Extensión radical

En matemáticas y más específicamente en teoría de campos , una extensión radical de un campo K es una extensión de K que se obtiene al adjuntar una secuencia de raíces n -ésimas de elementos.

Una extensión radical simple es una extensión simple F / K generada por un solo elemento que satisface para un elemento b de K . En la característica p , también tomamos una extensión por una raíz de un polinomio de Artin–Schreier como una extensión radical simple. Una serie radical es una torre donde cada extensión es una extensión radical simple. ${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \alpha ^{n}=b}$ ${\displaystyle K=F_{0}<F_{1}<\cdots <F_{k}}$$Estilo de visualización F_{i}/F_{i-1}}$

1. Si E es una extensión radical de F y F es una extensión radical de K , entonces E es una extensión radical de K.
2. Si E y F son extensiones radicales de K en un campo de extensión C de K , entonces el compuesto EF (el subcampo más pequeño de C que contiene tanto a E como a F ) es una extensión radical de K .
3. Si E es una extensión radical de F y E  >  K  >  F entonces E es una extensión radical  de K.

Las extensiones radicales ocurren naturalmente cuando se resuelven ecuaciones polinómicas en radicales . De hecho, una solución en radicales es la expresión de la solución como un elemento de una serie radical: se dice que un polinomio f sobre un cuerpo K es resoluble por radicales si hay un cuerpo de descomposición de f sobre K contenido en una extensión radical de K.

El teorema de Abel-Ruffini establece que tal solución por radicales no existe, en general, para ecuaciones de grado al menos cinco. Évariste Galois demostró que una ecuación es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble . La demostración se basa en el teorema fundamental de la teoría de Galois y el siguiente teorema.

Sea K un cuerpo que contiene n raíces n- ésimas distintas de la unidad . Una extensión de K de grado n es una extensión radical generada por una raíz n- ésima de un elemento de K si y solo si es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es un grupo cíclico de orden n .

La prueba está relacionada con los resolventes de Lagrange . Sea una raíz primitiva n -ésima de la unidad (perteneciente a K ). Si la extensión es generada por con como un polinomio minimal , la aplicación induce un K -automorfismo de la extensión que genera el grupo de Galois, mostrando la implicación "sólo si". Por el contrario, si es un K -automorfismo que genera el grupo de Galois, y es un generador de la extensión, sea ${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización \alpha}$$Estilo de visualización x^{n}-a$${\displaystyle \alpha \mapsto \omega \alpha}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \beta}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=0}^{n-1}\omega ^{-i}\phi ^{i}(\beta ).}$

La relación implica que el producto de los conjugados de (es decir, las imágenes de por los K -automorfismos) pertenece a K , y es igual al producto de por el producto de las n ésimas raíces de unidad. Como el producto de las n ésimas raíces de unidades es , esto implica que y, por lo tanto, que la extensión es una extensión radical. ${\displaystyle \phi (\alpha )=\omega \alpha }$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \alpha ^{n}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \alpha ^{n}\en K,}$

De este teorema se sigue que una extensión de Galois puede extenderse a una extensión radical si y sólo si su grupo de Galois es resoluble (pero hay extensiones de Galois no radicales cuyo grupo de Galois es resoluble, por ejemplo ). Este es, en terminología moderna, el criterio de resoluble por radicales que fue proporcionado por Galois. La prueba utiliza el hecho de que la clausura de Galois de una extensión radical simple de grado n es la extensión de la misma por una raíz n- ésima primitiva de la unidad, y que el grupo de Galois de las raíces n -ésimas de la unidad es cíclico. ${\textstyle \mathbb {Q} (\cos(2\pi /7))/\mathbb {Q} }$

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556
• Roman, Steven (2006). Teoría de campos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 158 (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-27677-7.Zbl 1172.12001  .