Toro

En geometría , un toro ( plural : toros ) es una superficie de revolución generada al girar un círculo en el espacio tridimensional una revolución completa alrededor de un eje coplanar con el círculo. Los principales tipos de toros incluyen toros anulares, toros de cuerno y toros de huso. A un toro anular se le conoce coloquialmente como rosquilla .

Si el eje de revolución no toca el círculo, la superficie tiene forma de anillo y se denomina toroide de revolución , también conocido como toroide anular . Si el eje de revolución es tangente al círculo, la superficie es un toroide de cuerno . Si el eje de revolución pasa dos veces por el círculo, la superficie es un toroide de huso (o toroide autointersecante ) . Si el eje de revolución pasa por el centro del círculo, la superficie es un toroide degenerado, una esfera doblemente cubierta . Si la curva de revolución no es un círculo, la superficie se denomina toroide , como en el caso de un toroide cuadrado.

Entre los objetos del mundo real que se aproximan a un toroide de revolución se incluyen los flotadores , las cámaras de aire y los aros de ringette .

Un toroide es diferente de un toroide sólido , que se forma al girar un disco , en lugar de un círculo, alrededor de un eje. Un toroide sólido es un toroide más el volumen que contiene. Algunos objetos del mundo real que se aproximan a un toroide sólido son las juntas tóricas , los salvavidas no inflables , las rosquillas y los bagels .

En topología , un toro de anillo es homeomorfo al producto cartesiano de dos círculos : S ¹ × S ¹ , que a veces se usa como definición. Es una 2-variedad compacta de género 1. El toro de anillo es una forma de incrustar este espacio en el espacio euclidiano , pero otra forma de hacerlo es el producto cartesiano de la incrustación de S ¹ en el plano consigo mismo. Esto produce un objeto geométrico llamado toro de Clifford , una superficie en el espacio 4-dimensional .

En el campo de la topología , un toro es cualquier espacio topológico que es homeomorfo a un toro. ^{[ 1 ]} La superficie de una taza de café y una rosquilla son ambos toros topológicos con género uno.

Un ejemplo de toroide se puede construir tomando una tira rectangular de material flexible como el caucho y uniendo el borde superior con el borde inferior, y el borde izquierdo con el borde derecho, sin ninguna torsión parcial (compárese con la botella de Klein ).

Torus es una palabra latina que denota algo redondo, una hinchazón, una elevación, una protuberancia.

Mitades inferiores y secciones transversales verticales

R > r : anillo toroide o anillo de anclaje

R = r : toroide de cuerno

R < r : toroide de huso autointersecante

Un toro de revolución en el espacio tridimensional puede parametrizarse como: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\sin \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\sin \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\cos \theta \\\end{aligned}}}$$ utilizando coordenadas angulares${\displaystyle \theta ,\varphi \in [0,2\pi )}$, que representan la rotación alrededor del tubo y la rotación alrededor del eje de revolución del toro, respectivamente, donde el radio mayor R es la distancia desde el centro del tubo hasta el centro del toro y el radio menor r es el radio del tubo. ^{[ 3 ]}

La relación R / r se denomina relación de aspecto del toroide. Un típico dulce con forma de rosquilla tiene una relación de aspecto de aproximadamente 3 a 2.

Una ecuación implícita en coordenadas cartesianas para un toro radialmente simétrico respecto al eje z es $${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}=r^{2}.}$$

Al eliminar algebraicamente la raíz cuadrada se obtiene una ecuación cuártica , $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$$

Las tres clases de toros estándar corresponden a las tres posibles relaciones de aspecto entre R y r :

• Cuando R > r , la superficie será el conocido toroide anular o anillo de anclaje.
• R = r corresponde al toroide de cuerno, que en efecto es un toroide sin "agujero".
• R < r describe el toro de huso autointersecante; su capa interior es un limón y su capa exterior es una manzana .
• Cuando R = 0 , el toro degenera en el radio de la esfera r .
• Cuando r = 0 , el toro degenera al radio del círculo R.

Cuando R ≥ r , el interior$${\displaystyle {\textstyle {\bigl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R{\bigr )}^{2}}+z^{2}<r^{2}}$$ de este toro es difeomorfo (y, por lo tanto, homeomorfo) a un producto de un disco abierto euclidiano y un círculo. El volumen de este toro sólido y el área de su superficie se calculan fácilmente utilizando el teorema del centroide de Pappus , dando como resultado: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr,\\[5mu]V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}.\end{aligned}}}$$Estas fórmulas son las mismas que para un cilindro de longitud 2πR y radio r , obtenido al cortar el tubo a lo largo del plano de un círculo pequeño y desenrollarlo enderezando (rectificando) la línea que pasa por el centro del tubo. Las pérdidas de superficie y volumen en la cara interior del tubo compensan exactamente las ganancias en la cara exterior.

Expresando el área de la superficie y el volumen mediante la distancia p de un punto más externo en la superficie del toro al centro, y la distancia q de un punto más interno al centro (de modo que R = ⁠ p + q / 2 ⁠ y r = ⁠ p − q / 2 ⁠ ), se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(p-q),\\[5mu]V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}.\end{aligned}}}$$Dado que un toroide es el producto de dos círculos, a veces se utiliza una versión modificada del sistema de coordenadas esféricas . En las coordenadas esféricas tradicionales existen tres medidas: R , la distancia desde el centro del sistema de coordenadas, y θ y φ , ángulos medidos desde el punto central.

Como un toroide tiene, en efecto, dos centros, los centros de los ángulos se desplazan; φ mide el mismo ángulo que en el sistema esférico, pero se conoce como la dirección "toroidal". El centro de θ se desplaza al centro de r y se conoce como la dirección "poloidal". Estos términos se utilizaron por primera vez en una discusión sobre el campo magnético terrestre, donde "poloidal" se usaba para denotar "la dirección hacia los polos". ^{[ 5 ]}

En la actualidad, los términos toroidal y poloidal se utilizan con mayor frecuencia para referirse a los dispositivos de fusión por confinamiento magnético .

Topológicamente , un toro es una superficie cerrada definida como el producto de dos círculos : S ¹ × S ¹ . Esto puede considerarse que se encuentra en C ² y es un subconjunto de la 3-esfera S ³ de radio √2 . Este toro topológico también se denomina a menudo toro de Clifford . ^{[ 7 ]} De hecho, S ³ se completa mediante una familia de toros anidados de esta manera (con dos círculos degenerados), un hecho que es importante en el estudio de S ³ como fibrado sobre S ² (el fibrado de Hopf ).

La superficie descrita anteriormente, dada la topología relativa de R ³ , es homeomorfa a un toro topológico siempre que no interseque su propio eje. Un homeomorfismo particular se obtiene proyectando estereográficamente el toro topológico en R ³ desde el polo norte de S ³ .

El toroide también puede describirse como un cociente del plano cartesiano bajo las identificaciones

${\displaystyle (x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),\,}$

o, equivalentemente, como el cociente del cuadrado unitario al pegar los bordes opuestos, descrito como un polígono fundamental ABA ⁻¹ B ⁻¹ .

El grupo fundamental del toro es simplemente el producto directo del grupo fundamental del círculo consigo mismo:

${\displaystyle \pi _{1}(T^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathrm {Z} \times \mathrm {Z} .}$^{[ 8 ]}

Intuitivamente hablando, esto significa que una trayectoria cerrada que rodea el "agujero" del toro (por ejemplo, un círculo que traza una latitud determinada) y luego rodea el "cuerpo" del toro (por ejemplo, un círculo que traza una longitud determinada) puede deformarse en una trayectoria que rodea primero el cuerpo y luego el agujero. Así, las trayectorias estrictamente latitudinales y las estrictamente longitudinales conmutan. Una afirmación equivalente podría imaginarse como dos cordones de zapatos que se cruzan, se desenrollan y luego se vuelven a enrollar.

El grupo fundamental también se puede derivar tomando el toro como cociente.${\displaystyle T^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$(véase más abajo), de modo que${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$puede tomarse como su cubierta universal , con grupo de transformación de cubierta${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}=\pi _{1}(T^{2})}$.

Sus grupos de homotopía superiores son todos triviales, ya que una proyección de recubrimiento universal${\displaystyle p:{\widetilde {X}}\rightarrow X}$siempre induce isomorfismos entre los grupos${\displaystyle \pi _{n}({\widetilde {X}})}$y${\displaystyle \pi _{n}(X)}$para${\displaystyle n>1}$, y${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$es contraíble .

El toro tiene grupos de homología :

${\displaystyle H_{n}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&n=0,2\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} ,&n=1\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$

Así, el primer grupo de homología del toro es isomorfo a su grupo fundamental, lo cual en particular se puede deducir del teorema de Hurewicz, ya que${\displaystyle \pi _{1}(T^{2})}$es abeliano .

Los grupos de cohomología con coeficientes enteros son isomorfos a los grupos de homología, lo cual puede comprobarse mediante cálculo directo, el teorema del coeficiente universal o incluso la dualidad de Poincaré .

Si se perfora un toroide y se le da la vuelta, se obtiene otro toroide con los ejes de latitud y longitud intercambiados. Esto equivale a construir un toroide a partir de un cilindro, uniendo sus extremos circulares de dos maneras: por fuera, como al unir los extremos de una manguera de jardín, o por dentro, como al enrollar un calcetín (sin la punta). Además, si el cilindro se formó pegando dos lados opuestos de un rectángulo, elegir los otros dos lados provocará la misma inversión de orientación.

El toro bidimensional es un recubrimiento ramificado doble de la esfera bidimensional, con cuatro puntos de ramificación . Toda estructura conforme en el toro bidimensional puede representarse como un recubrimiento bidimensional de la esfera bidimensional. Los puntos del toro que corresponden a los puntos de ramificación son los puntos de Weierstrass . De hecho, el tipo conforme del toro viene determinado por la razón antagónica de los cuatro puntos.

El toro tiene una generalización a dimensiones superiores, eltoro n -dimensional , a menudo llamado n- toroohipertoropara abreviar. (Este es el significado más típico del término "n-toro", el otro se refiere anagujeros o de géneron. ^{[ 9 ]} ) Así como el toro ordinario es topológicamente el espacio producto de dos círculos, eln-dimensional estopológicamente equivalenteal producto dencírculos. Es decir:

${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}.}$

El toroide estándar de dimensión 1 es simplemente el círculo: T ¹ = S ¹ . El toroide mencionado anteriormente es el toroide estándar de dimensión 2, T ² . De forma similar al toroide de dimensión 2, el toroide de dimensión n , T ^{n ,} puede describirse como un cociente de R ⁿ bajo traslaciones enteras en cualquier coordenada. Es decir, el toroide de dimensión n es R ⁿ módulo la acción de la red entera Z ⁿ (considerando la acción como una suma vectorial). De forma equivalente, el toroide de dimensión n se obtiene a partir del hipercubo de dimensión n uniendo las caras opuestas.

Un toro n -dimensional, en este sentido, es un ejemplo de variedad compacta n- dimensional . También es un ejemplo de grupo de Lie abeliano compacto . Esto se deduce del hecho de que el círculo unitario es un grupo de Lie abeliano compacto (cuando se identifica con los números complejos unitarios mediante la multiplicación). La multiplicación de grupos en el toro se define entonces mediante la multiplicación coordenada a coordenada.

Los grupos toroidales desempeñan un papel importante en la teoría de los grupos de Lie compactos . Esto se debe en parte a que en cualquier grupo de Lie compacto G siempre se puede encontrar un toro maximal ; es decir, un subgrupo cerrado que es un toro de la mayor dimensión posible. Estos toros maximales T tienen un papel fundamental en la teoría de G conexos . Los grupos toroidales son ejemplos de protoros , que (al igual que los toros) son grupos abelianos conexos compactos, que no necesariamente tienen que ser variedades .

Los automorfismos de T se construyen fácilmente a partir de automorfismos de la red Z ⁿ , que se clasifican mediante matrices integrales invertibles de tamaño n con una inversa integral; estas son simplemente las matrices integrales con determinante ±1 . Haciéndolas actuar sobre R ⁿ de la manera habitual, se obtiene el típico automorfismo toral sobre el cociente.

El grupo fundamental de un n -toro es un grupo abeliano libre de rango n . El k -ésimo grupo de homología de un n -toro es un grupo abeliano libre de rango n escoja k . De ello se deduce que la característica de Euler del n -toro es 0 para todo n . El anillo de cohomología H ^• (   ${\displaystyle T^{n}}$, Z ) se puede identificar con el álgebra exterior sobre el Z - módulo Z ⁿ cuyos generadores son los duales de los n ciclos no triviales. 

Espacio de configuración

Como el n -toro es el producto n -múltiple del círculo, el n -toro es el espacio de configuración de n puntos ordenados, no necesariamente distintos, en el círculo. Simbólicamente, T ⁿ = ( S ¹ ) ⁿ . El espacio de configuración de puntos no ordenados , no necesariamente distintos, es, por consiguiente, el orbifold T ⁿ / S ⁿ , que es el cociente del toro por el grupo simétrico en n letras (al permutar las coordenadas).

Para n = 2 , el cociente es la cinta de Möbius , cuya arista corresponde a los puntos del orbifold donde coinciden las dos coordenadas. Para n = 3, este cociente puede describirse como un toro sólido con sección transversal de un triángulo equilátero , con una torsión ; equivalentemente, como un prisma triangular cuyas caras superior e inferior están conectadas con una torsión de 1/3 (120°): el interior tridimensional corresponde a los puntos del toro tridimensional donde las tres coordenadas son distintas, la cara bidimensional corresponde a los puntos con dos coordenadas iguales y la tercera diferente, mientras que la arista unidimensional corresponde a los puntos con las tres coordenadas idénticas.

Estos orbifolds han encontrado aplicaciones significativas en la teoría musical en el trabajo de Dmitri Tymoczko y colaboradores (Felipe Posada, Michael Kolinas, et al.), siendo utilizados para modelar tríadas musicales . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Un toro plano es un toro cuya métrica se hereda de su representación como el cociente , R ² / L , donde L es un subgrupo discreto de R ² isomorfo a Z ² . Esto le da al cociente la estructura de una variedad riemanniana , así como la estructura de un grupo de Lie abeliano. Quizás el ejemplo más simple de esto es cuando L = Z ² : R ² / Z ² , que también puede describirse como el plano cartesiano bajo las identificaciones ( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1) . Este toro plano en particular (y cualquier versión uniformemente escalada del mismo) se conoce como el toro plano cuadrado .

Esta métrica del toro plano cuadrado también puede realizarse mediante incrustaciones específicas del conocido toro bidimensional en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones o en dimensiones superiores. Su superficie tiene curvatura gaussiana cero en todas partes. Es plana en el mismo sentido que la superficie de un cilindro. En tres dimensiones, se puede doblar una hoja de papel plana para formar un cilindro sin estirar el papel, pero este cilindro no se puede doblar para formar un toro sin estirar el papel (a menos que se renuncien a ciertas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, como se explica más adelante).

Una incrustación euclidiana simple de 4 dimensiones de un toro plano rectangular (más general que la cuadrada) es la siguiente:

${\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}$

donde R y P son constantes positivas que determinan la relación de aspecto. Es difeomorfo a un toro regular, pero no isométrico . No puede incrustarse analíticamente ( suave de clase C ^k , 2 ≤ k ≤ ∞ ) en el espacio euclidiano tridimensional. Para mapearlo al espacio tridimensional es necesario estirarlo, en cuyo caso se asemeja a un toro regular. Por ejemplo, en el siguiente mapeo:

${\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v).}$

Si R y P en la parametrización del toro plano anterior forman un vector unitario ( R , P ) = (cos( ​​η ), sin( η )), entonces u , v , y 0 < η < π/2 parametrizan la 3-esfera unitaria como coordenadas de Hopf . En particular, para ciertas elecciones muy específicas de un toro plano cuadrado en la 3-esfera S ³ , donde η = π/4 arriba, el toro particionará la 3-esfera en dos subconjuntos de toros sólidos congruentes con la superficie del toro plano antes mencionada como su frontera común . Un ejemplo es el toro T definido por

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z,w)\in S^{3}\mid x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}},\ z^{2}+w^{2}={\frac {1}{2}}\right\}.}$

Otros toros en S ³ que tienen esta propiedad de partición incluyen los toros cuadrados de la forma Q ⋅ T , donde Q es una rotación del espacio de 4 dimensiones R ⁴ , o en otras palabras Q es un miembro del grupo de Lie SO(4) .

Se sabe que no existe una incrustación C2 (dos veces continuamente diferenciable) de un toro plano en ^el espacio tridimensional. (La idea de la demostración consiste en tomar una esfera grande que contenga dicho toro plano en su interior y reducir el radio de la esfera hasta que toque el toro por primera vez. Dicho punto de contacto debe ser una tangencia. Pero esto implicaría que parte del toro, al tener curvatura cero en todas partes, debe estar estrictamente fuera de la esfera, lo cual es una contradicción). Por otro lado, según el teorema de Nash-Kuiper , demostrado en la década de 1950, existe una incrustación isométrica C1 . Esta es únicamente una demostración ^de existencia y no proporciona ecuaciones explícitas para dicha incrustación.

En abril de 2012, se encontró una incrustación isométrica explícita C ¹ (continuamente diferenciable) de un toro plano en el espacio euclidiano tridimensional R ^{3. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} Es un toro plano en el sentido de que, como espacio métrico, es isométrico a un toro cuadrado plano. Es similar en estructura a un fractal , ya que se construye mediante la ondulación repetida de un toro ordinario a escalas más pequeñas. Al igual que los fractales, no tiene una curvatura gaussiana definida. Sin embargo, a diferencia de los fractales, sí tiene normales de superficie definidas , lo que produce un llamado "fractal suave". La clave para obtener la suavidad de este toro ondulado es que las amplitudes de las ondulaciones sucesivas disminuyan más rápido que sus "longitudes de onda". ^{[ 16 ]} (Estas ondulaciones recursivas infinitas se utilizan únicamente para la incrustación en tres dimensiones; no son una característica intrínseca del toro plano). Esta es la primera vez que se define una incrustación de este tipo mediante ecuaciones explícitas o se representa mediante gráficos por computadora.

En la teoría de superficies existe una familia más general de objetos, las superficies de género g . Una superficie de género g es la suma conexa de g toros de dos dimensiones. (Por lo tanto, el toro mismo es la superficie de género 1). Para formar una suma conexa de dos superficies, se elimina de cada una el interior de un disco y se "pegan" las superficies a lo largo de los círculos límite. (Es decir, se fusionan los dos círculos límite para que se conviertan en un solo círculo). Para formar la suma conexa de más de dos superficies, se toma sucesivamente la suma conexa de dos de ellas a la vez hasta que todas estén conexas. En este sentido, una superficie de género g se asemeja a la superficie de g rosquillas pegadas una al lado de la otra, o a una esfera de 2 dimensiones con g asas añadidas.

Como ejemplos, una superficie de género cero (sin frontera) es la esfera bidimensional, mientras que una superficie de género uno (sin frontera) es el toro ordinario. Las superficies de género superior a veces se denominan toros con n agujeros (o, raramente, toros de n pliegues). También se utilizan ocasionalmente los términos toro doble y toro triple .

El teorema de clasificación para superficies establece que toda superficie compacta conexa es topológicamente equivalente a la esfera o a la suma conexa de algún número de toros, discos y planos proyectivos reales .

Los poliedros con el tipo topológico de un toro se denominan poliedros toroidales y tienen característica de Euler V − E + F = 0. Para cualquier número de agujeros, la fórmula se generaliza a V − E + F = 2 − 2 g , donde g es el género topológico.

Los poliedros toroidales se han utilizado para demostrar que el número máximo de colores para colorear un mapa en un toroide es siete. El poliedro de Szilassi es un ejemplo de poliedro toroidal con esta propiedad. ^{[ 17 ]}

El poliedro dual del poliedro de Szilassi, el poliedro de Császár , es el único poliedro, aparte del tetraedro, que tiene la propiedad de que toda arista posible que conecta dos vértices es una arista del poliedro. ^{[ 18 ]}

El término "poliedro toroidal" también se utiliza para poliedros de género superior y para inmersiones de poliedros toroidales, aunque algunos autores solo incluyen aquellos con género 1. ^{[ 19 ]}

Los poliedros toroidales que se autocruzan están determinados por la topología de su variedad abstracta. Un subconjunto de los poliedros toroidales que se autocruzan son los poliedros corona, que son los únicos poliedros toroidales que también son nobles .

El grupo de homeomorfismos (o el subgrupo de difeomorfismos) del toro se estudia en topología geométrica . Su grupo de clases de mapeo (las componentes conexas del grupo de homeomorfismos) es sobreyectivo sobre el grupo.${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbf {Z} )}$de matrices enteras invertibles, que pueden realizarse como aplicaciones lineales en el espacio de recubrimiento universal${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$que preservan la red estándar${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}}$(esto corresponde a coeficientes enteros) y por lo tanto descienden al cociente.

En el nivel de homotopía y homología , el grupo de clases de mapeo puede identificarse como la acción sobre la primera homología (o equivalentemente, la primera cohomología, o sobre el grupo fundamental , ya que todos estos son naturalmente isomorfos; además, el primer grupo de cohomología genera el álgebra de cohomología :

${\displaystyle \operatorname {MCG} _{\operatorname {Ho} }(T^{n})=\operatorname {Aut} (\pi _{1}(X))=\operatorname {Aut} (\mathbf {Z} ^{n})=\operatorname {GL} (n,\mathbf {Z} ).}$

Dado que el toro es un espacio de Eilenberg-MacLane K ( G , 1) , sus equivalencias homotópicas, salvo homotopía, pueden identificarse con automorfismos del grupo fundamental); todas las equivalencias homotópicas del toro pueden realizarse mediante homeomorfismos: toda equivalencia homotópica es homotópica a un homeomorfismo.

Por lo tanto, la secuencia exacta corta de las divisiones del grupo de clases de mapeo (una identificación del toro como el cociente de${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$proporciona una división, a través de los mapas lineales, como se indicó anteriormente):

${\displaystyle 1\to \operatorname {Homeo} _{0}(T^{n})\to \operatorname {Homeo} (T^{n})\to \operatorname {MCG} _{\operatorname {TOP} }(T^{n})\to 1.}$

La clasificación de las superficies de géneros superiores es mucho más compleja y constituye un área de investigación activa.

El número de Heawood del toro es siete, lo que significa que cada grafo que se puede incrustar en el toro tiene un número cromático de como máximo siete. (Dado que el grafo completo${\displaystyle {\mathsf {K_{7}}}}$puede incrustarse en el toro, y${\displaystyle \chi ({\mathsf {K_{7}}})=7}$(El límite superior es ajustado). De forma equivalente, en un toro dividido en regiones, siempre es posible colorear las regiones con no más de siete colores de manera que ninguna región vecina tenga el mismo color. (Compárese con el teorema de los cuatro colores para el plano ).

En matemáticas combinatorias , un toro de De Bruijn es una matriz de símbolos de un alfabeto (generalmente solo 0 y 1) que contiene cada matriz de m × n exactamente una vez. Es un toro porque sus aristas se consideran envolventes para el cálculo de matrices. Su nombre proviene de la secuencia de De Bruijn , que puede considerarse un caso especial donde n es 1 (una dimensión). 

Un toro sólido de revolución puede ser cortado por n (> 0) planos en como máximo

${\displaystyle {\begin{pmatrix}n+2\\n-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}}={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)}$

partes. ^{[ 20 ]} (Esto supone que las piezas no se pueden reorganizar, sino que deben permanecer en su lugar para todos los cortes).

Los primeros 11 números de partes, para 0 ≤ n ≤ 10 (incluido el caso de n = 0 , no cubierto por las fórmulas anteriores), son los siguientes:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230, ... (secuencia A003600 en el OEIS ) .

• Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal , ISBN 978-970-10-6596-9, Autor: Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio, Editorial: McGraw-Hill, Edición 2007, 744 páginas, idioma: español
• Allen Hatcher. Topología algebraica . Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0.
• VV Nikulin, IR Shafarevich. Geometrías y grupos . Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4, ISBN 978-3-540-15281-1.
• "Tore (noción géométrique)" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

• Creación de un toroide en el nudo de corte
• "Toro 4D" : Secciones transversales de un toro de cuatro dimensiones.
• "Mapa de perspectiva relacional": Visualización de datos de alta dimensión con un toro plano.
• Polígonos, polígonos con forma de rosquilla
• Archivado en Ghostarchivey la Wayback Machine: Séquin, Carlo H (27 de enero de 2014). "Topología de un toro retorcido – Numberphile" (vídeo) . Brady Haran .
• Anders Sandberg (4 de febrero de 2014). "Tierra toroidal" . Recuperado el 24 de julio de 2019 .