lema de evitación prima

En álgebra , el lema de evitación de primos dice que si un ideal I en un anillo conmutativo R está contenido en una unión de un número finito de ideales primos P _i 's, entonces está contenido en P _i para algún i .

Existen muchas variantes del lema (véase Hochster); por ejemplo, si el anillo R contiene un cuerpo infinito o un cuerpo finito de cardinalidad suficientemente grande , entonces la afirmación se deduce de un hecho del álgebra lineal que establece que un espacio vectorial sobre un cuerpo infinito o un cuerpo finito de cardinalidad grande no es una unión finita de sus subespacios vectoriales propios. ^{[ 1 ]}

La siguiente afirmación y argumento son quizás los más comunes.

Teorema ( Lema de evitación de primos ) : Sea E un subconjunto de un anillo conmutativo R que es un subgrupo aditivo de R y es multiplicativamente cerrado . (En particular, E podría ser un subanillo o ideal de R ). Sea${\displaystyle I_{1},I_{2},\dots,I_{n},n\geq 1}$sean ideales tales que${\displaystyle I_{i}}$son ideales primordiales para${\displaystyle i\geq 3}$. Si E no está contenido en ninguno de los${\displaystyle I_{i}}$, entonces E no está contenido en la unión${\textstyle \bigcup I_{i}}$.

Demostración por inducción sobre n : La idea es encontrar un elemento de R que esté en E y no en ninguno de los${\displaystyle I_{i}}$El caso base${\displaystyle n=1}$es trivial. Supongamos ahora que${\displaystyle n\geq 2}$. Para cada i , elige

${\displaystyle z_{i}\in E\setminus \bigcup _{j\neq i}I_{j}}$,

donde cada uno de los conjuntos de la derecha no es vacío por la hipótesis inductiva. Podemos suponer${\displaystyle z_{i}\in I_{i}}$para todo i ; de lo contrario, hay algún${\displaystyle z_{k}}$entre ellos que evita todo el${\displaystyle I_{i}}$y hemos terminado. Pon

${\displaystyle z=z_{1}\cdots z_{n-1}+z_{n}}$.

Debido a que E es cerrado bajo la suma y la multiplicación, z está en E por construcción. Afirmamos que z no está en ninguno de los${\displaystyle I_{i}}$. De hecho, si${\displaystyle z\in I_{i}}$para algunos${\displaystyle i\leq n-1}$, entonces${\displaystyle z_{n}\in I_{i}}$, una contradicción. Supongamos ahora que${\displaystyle z\in I_{n}}$. Entonces ${\ Displaystyle z_ {1} \ cdots z_ {n-1} \ en I_ {n}}$. Si${\displaystyle n=2}$, esto ya es una contradicción. Si${\displaystyle n>2}$, entonces, ya que${\displaystyle I_{n}}$es un ideal primordial,${\displaystyle z_{i}\in I_{n}}$para algunos${\displaystyle i\leq n-1}$, de nuevo una contradicción.${\displaystyle \square }$

Existe la siguiente variante de evitación de números primos debida a E. Davis .

Prueba: ^{[ 3 ]} Argumentamos por inducción sobre r . Sin pérdida de generalidad , podemos suponer que no existe ninguna relación de inclusión entre los${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$'s; ya que de lo contrario podemos usar la hipótesis inductiva.

Además, si${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {p}}_{i}}$para cada i , entonces hemos terminado; por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos asumir${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$. Por hipótesis inductiva, encontramos un y en J tal que${\displaystyle x+y\in I-\cup _{1}^{r-1}{\mathfrak {p}}_{i}}$. Si${\displaystyle x+y}$no está en${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$, hemos terminado. De lo contrario, tenga en cuenta que${\displaystyle J\not \subset {\mathfrak {p}}_{r}}$(desde${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}_{r}}$) y desde${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$es un ideal primordial, tenemos:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}\not \supset J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$.

Por lo tanto, podemos elegir${\displaystyle y'}$en${\displaystyle J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}}$eso no está en${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{r}}$. Entonces, dado que${\displaystyle x+y\in {\mathfrak {p}}_{r}}$, el elemento${\displaystyle x+y+y'}$posee la propiedad requerida.${\displaystyle \square }$

• Mel Hochster , Teoría de la dimensión y sistemas de parámetros , una nota complementaria
• Matsumura, Hideyuki (1986). Teoría de anillos conmutativos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol.  8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. SEÑOR 0879273 . Zbl 0603.13001 .