solo si u ⁻¹ ∈ R [ u ].
$R[u]\cap R[u^{-1}]$ es integral sobre R.
El cierre integral del anillo de coordenadas homogéneas de una variedad proyectiva normal X es el anillo de secciones ^{[ 4 ].}

\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).

Integralidad en álgebra

Si ${\overline {k}}$ es una clausura algebraica de un cuerpo k , entonces ${\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]$ es integral sobre $k[x_{1},\dots ,x_{n}].$
El cierre integral de C [[ x ]] en una extensión finita de C (( x )) es de la forma $\mathbf {C} [[x^{1/n}]]$ (cf. Serie Puiseux )

Definiciones equivalentes

Sea B un anillo y sea A un subanillo de B. Dado un elemento b en B , las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) b es integral sobre A ;

(ii) el subanillo A [ b ] de B generado por A y b es un A -módulo finitamente generado ;

(iii) existe un subanillo C de B que contiene A [ b ] y que es un A -módulo finitamente generado;

(iv) existe un A [ b ]-módulo fiel M tal que M es finitamente generado como un A -módulo.

La demostración habitual de esto utiliza la siguiente variante del teorema de Cayley-Hamilton sobre determinantes :

Teorema Sea u un endomorfismo de un A -módulo M generado por n elementos e I un ideal de A tal que

u(M)\subset IM

. Entonces existe una relación:

u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.

Este teorema (con I = A y u multiplicada por b ) da (iv) ⇒ (i) y el resto es sencillo. Casualmente, el lema de Nakayama también es una consecuencia inmediata de este teorema.

Propiedades elementales

El cierre integral forma un anillo.

De las cuatro afirmaciones equivalentes anteriores se deduce que el conjunto de elementos de $B$ que son integrales sobre $A$ forma un subanillo de $B$ que contiene $A$ . (Prueba: Si x , y son elementos de $B$ que son integrales sobre $A$ , entonces $x+y,xy,-x$ son integrales sobre $A$ ya que se estabilizan $A[x]A[y]$ , que es un módulo generado finitamente sobre $A$ y es aniquilado solo por cero.) ^{[ 5 ]} Este anillo se llama el cierre integral de $A$ en $B$ .

Transitividad de la integralidad

Otra consecuencia de la equivalencia anterior es que "integralidad" es transitiva , en el siguiente sentido. Sea $C$ ser un anillo que contiene $B$ y $c\in C$ . Si $c$ es integral sobre $B$ y $B$ integral sobre $A$ , entonces $c$ es integral sobre $A$ . En particular, si $C$ es en sí mismo integral sobre $B$ y $B$ es integral sobre $A$ , entonces $C$ también es integral sobre $A$ .

Integral cerrada en el campo de fracciones

Si $A$ resulta ser el cierre integral de $A$ en $B$ , entonces se dice que A está integralmente cerrado en $B$ . Si $B$ es el anillo total de fracciones de $A$ , (por ejemplo, el campo de fracciones cuando $A$ es un dominio integral ), entonces a veces se omite la calificación "en $B$ " y simplemente dice "cierre integral de $A$ " y " $A$ es integralmente cerrado ." ^{[ 6 ]} Por ejemplo, el anillo de los enteros ${\mathcal {O}}_{K}$ está integralmente cerrado en el campo $K$ .

Transitividad del cierre integral con dominios integralmente cerrados

Sea A un dominio de integridad con el cuerpo de fracciones K y A' la clausura integral de A en una extensión de cuerpo algebraico L de K. Entonces el cuerpo de fracciones de A' es L. En particular, A' es un dominio integralmente cerrado .

Transitividad en la teoría algebraica de números

Esta situación es aplicable en la teoría algebraica de números al relacionar el anillo de enteros y una extensión de cuerpo. En particular, dada una extensión de cuerpo $L/K$ el cierre integral de ${\mathcal {O}}_{K}$ en $L$ es el anillo de los números enteros ${\mathcal {O}}_{L}$ .

Observaciones

Nótese que la transitividad de la integralidad anterior implica que si $B$ es integral sobre $A$ , entonces $B$ es una unión (o equivalentemente un límite inductivo ) de subanillos que son finitamente generados $A$ -módulos.

Si $A$ es noetheriano , la transitividad de la integralidad puede debilitarse a la afirmación:

Existe un número finitamente generado

A

-submódulo de

B

que contiene

A[b]

.

Relación con las condiciones de finitud

Finalmente, la suposición de que $A$ ser un subanillo de $B$ se puede modificar un poco. Si $f:A\to B$ es un homomorfismo de anillos , entonces se dice $f$ es integral si $B$ es integral sobre $f(A)$ . De la misma manera se dice $f$ es finito ( $B$ generado finitamente $A$ -módulo) o de tipo finito ( $B$ generado finitamente $A$ - álgebra ). Desde este punto de vista, se tiene que

f

es finito si y solo si

f

es integral y de tipo finito.

O más explícitamente,

B

es un finito generado

A

-módulo si y solo si

B

se genera como un

A

-álgebra por un número finito de elementos integral sobre

A

.

Extensiones integrales

Teoremas de Cohen-Seidenberg

Una extensión integral A ⊆ B tiene la propiedad de ascenso , la propiedad de superposición y la propiedad de incomparabilidad ( teoremas de Cohen-Seidenberg ). Explícitamente, dada una cadena de ideales primos ${\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$ En A existe un ${\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}$ en B con ${\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}'_{i}\cap A$ (ascendente y superpuesto) y dos ideales primos distintos con relación de inclusión no pueden contraerse al mismo ideal primo (incomparabilidad). En particular, las dimensiones de Krull de A y B son iguales. Además, si A es un dominio integralmente cerrado, entonces se cumple la condición descendente (véase más adelante).

En general, el ascenso implica el traspaso. ^{[ 7 ]} Por lo tanto, a continuación, simplemente decimos "el ascenso" para referirnos a "ascender" y "traspaso".

Cuando A y B son dominios tales que B es integral sobre A , A es un cuerpo si y solo si B es un cuerpo. Como corolario , se tiene: dado un ideal primo ${\mathfrak {q}}$ de B , ${\mathfrak {q}}$ es un ideal maximal de B si y solo si ${\mathfrak {q}}\cap A$ es un ideal maximal de A. Otro corolario: si L / K es una extensión algebraica, entonces cualquier subanillo de L que contenga a K es un cuerpo.

Aplicaciones

Sea B un anillo integral sobre un subanillo A y k un cuerpo algebraicamente cerrado . Si $f:A\to k$ es un homomorfismo, entonces f se extiende a un homomorfismo B → k . ^{[ 8 ]} Esto se deduce del ascenso.

Interpretación geométrica del ascenso

Dejar $f:A\to B$ ser una extensión integral de anillos. Entonces el mapa inducido

{\begin{cases}f^{\#}:\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A\\p\mapsto f^{-1}(p)\end{cases}}

es un mapa cerrado ; de hecho, $f^{\#}(V(I))=V(f^{-1}(I))$ para cualquier ideal yo y $f^{\#}$ es sobreyectiva si f es inyectiva . Esta es una interpretación geométrica del ascenso.

Interpretación geométrica de las extensiones integrales

Sea B un anillo y A un subanillo que es un dominio integralmente cerrado noetheriano (es decir, $\operatorname {Spec} A$ es un esquema normal ). Si B es integral sobre A , entonces $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$ es sumergible ; es decir, la topología de $\operatorname {Spec} A$ es la topología cociente . ^{[ 9 ]} La demostración utiliza la noción de conjuntos construibles . (Véase también: Torsor (geometría algebraica) .)

Integralidad, cambio de base, universalmente cerrado y geometría

Si $B$ es integral sobre $A$ , entonces $B\otimes _{A}R$ es integral sobre R para cualquier A -álgebra R . ^{[ 10 ]} En particular, $\operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R$ es cerrado; es decir, la extensión integral induce una aplicación " universalmente cerrada ". Esto conduce a una caracterización geométrica de la extensión integral . Es decir, sea B un anillo con solo un número finito de ideales primos mínimos (por ejemplo, dominio integral o anillo noetheriano). Entonces B es integral sobre un (subanillo) A si y solo si $\operatorname {Spec} (B\otimes _{A}R)\to \operatorname {Spec} R$ es cerrado para cualquier A -álgebra R. ^{[ 11} ] ^En particular, todo mapa propio es universalmente cerrado. ^[¹²^]

Acciones de Galois sobre extensiones integrales de dominios integralmente cerrados

Proposición. Sea A un dominio integralmente cerrado con el cuerpo de fracciones K , L una extensión normal finita de K , B la clausura integral de A en L. Entonces el grupo

G=\operatorname {Gal} (L/K)

actúa transitivamente sobre cada fibra de

\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A

.

Demostración. Supongamos que ${\mathfrak {p}}_{2}\neq \sigma ({\mathfrak {p}}_{1})$ para cualquier $\sigma$ en G. Entonces, por evitación de primos , hay un elemento x en ${\mathfrak {p}}_{2}$ de tal manera que $\sigma (x)\not \in {\mathfrak {p}}_{1}$ para cualquier $\sigma$ . G fija el elemento $y=\prod \nolimits _{\sigma }\sigma (x)$ y por lo tanto y es puramente inseparable sobre K. Entonces alguna potencia $y^{e}$ pertenece a K ; dado que A es integralmente cerrado, tenemos: $y^{e}\in A.$ Así, encontramos $y^{e}$ está en ${\mathfrak {p}}_{2}\cap A$ pero no en ${\mathfrak {p}}_{1}\cap A$ ; es decir, ${\mathfrak {p}}_{1}\cap A\neq {\mathfrak {p}}_{2}\cap A$ .

Aplicación a la teoría algebraica de números

El grupo Galois $\operatorname {Gal} (L/K)$ luego actúa en función de todos los ideales primordiales ${\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})$ situado sobre un ideal primo fijo ${\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ . ^{[ 13 ]} Es decir, si

{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\subset {\mathcal {O}}_{L}

Luego hay una acción de Galois en el set. $S_{\mathfrak {p}}=\{{\mathfrak {q}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {q}}_{k}\}$ Esto se denomina la escisión de ideales primos en extensiones de Galois .

Observaciones

La misma idea en la demostración muestra que si $L/K$ es una extensión puramente inseparable (no necesariamente normal), entonces $\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A$ es biyectiva .

Sean A , K , etc. como antes, pero supongamos que L es solo una extensión de cuerpo finito de K. Entonces

(i)

\operatorname {Spec} B\to \operatorname {Spec} A

tiene fibras finitas.

(ii) el descenso se mantiene entre A y B : dado

{\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'_{n}\cap A

, existe

{\mathfrak {p}}'_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}'_{n}

que se contrae con él.

En efecto, en ambas afirmaciones, al ampliar L , podemos suponer que L es una extensión normal. Entonces (i) es inmediato. En cuanto a (ii), al ascender, podemos encontrar una cadena ${\mathfrak {p}}''_{i}$ que contrata ${\mathfrak {p}}'_{i}$ . Por transitividad, hay $\sigma \in G$ de tal manera que $\sigma ({\mathfrak {p}}''_{n})={\mathfrak {p}}'_{n}$ y luego ${\mathfrak {p}}'_{i}=\sigma ({\mathfrak {p}}''_{i})$ son la cadena deseada.

Cierre integral

Sean A ⊂ B anillos y A' la clausura integral de A en B. (Véase la definición más arriba).

Los cierres integrales se comportan bien bajo diversas construcciones. Específicamente, para un subconjunto multiplicativamente cerrado S de A , la localización S ⁻¹A' es el cierre integral de S ⁻¹A en S ⁻¹B , y $A'[t]$ es el cierre integral de $A[t]$ en $B[t]$ . ^{[ 14 ]} Si $A_{i}$ son subanillos de anillos $B_{i},1\leq i\leq n$ , entonces el cierre integral de $\prod A_{i}$ en $\prod B_{i}$ es $\prod {A_{i}}'$ dónde ${A_{i}}'$ son los cierres integrales de $A_{i}$ en $B_{i}$ . ^{[ 15 ]}

La clausura integral de un anillo local A en, digamos, B , no tiene por qué ser local. (Si este es el caso, el anillo se llama unibranquio ). Este es el caso, por ejemplo, cuando A es henseliano y B es una extensión de cuerpo del cuerpo de fracciones de A.

Si A es un subanillo de un cuerpo K , entonces la clausura integral de A en K es la intersección de todos los anillos de valuación de K que contienen a A.

Sea A un $\mathbb {N}$ -subanillo graduado de un $\mathbb {N}$ - anillo graduado B. Entonces el cierre integral de A en B es un $\mathbb {N}$ -subanillo graduado de B . ^{[ 16 ]}

También existe el concepto de cierre integral de un ideal . El cierre integral de un ideal $I\subset R$ , generalmente denotado por ${\overline {I}}$ es el conjunto de todos los elementos $r\in R$ de tal manera que exista un polinomio mónico

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x^{1}+a_{n}

con $a_{i}\in I^{i}$ con $r$ como raíz. ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} El radical de un ideal es integralmente cerrado. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

Para los anillos noetherianos, también existen definiciones alternativas.

$r\in {\overline {I}}$ si existe un $c\in R$ no está contenido en ningún primo mínimo, de tal manera que $cr^{n}\in I^{n}$ a pesar de $n\geq 1$ .
$r\in {\overline {I}}$ Si en la explosión normalizada de I , el retroceso de r está contenido en la imagen inversa de I. La explosión de un ideal es una operación de esquemas que reemplaza el ideal dado por un ideal principal. La normalización de un esquema es simplemente el esquema que corresponde al cierre integral de todos sus anillos.

La noción de cierre integral de un ideal se utiliza en algunas demostraciones del teorema descendente .

Conductor

Sea B un anillo y A un subanillo de B tal que B es integral sobre A. Entonces, el anulador del A -módulo B / A se llama conductor de A en B. Debido a que la noción tiene su origen en la teoría algebraica de números , el conductor se denota por ${\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}(B/A)$ Explícitamente, ${\mathfrak {f}}$ consta de elementos a en A tales que $aB\subset A$ (cf. idealizador en álgebra abstracta.) Es el ideal más grande de A que también es un ideal de B. ^{[ 21 ]} Si S es un subconjunto multiplicativamente cerrado de A , entonces

S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)={\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A)

.

Si B es un subanillo del anillo total de fracciones de A , entonces podemos identificar

{\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Hom} _{A}(B,A)

.

Ejemplo: Sea k un campo y sea $A=k[t^{2},t^{3}]\subset B=k[t]$ (es decir, A es el anillo de coordenadas de la curva afín) $x^{2}=y^{3}$ ). B es el cierre integral de A en $k(t)$ El conductor de A en B es el ideal $(t^{2},t^{3})A$ . De manera más general, el director de orquesta de $A=k[[t^{a},t^{b}]]$ , a , b primos relativos, es $(t^{c},t^{c+1},\dots )A$ con $c=(a-1)(b-1)$ . ^{[ 22 ]}

Supongamos que B es la clausura integral de un dominio integral A en el campo de fracciones de A tal que el A -módulo $B/A$ es finitamente generado. Entonces el conductor ${\mathfrak {f}}$ de A es un ideal que define el soporte de $B/A$ ; por lo tanto, A coincide con B en el complemento de $V({\mathfrak {f}})$ en $\operatorname {Spec} A$ . En particular, el conjunto $\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid A_{\mathfrak {p}}{\text{ is integrally closed}}\}$ , el complemento de $V({\mathfrak {f}})$ , es un conjunto abierto .

Finitud del cierre integral

Una cuestión importante pero difícil es la finitud del cierre integral de un álgebra finitamente generada . Existen varios resultados conocidos.

El cierre integral de un dominio de Dedekind en una extensión finita del cuerpo de fracciones es un dominio de Dedekind; en particular, un anillo noetheriano. Esto es una consecuencia del teorema de Krull-Akizuki . En general, el cierre integral de un dominio noetheriano de dimensión como máximo 2 es noetheriano; Nagata dio un ejemplo de un dominio noetheriano de dimensión 3 cuyo cierre integral no es noetheriano. ^{[ 23 ]} Una afirmación más elegante es esta: el cierre integral de un dominio noetheriano es un dominio de Krull ( teorema de Mori-Nagata ). Nagata también dio un ejemplo de un dominio local noetheriano de dimensión 1 tal que el cierre integral no es finito sobre ese dominio.

Sea A un dominio noetheriano integralmente cerrado con cuerpo de fracciones K. Si L / K es una extensión separable finita , entonces el cierre integral $A'$ de A en L es un A- módulo finitamente generado . ^{[ 24 ]} Esto es fácil y estándar (utiliza el hecho de que la traza define una forma bilineal no degenerada ).

Sea A un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo k que es un dominio de integridad con cuerpo de fracciones K. Si L es una extensión finita de K , entonces la clausura integral $A'$ de A en L es un A -módulo finitamente generado y también es un k -álgebra finitamente generada. ^{[ 25 ]} El resultado se debe a Noether y se puede demostrar usando el lema de normalización de Noether de la siguiente manera. Es claro que basta con demostrar la afirmación cuando L / K es separable o puramente inseparable. El caso separable se ha mencionado anteriormente, así que supongamos que L / K es puramente inseparable. Por el lema de normalización, A es integral sobre el anillo de polinomios. $S=k[x_{1},...,x_{d}]$ Dado que L / K es una extensión finita puramente inseparable, existe una potencia q de un número primo tal que cada elemento de L es una raíz q -ésima de un elemento en K. Sea $k'$ Sea L una extensión finita de k que contenga todas las raíces q -ésimas de los coeficientes de un número finito de funciones racionales que generan L. Entonces tenemos: $L\subset k'(x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}).$ El anillo de la derecha es el campo de fracciones de $k'[x_{1}^{1/q},...,x_{d}^{1/q}]$ , que es el cierre integral de S ; por lo tanto, contiene $A'$ . Por eso, $A'$ es finito sobre S ; a fortiori, sobre A. El resultado sigue siendo cierto si reemplazamos k por Z.

El cierre integral de un dominio noetheriano local completo A en una ^extensión finita del cuerpo de fracciones de A es finito sobre A. ^{[ 26} ] Más precisamente, para un anillo noetheriano local R , tenemos las siguientes cadenas de implicaciones: ^[²⁷^]

(i) Un completo

\Rightarrow

A es un anillo Nagata

(ii) A es un dominio de Nagata

\Rightarrow

Un análisis sin ramificaciones

\Rightarrow

el cierre integral de la finalización

{\widehat {A}}

es finito sobre

{\widehat {A}}

\Rightarrow

El cierre integral de A es finito sobre A.

El criterio de Grauert-Remmert-de Jong

El criterio de Grauert-Remmert-de Jong proporciona una condición necesaria y suficiente para que un anillo sea normal.

El Criterio

Dejar $A$ ser un dominio noetheriano reducido y $I\subset A$ ser un ideal que cumpla las siguientes condiciones:

$I$ es un ideal radical (es decir, ${\sqrt {I}}=I$ ).
La variedad $V(I)$ contiene el locus no normal de $I$ (es decir, para cada ideal primo) $P\in \operatorname {Spec} (A)$ donde el anillo local $A_{P}$ no es normal, $P\supseteq I$ ).

Entonces: el anillo $A$ es normal si y solo si la inclusión natural en el anillo de endomorfismo de $I$

\phi :A\hookrightarrow \operatorname {Hom} _{A}(I,I)

es un isomorfismo.

Aplicación algorítmica (el algoritmo de Jong)

Si $A$ no es normal, el anillo de endomorfismo $S=\operatorname {Hom} _{A}(I,I)$ Proporciona una extensión de anillo integral estrictamente mayor. $A\subsetneq S$ dentro del campo cociente $Q(A)$ .

Iteración: Mediante la construcción iterativa de una secuencia de extensiones de anillo. $A=A_{0}\subset A_{1}\subset A_{2}\subset \dots \subset {\overline {A}}$ , el procedimiento finalmente conduce a la normalización ${\overline {A}}$ , siempre que la normalización sea un módulo finitamente generado sobre $A$ .
Generalización del algoritmo de Zassenhaus: Este enfoque generaliza el algoritmo de Zassenhaus (también conocido como algoritmo de la segunda ronda) del contexto específico de anillos de enteros en cuerpos numéricos a anillos noetherianos generales .

^{[ 28 ]}

El criterio de Grauert-Remmert-de Jong

El criterio de Grauert-Remmert-de Jong proporciona una condición necesaria y suficiente para que un anillo sea normal.

El Criterio

Dejar $A$ ser un dominio noetheriano reducido y $I\subset A$ ser un ideal que cumpla las siguientes condiciones:

$I$ es un ideal radical (es decir, ${\sqrt {I}}=I$ ).
La variedad $V(I)$ contiene el locus no normal de $I$ (es decir, para cada ideal primo) $P\in \operatorname {Spec} (A)$ donde el anillo local $A_{P}$ no es normal, $P\supseteq I$ ).

Entonces: el anillo $A$ es normal si y solo si la inclusión natural en el anillo de endomorfismo de $I$

\phi :A\hookrightarrow \operatorname {Hom} _{A}(I,I)

es un isomorfismo.

Aplicación algorítmica (el algoritmo de Jong)

Si $A$ no es normal, el anillo de endomorfismo $S=\operatorname {Hom} _{A}(I,I)$ Proporciona una extensión de anillo integral estrictamente mayor. $A\subsetneq S$ dentro del campo cociente $Q(A)$ .

Iteración: Mediante la construcción iterativa de una secuencia de extensiones de anillo. $A=A_{0}\subset A_{1}\subset A_{2}\subset \dots \subset {\overline {A}}$ , el procedimiento finalmente conduce a la normalización ${\overline {A}}$ , siempre que la normalización sea un módulo finitamente generado sobre $A$ .
Generalización del algoritmo de Zassenhaus: Este enfoque generaliza el algoritmo de Zassenhaus (también conocido como algoritmo de la segunda ronda) del contexto específico de anillos de enteros en cuerpos numéricos a anillos noetherianos generales .

^{[ 29 ]}

Lema de normalización de Noether

_{El lema de} normalización de Noether es un teorema del álgebra conmutativa _. Dado un cuerpo K y un álgebra A finitamente generada sobre _{K, el teorema afirma que es posible encontrar elementos y₁}, y₂ , ... , yᵐ en A que sean algebraicamente independientes sobre K, de modo que A sea finita (y por lo tanto integral) sobre B = K [ y₁ , ..., yᵐ ]. Así, la extensión _K ⊂ A puede escribirse como una composición K ⊂ B ⊂ A, _donde K ⊂ B es una extensión puramente trascendental y B ⊂ A es finita. ^[³⁰^]

Morfismos integrales

En geometría algebraica , un morfismo $f:X\to Y$ de esquemas es integral si es afín y si para algún (equivalentemente, todo) esquema afín abierto $U_{i}$ de Y , cada mapa $f^{-1}(U_{i})\to U_{i}$ es de la forma $\operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)$ donde A es un álgebra B integral . La clase de morfismos integrales es más general que la clase de morfismos finitos porque existen extensiones integrales que no son finitas, como, en muchos casos, el cierre algebraico de un cuerpo sobre el cuerpo.

Cierre integral absoluto

Sea A un dominio de integridad y L una clausura algebraica del cuerpo de fracciones de A. Entonces la clausura integral $A^{+}$ de A en L se llama clausura integral absoluta de A. ^{[ 31 ]} Es única salvo un isomorfismo no canónico . El anillo de todos los enteros algebraicos es un ejemplo (y por lo tanto $A^{+}$ (normalmente no es noetheriano).

Véase también

Notas

↑ La ecuación anterior a veces se denomina ecuación integral y se dice que b depende integralmente de A (a diferencia de la dependencia algebraica ).
↑ Milne 2020 , Teorema 6.4
↑ Kaplansky 1974 , 1.2. Ejercicio 4.
↑ Hartshorne 1977 , Cap. II, Ejercicio 5.14
↑ Esta demostración se debe a Dedekind (Milne, ANT). Alternativamente, se pueden usar polinomios simétricos para demostrar que los elementos enteros forman un anillo. (loc. cit.)
↑ Capítulo 2 de Huneke y Swanson 2006
↑ Kaplansky 1974 , Teorema 42
↑ Bourbaki 2006 , Cap. 5, §2, Corolario 4 del Teorema 1.
↑ Matsumura 1970 , Cap. 2. Teorema 7
^ Bourbaki 2006 , Capítulo 5, §1, Proposición 5
↑ Atiyah y Macdonald 1994 , Cap. 5. Ejercicio 35
↑ "Sección 32.14 (05JW): Morfismos universalmente cerrados: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 11 de mayo de 2020 .
↑ Stein. Introducción computacional a la teoría algebraica de números (PDF) . pág. 101.
^ Un ejercicio en Atiyah & Macdonald 1994
^ Bourbaki 2006 , capítulo 5, §1, proposición 9
↑ Prueba: Sea $\phi :B\to B[t]$ sea un homomorfismo de anillos tal que $\phi (b_{n})=b_{n}t^{n}$ si $b_{n}$ es homogéneo de grado n . El cierre integral de $A[t]$ en $B[t]$ es $A'[t]$ , dónde $A'$ es la clausura integral de A en B. Si b en B es integral sobre A , entonces $\phi (b)$ es integral sobre $A[t]$ ; es decir, está en $A'[t]$ . Es decir, cada coeficiente $b_{n}$ en el polinomio $\phi (b)$ está en A.
↑ Ejercicio 4.14 en Eisenbud 1995
↑ Definición 1.1.1 en Huneke y Swanson 2006
↑ Ejercicio 4.15 en Eisenbud 1995
↑ Observación 1.1.3 en Huneke y Swanson 2006
↑ Capítulo 12 de Huneke y Swanson 2006
↑ Huneke y Swanson 2006 , Ejemplo 12.2.1
↑ Huneke y Swanson 2006 , Ejercicio 4.9
^ Atiyah y Macdonald 1994 , capítulo 5. Proposición 5.17
↑ Hartshorne 1977 , Cap. I. Teorema 3.9 A
↑ Huneke y Swanson 2006 , Teorema 4.3.4
↑ Matsumura 1970 , Cap. 12
↑ de Jong, Theo (1998). "Un algoritmo para calcular el cierre integral". Journal of Symbolic Computation . 26 (3): 273– 277. doi : 10.1006/jsco.1998.0216 .
↑ de Jong, Theo (1998). "Un algoritmo para calcular el cierre integral". Journal of Symbolic Computation . 26 (3): 273– 277. doi : 10.1006/jsco.1998.0216 .
↑ Capítulo 4 de Reid.
↑ Melvin Hochster , Math 711: Conferencia del 7 de septiembre de 2007

Referencias

Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1994) [1969]. Introducción al álgebra conmutativa . Addison–Wesley. ISBN 0-201-40751-5.
Bourbaki, Nicolás (2006). Algèbre conmutativo . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-33937-3.
Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Springer-Verlag , ISBN 0-387-94268-8
Kaplansky, Irving (septiembre de 1974). Anillos conmutativos . Lecciones de matemáticas. University of Chicago Press . ISBN 0-226-42454-5.
Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Matsumura, H (1970), Álgebra conmutativa
H. Matsumura. Teoría de anillos conmutativos. Traducido del japonés por M. Reid. Segunda edición. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
Milne, JS (19 de julio de 2020). "Teoría algebraica de números" .
Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Cierre integral de ideales, anillos y módulos , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 336, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4MR 2266432 , archivado del original el 15/11/2019 , recuperado el 01/03/2011 .
M. Reid , Álgebra conmutativa para estudiantes de pregrado , London Mathematical Society, 29 , Cambridge University Press, 1995.

Lecturas adicionales

Irena Swanson, Cierres integrales de ideales y anillos. Archivado el 5 de noviembre de 2011 en Wayback Machine.
¿Las álgebras DG poseen alguna noción sensata de cierre integral?
Es $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ siempre una extensión integral de $k[f_{1},\ldots ,f_{n}]$ para una secuencia regular $(f_{1},\ldots ,f_{n})$ ¿

[1] La ecuación anterior a veces se denomina ecuación integral y se dice que b depende integralmente de A (a diferencia de la dependencia algebraica ).

[2] Milne 2020 , Teorema 6.4

[3] Kaplansky 1974 , 1.2. Ejercicio 4.

[4] Hartshorne 1977 , Cap. II, Ejercicio 5.14

[5] Esta demostración se debe a Dedekind (Milne, ANT). Alternativamente, se pueden usar polinomios simétricos para demostrar que los elementos enteros forman un anillo. (loc. cit.)

[6] Capítulo 2 de Huneke y Swanson 2006

[7] Kaplansky 1974 , Teorema 42

[8] Bourbaki 2006 , Cap. 5, §2, Corolario 4 del Teorema 1.

[9] Matsumura 1970 , Cap. 2. Teorema 7

[10] Bourbaki 2006 , Capítulo 5, §1, Proposición 5

[11] Atiyah y Macdonald 1994 , Cap. 5. Ejercicio 35

[12] "Sección 32.14 (05JW): Morfismos universalmente cerrados: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 11 de mayo de 2020 .

[13] Stein. Introducción computacional a la teoría algebraica de números (PDF) . pág. 101.

[14] Un ejercicio en Atiyah & Macdonald 1994

[15] Bourbaki 2006 , capítulo 5, §1, proposición 9

[16] Prueba: Sea $\phi :B\to B[t]$ sea un homomorfismo de anillos tal que $\phi (b_{n})=b_{n}t^{n}$ si $b_{n}$ es homogéneo de grado n . El cierre integral de $A[t]$ en $B[t]$ es $A'[t]$ , dónde $A'$ es la clausura integral de A en B. Si b en B es integral sobre A , entonces $\phi (b)$ es integral sobre $A[t]$ ; es decir, está en $A'[t]$ . Es decir, cada coeficiente $b_{n}$ en el polinomio $\phi (b)$ está en A.

[17] Ejercicio 4.14 en Eisenbud 1995

[18] Definición 1.1.1 en Huneke y Swanson 2006

[19] Ejercicio 4.15 en Eisenbud 1995

[20] Observación 1.1.3 en Huneke y Swanson 2006

[21] Capítulo 12 de Huneke y Swanson 2006

[22] Huneke y Swanson 2006 , Ejemplo 12.2.1

[23] Huneke y Swanson 2006 , Ejercicio 4.9

[24] Atiyah y Macdonald 1994 , capítulo 5. Proposición 5.17

[25] Hartshorne 1977 , Cap. I. Teorema 3.9 A

[26] Huneke y Swanson 2006 , Teorema 4.3.4

[27] Matsumura 1970 , Cap. 12

[28] Jong, Theo (1998). "Un algoritmo para calcular el cierre integral". Journal of Symbolic Computation . 26 (3): 273– 277. doi : 10.1006/jsco.1998.0216 .

[29] Jong, Theo (1998). "Un algoritmo para calcular el cierre integral". Journal of Symbolic Computation . 26 (3): 273– 277. doi : 10.1006/jsco.1998.0216 .

[30] Capítulo 4 de Reid.

[31] Melvin Hochster , Math 711: Conferencia del 7 de septiembre de 2007

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