Extensión puramente inseparable

En álgebra , una extensión puramente inseparable de cuerpos es una extensión k ⊆ K de cuerpos de característica p > 0 tal que cada elemento de K es una raíz de una ecuación de la forma x ^q = a , donde q es una potencia de p y a pertenece a k . Las extensiones puramente inseparables a veces se denominan extensiones radicales , que no deben confundirse con la noción de extensiones radicales, de nombre similar pero más general .      

Una extensión algebraica${\displaystyle E\supseteq F}$es una extensión puramente inseparable si y solo si para cada${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$, el polinomio mínimo de${\displaystyle \alpha }$sobre F no es un polinomio separable . ^{[ 1 ]} Si F es cualquier cuerpo, la extensión trivial${\displaystyle F\supseteq F}$es puramente inseparable; para que el cuerpo F posea una extensión puramente inseparable no trivial , debe ser imperfecto como se describe en la sección anterior.

Se conocen varias definiciones equivalentes y más concretas para la noción de una extensión puramente inseparable. Si${\displaystyle E\supseteq F}$es una extensión algebraica con característica prima (no nula) p , entonces las siguientes son equivalentes: ^{[ 2 ]}

1. E es completamente inseparable de F.
2. Para cada elemento${\displaystyle \alpha \in E}$, existe${\displaystyle n\geq 0}$de tal manera que${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}$.
3. Cada elemento de E tiene un polinomio mínimo sobre F de la forma${\displaystyle X^{p^{n}}-a}$para algún número entero${\displaystyle n\geq 0}$y algún elemento${\displaystyle a\in F}$.

De las caracterizaciones equivalentes anteriores se deduce que si${\displaystyle E=F[\alpha ]}$(para F un cuerpo de característica prima) tal que${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}$para algún número entero${\displaystyle n\geq 0}$, entonces E es puramente inseparable sobre F . ^{[ 3 ]} (Para ver esto, observe que el conjunto de todos los x tales que${\displaystyle x^{p^{n}}\in F}$para algunos${\displaystyle n\geq 0}$forma un campo; dado que este campo contiene ambos${\displaystyle \alpha }$y F , debe ser E , y por la condición 2 anterior,${\displaystyle E\supseteq F}$deben ser absolutamente inseparables.)

Si F es un cuerpo imperfecto de característica prima p , elija${\displaystyle a\in F}$tal que a no sea una potencia p en F , y sea f ( X )  = X ^p − a . Entonces f no tiene raíz en F , y por lo tanto, si E es un cuerpo de descomposición para f sobre F , es posible elegir   ${\displaystyle \alpha }$con${\displaystyle f(\alpha )=0}$. En particular,${\displaystyle \alpha ^{p}=a}$y por la propiedad indicada en el párrafo inmediatamente anterior, se deduce que${\displaystyle F[\alpha ]\supseteq F}$es una extensión no trivial puramente inseparable (de hecho,${\displaystyle E=F[\alpha ]}$, y entonces${\displaystyle E\supseteq F}$es automáticamente una extensión puramente inseparable). ^{[ 4 ]}

Las extensiones puramente inseparables ocurren de forma natural; por ejemplo, en geometría algebraica sobre cuerpos de característica prima. Si K es un cuerpo de característica p , y si V es una variedad algebraica sobre K de dimensión mayor que cero, el cuerpo de funciones K ( V ) es una extensión puramente inseparable sobre el subcuerpo K ( V ) ^p de potencias p -ésimas (esto se deduce de la condición 2 anterior). Tales extensiones aparecen en el contexto de la multiplicación por p en una curva elíptica sobre un cuerpo finito de característica p .

Jacobson ( 1937 , 1944 ) introdujo una variación de la teoría de Galois para extensiones puramente inseparables de exponente 1, donde los grupos de Galois de automorfismos de cuerpos en la teoría de Galois se reemplazan por álgebras de Lie restringidas de derivaciones. El caso más simple es para extensiones puramente inseparables de índice finito K ⊆ L de exponente a lo sumo 1 (lo que significa que la p -ésima potencia de cada elemento de L está en K ). En este caso, el álgebra de Lie de K -derivaciones de L es un álgebra de Lie restringida que también es un espacio vectorial de dimensión n sobre L , donde [ L : K ] = p ⁿ , y los cuerpos intermedios en L que contienen K corresponden a las subálgebras de Lie restringidas de esta álgebra de Lie que son espacios vectoriales sobre L. Aunque el álgebra de Lie de derivaciones es un espacio vectorial sobre L , en general no es un álgebra de Lie sobre L , sino un álgebra de Lie sobre K de dimensión n [ L : K ] = np ⁿ .     

Una extensión puramente inseparable se denomina extensión modular si es un producto tensorial de extensiones simples; por lo tanto, en particular, toda extensión de exponente 1 es modular, pero existen extensiones no modulares de exponente 2 ( Weisfeld 1965 ) . Sweedler (1968) y Gerstenhaber y Zaromp (1970) extendieron la correspondencia de Galois a extensiones modulares puramente inseparables, donde las derivaciones se reemplazan por derivaciones de orden superior.

• Teorema de Jacobson-Bourbaki

• Gerstenhaber, Murray ; Zaromp, Avigdor (1970), "Sobre la teoría de Galois de extensiones de campos puramente inseparables", Bulletin of the American Mathematical Society , 76 (5): 1011–1014 , doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12535-6 , ISSN 0002-9904 , MR 0266904  
• Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1.ª  ed.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Jacobson, Nathan (1937), "Derivación abstracta y álgebras de Lie", Transactions of the American Mathematical Society , 42 (2), Providence, RI: American Mathematical Society : 206–224 , doi : 10.2307/1989656 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1989656  
• Jacobson, Nathan (1944), "Teoría de Galois de campos puramente inseparables de exponente uno", American Journal of Mathematics , 66 (4): 645– 648, doi : 10.2307/2371772 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371772 , MR 0011079   
• Sweedler, Moss Eisenberg (1968), "Estructura de extensiones inseparables", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 87 (3): 401– 410, doi : 10.2307/1970711 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970711 , MR 0223343   
• Weisfeld, Morris (1965), "Extensiones puramente inseparables y derivaciones superiores", Transactions of the American Mathematical Society , 116 : 435–449 , doi : 10.2307/1994126 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994126 , MR 0191895