Independencia algebraica

En álgebra abstracta , un subconjunto${\displaystyle S}$de un campo${\displaystyle L}$es algebraicamente independiente sobre un subcampo${\displaystyle K}$si los elementos de${\displaystyle S}$no satisfacen ninguna ecuación polinómica no trivial con coeficientes en${\displaystyle K}$.

En particular, un conjunto de un elemento${\displaystyle \{\alpha \}}$es algebraicamente independiente sobre${\displaystyle K}$si y solo si${\displaystyle \alpha }$es trascendental sobre${\displaystyle K}$En general, cualquier elemento de un conjunto algebraicamente independiente${\displaystyle S}$encima${\displaystyle K}$es por necesidad trascendental sobre${\displaystyle K}$y sobre todas las extensiones de campo de${\displaystyle K}$generado por los elementos restantes de${\displaystyle S}$.

Las cifras reales${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$y${\displaystyle 2\pi +1}$son números trascendentales : no son las raíces de ningún polinomio no trivial cuyos coeficientes sean números racionales . Por lo tanto, los conjuntos${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$y${\displaystyle \{2\pi +1\}}$ambas son algebraicamente independientes sobre los números racionales.

Sin embargo, el conjunto${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$no es algebraicamente independiente sobre los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$, debido al polinomio no trivial

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

es cero cuando${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$y${\displaystyle y=2\pi +1}$.

Aunque π y e son trascendentales, no se sabe si${\displaystyle \{\pi ,e\}}$es algebraicamente independiente sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 1 ]} De hecho, ni siquiera se sabe si${\displaystyle \pi +e}$es irracional. ^{[ 2 ]} Nesterenko demostró en 1996 que:

• los números${\displaystyle \pi }$,${\displaystyle e^{\pi }}$, y${\displaystyle \Gamma (1/4)}$, dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función gamma , son algebraicamente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 3 ]}
• los números${\displaystyle \pi ,e^{\pi {\sqrt {3}}}}$, y${\displaystyle \Gamma (1/3)}$son algebraicamente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• para todos los enteros positivos n , los números${\displaystyle \pi }$y${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$son algebraicamente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {Q} .}$^{[ 4 ]}

El teorema de Lindemann-Weierstrass se puede utilizar a menudo para demostrar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Afirma que siempre que${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$son números algebraicos que son linealmente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, entonces${\displaystyle e^{\alpha _ {1}},\ldots,e^{\alpha _ {n}}}$son también algebraicamente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

La conjetura de Schanuel establecería la independencia algebraica de muchos números, incluidos π y e , pero aún no ha sido demostrada:

Dejar${\displaystyle \{z_{1},...,z_{n}\}}$ser cualquier conjunto de${\displaystyle n}$números complejos que son linealmente independientes sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$La extensión del campo${\displaystyle \mathbb {Q} (z_{1},...,z_{n},e^{z_{1}},...,e^{z_{n}})}$tiene al menos grado de trascendencia${\displaystyle n}$encima${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Dado un campo de extensión${\displaystyle L/K}$que no es algebraico, el lema de Zorn se puede usar para demostrar que siempre existe un subconjunto maximal algebraicamente independiente de${\displaystyle L}$encima${\displaystyle K}$Además, todos los subconjuntos algebraicamente independientes máximos tienen la misma cardinalidad , conocida como grado de trascendencia de la extensión.

Para cada conjunto finito${\displaystyle S}$de elementos de${\displaystyle L}$, los subconjuntos algebraicamente independientes de${\displaystyle S}$satisfacen los axiomas que definen los conjuntos independientes de un matroide . En este matroide, el rango de un conjunto de elementos es su grado de trascendencia, y el plano generado por un conjunto${\displaystyle T}$de elementos es la intersección de${\displaystyle L}$con el campo${\displaystyle K[T]}$Un matroide que se puede generar de esta manera se llama matroide algebraico . No se conoce una buena caracterización de los matroides algebraicos, pero se sabe que ciertos matroides no son algebraicos; el más pequeño es el matroide de Vámos . ^{[ 5 ]}

Muchos matroides finitos pueden representarse mediante una matriz sobre un campo.${\displaystyle K}$En este caso, los elementos del matroide corresponden a las columnas de la matriz, y un conjunto de elementos es independiente si el conjunto de columnas correspondiente es linealmente independiente . Todo matroide con una representación lineal de este tipo también puede representarse como un matroide algebraico, eligiendo una indeterminada para cada fila de la matriz y utilizando los coeficientes de la matriz dentro de cada columna para asignar a cada elemento del matroide una combinación lineal de estas trascendentales. Lo contrario es falso: no todo matroide algebraico tiene una representación lineal. ^{[ 6 ]}

• Independencia lineal
• Número trascendental
• Teorema de Lindemann-Weierstrass
• La conjetura de Schanuel

• Chen, Johnny. "Algebraicamente independiente" . MathWorld .