Álgebra de Lie restringida

En matemáticas , un álgebra de Lie restringida (o álgebra de Lie p ) es un álgebra de Lie sobre un cuerpo de característica p > 0 junto con una operación adicional de " potencia p ". La mayoría de las álgebras de Lie que aparecen de forma natural en característica p presentan esta estructura, ya que el álgebra de Lie de un esquema de grupo sobre un cuerpo de característica p es restringida.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Sea un álgebra de Lie sobre un cuerpo k de característica p > 0. La representación adjunta de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se define por${\displaystyle ({\text{ad }}X)(Y)=[X,Y]}$para${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$. Un mapeo p en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una función de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$a sí mismo,${\displaystyle X\mapsto X^{[p]}}$, satisfactorio: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle \mathrm {ad} (X^{[p]})=(\mathrm {ad} \;X)^{p}}$a pesar de${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$,
• ${\displaystyle (tX)^{[p]}=t^{p}X^{[p]}}$a pesar de${\displaystyle t\in k}$y${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$,
• ${\displaystyle (X+Y)^{[p]}=X^{[p]}+Y^{[p]}+\sum _{i=1}^{p-1}s_{i}(X,Y)}$a pesar de${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$, dónde${\displaystyle s_{i}(X,Y)}$es${\displaystyle 1/i}$veces el coeficiente de${\displaystyle t^{i-1}}$en la expresión formal${\displaystyle (\mathrm {anuncio} \;(tX+Y))^{p-1}(X)}$.

Nathan Jacobson (1937) definió un álgebra de Lie restringida sobre k como un álgebra de Lie sobre k junto con una p -aplicación. Se dice que un álgebra de Lie es restringible si tiene al menos una p -aplicación. Por la primera propiedad anterior, en un álgebra de Lie restringida, la derivación${\displaystyle (\mathrm {anuncio} \;X)^{p}}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es interior para cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. De hecho, un álgebra de Lie es restringible si y solo si la derivación${\displaystyle (\mathrm {anuncio} \;X)^{p}}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es interior para cada${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo:

• Para p = 2, un álgebra de Lie restringida tiene${\displaystyle (X+Y)^{[2]}=X^{[2]}+[Y,X]+Y^{[2]}}$.
• Para p = 3, un álgebra de Lie restringida tiene${\displaystyle (X+Y)^{[3]}=X^{[3]}+2[X,[Y,X]]+[Y,[Y,X]]+Y^{[3]}}$.

Para un álgebra asociativa A sobre un cuerpo k de característica p >0, el conmutador${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$y el mapeo p${\displaystyle X^{[p]}:=X^{p}}$convertir A en un álgebra de Lie restringida. ^{[ 1 ]} En particular, tomar A como el anillo de matrices n x n muestra que el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$de matrices n x n sobre k es un álgebra de Lie restringida, donde la p -mapa es la p -ésima potencia de una matriz. Esto "explica" la definición de un álgebra de Lie restringida: la fórmula complicada para${\displaystyle (X+Y)^{[p]}}$es necesario para expresar la p -ésima potencia de la suma de dos matrices sobre k ,${\displaystyle (X+Y)^{p}}$, dado que X e Y normalmente no conmutan.

Sea A un álgebra sobre un cuerpo k . (Aquí A es un álgebra posiblemente no asociativa ). Entonces, las derivaciones de A sobre k forman un álgebra de Lie.${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$, siendo el corchete de Lie el conmutador,${\ Displaystyle [D_ {1}, D_ {2}]: = D_ {1} D_ {2} -D_ {2} D_ {1}}$Cuando k tiene característica p > 0, entonces iterar una derivación p veces produce una derivación, y esto hace que${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$en un álgebra de Lie restringida. ^{[ 1 ]} Si A tiene dimensión finita como espacio vectorial , entonces${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$es el álgebra de Lie del esquema de grupo de automorfismos de A sobre k ; eso indica por qué los espacios de derivaciones son una forma natural de construir álgebras de Lie.

Sea G un esquema de grupo sobre un cuerpo k de característica p > 0, y sea${\displaystyle \mathrm {Mentira} (G)}$Sea G el espacio tangente de Zariski en el elemento identidad de G. Entonces${\displaystyle \mathrm {Mentira} (G)}$es un álgebra de Lie restringida sobre k . ^{[ 3 ]} Este es esencialmente un caso especial del ejemplo anterior. De hecho, cada elemento X de${\displaystyle \mathrm {Mentira} (G)}$determina un campo vectorial invariante por la izquierda en G y, por lo tanto, una derivación invariante por la izquierda en el anillo de funciones regulares en G. La p -ésima potencia de esta derivación es nuevamente una derivación invariante por la izquierda, por lo tanto, la derivación asociada a un elemento${\displaystyle X^{[p]}}$de${\displaystyle \mathrm {Mentira} (G)}$. Por el contrario, toda álgebra de Lie restringida de dimensión finita sobre k es el álgebra de Lie de un esquema de grupo. De hecho,${\displaystyle G\mapsto \mathrm {Mentira} (G)}$es una equivalencia de categorías de esquemas de grupos finitos G de altura como máximo 1 sobre k (lo que significa que${\displaystyle f^{p}=0}$para todas las funciones regulares f en G que se anulan en el elemento identidad) a álgebras de Lie restringidas de dimensión finita sobre k . ^{[ 4 ]}

En cierto sentido, esto significa que la teoría de Lie es menos potente en característica positiva que en característica cero. En característica p > 0, el grupo multiplicativo${\displaystyle G_{m}}$(de dimensión 1) y su esquema de subgrupos finitos${\displaystyle \mu _{p}=\{x\in G_{m}:x^{p}=1\}}$tienen la misma álgebra de Lie restringida, a saber, el espacio vectorial k con la aplicación p${\displaystyle a^{[p]}=a^{p}}$. De manera más general, el álgebra de Lie restringida de un esquema de grupo G sobre k solo depende del núcleo del homomorfismo de Frobenius en G , que es un esquema de subgrupo de altura como máximo 1. ^{[ 5 ]} Para otro ejemplo, el álgebra de Lie del grupo aditivo${\displaystyle G_{a}}$es el espacio vectorial k con p -mapa igual a cero. El núcleo de Frobenius correspondiente es el esquema de subgrupos.${\displaystyle \alpha _{p}=\{x\in G_{a}:x^{p}=0\}.}$

Para un esquema X sobre un campo k de característica p >0, el espacio${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$de campos vectoriales en X es un álgebra de Lie restringida sobre k . (Si X es afín , de modo que${\displaystyle X={\text{Especificación}}(A)}$Para un álgebra k - conmutativa A , esta es el álgebra de Lie de derivaciones de A sobre k . En general, se puede pensar informalmente en${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$como el álgebra de Lie del grupo de automorfismos de X sobre k .) Una acción de un esquema de grupo G sobre X determina un homomorfismo${\displaystyle {\text{Mentira}}(G)\to H^{0}(X,TX)}$de álgebras de Lie restringidas. ^{[ 6 ]}

Dados dos p -mapas en un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, su diferencia es una función p -lineal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$al centro${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$. ( La p -linealidad significa que${\displaystyle f(X+Y)=f(X)+f(Y)}$y${\displaystyle f(tX)=t^{p}f(X)}$.) Por lo tanto, si el centro de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es cero, entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie restringida en a lo sumo una forma. ^{[ 2 ]} En particular, este comentario se aplica a cualquier álgebra de Lie simple de característica p >0.

El functor que transforma un álgebra asociativa A sobre k en un álgebra de Lie restringida tiene un adjunto izquierdo .${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto u({\mathfrak {g}})}$, llamada álgebra envolvente restringida . Para construirla, sea${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$sea ​​el álgebra envolvente universal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre k (ignorando el mapeo p de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Sea I el ideal bilateral generado por los elementos${\displaystyle X^{p}-X^{[p]}}$para${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$; entonces el álgebra envolvente restringida es el anillo cociente${\displaystyle u({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {g}})/I}$. Satisface una forma del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt : si${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$es una base para${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$como un espacio vectorial k , entonces una base para${\displaystyle u({\mathfrak {g}})}$se proporciona con todos los productos pedidos${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$con${\displaystyle 0\leq i_{j}\leq p-1}$para cada j . En particular, el mapa${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to u({\mathfrak {g}})}$es inyectivo, y si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tiene dimensión n como espacio vectorial, entonces${\displaystyle u({\mathfrak {g}})}$tiene dimensión${\displaystyle p^{n}}$como un espacio vectorial. ^{[ 7 ]}

Una representación restringida V de un álgebra de Lie restringida${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$como un álgebra de Lie tal que${\displaystyle X^{[p]}(v)=X^{p}(v)}$a pesar de${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle v\in V}$. Representaciones restringidas de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$son equivalentes a módulos sobre el álgebra envolvente restringida.

Las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero fueron clasificadas por Wilhelm Killing y Élie Cartan en las décadas de 1880 y 1890, utilizando sistemas de raíces . Es decir, cada álgebra de Lie simple es de tipo A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , o G ₂ . ^{[ 8 ]} (Por ejemplo, el álgebra de Lie simple de tipo A _n es el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1)}$de matrices de ( n +1) x ( n +1) de traza cero.)

En característica p > 0, la clasificación de los grupos algebraicos simples es la misma que en característica cero. Sus álgebras de Lie son simples en la mayoría de los casos, por lo que existen álgebras de Lie simples A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ , llamadas (en este contexto) las álgebras de Lie simples clásicas . (Debido a que provienen de grupos algebraicos, las álgebras de Lie simples clásicas están restringidas). Sorprendentemente, también existen muchas otras álgebras de Lie simples de dimensión finita en característica p > 0. En particular, están las álgebras de Lie simples de tipo Cartan , que son análogos de dimensión finita de las álgebras de Lie de dimensión infinita en característica cero estudiadas por Cartan. En concreto, Cartan estudió el álgebra de Lie de campos vectoriales en una variedad diferenciable de dimensión n , o la subálgebra de campos vectoriales que preservan una forma de volumen , una forma simpléctica o una estructura de contacto . En característica p > 0, las álgebras de Lie simples de tipo Cartan incluyen ejemplos tanto restringibles como no restringibles. ^{[ 9 ]}

Richard Earl Block y Robert Lee Wilson (1988) clasificaron las álgebras de Lie simples restringidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 7. Es decir, todas son de tipo clásico o Cartan. Alexander Premet y Helmut Strade (2004) extendieron la clasificación a álgebras de Lie que no necesariamente están restringidas y a un rango más amplio de características. (En característica 5, Hayk Melikyan encontró otra familia de álgebras de Lie simples). Es decir, toda álgebra de Lie simple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 3 es de tipo clásico, Cartan o Melikyan. ^{[ 10 ]}

La correspondencia de Galois de Jacobson para extensiones de cuerpos puramente inseparables se expresa en términos de álgebras de Lie restringidas.

• Block, Richard E .; Wilson, Robert Lee (1988), "Clasificación de las álgebras de Lie simples restringidas", Journal of Algebra , 114 (1): 115–259 , doi : 10.1016/0021-8693(88)90216-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0931904  .
• Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tomo I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , París: Masson, ISBN 978-2225616662, MR 0302656 
• Jacobson, Nathan (1979) [1962], Álgebras de Lie , Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927 
• Jantzen, Jens Carsten (2003) [1987], Representaciones de grupos algebraicos (2ª  ed.), Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-3527-2, MR 2015057 
• Premet, Alexander; Strade, Helmut (2006), "Clasificación de álgebras de Lie simples de dimensión finita en características primas", Representaciones de grupos algebraicos, grupos cuánticos y álgebras de Lie , Contemporary Mathematics, vol.  413, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 185–214 , arXiv : math/0601380 , MR 2263096  
• Strade, Helmut; Farnsteiner, Rolf (1988), Álgebras modulares de Lie y sus representaciones , Marcel Dekker , ISBN 0-8247-7594-5, MR 0929682 
• Strade, Helmut (2004), Álgebras de Lie simples sobre cuerpos de característica positiva , vol.  1, Walter de Gruyter , ISBN 3-11-014211-2, MR 2059133