Sección espiral

En geometría , una sección espiric , a veces llamada espiric de Perseo , es una curva plana cuártica definida por ecuaciones de la forma

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f.\,}$

De forma equivalente, las secciones espiricas pueden definirse como curvas cuárticas bicirculares simétricas con respecto a los ejes x e y . Las secciones espiricas pertenecen a la familia de las secciones tóricas e incluyen la familia de los hipopedeos y la familia de los óvalos de Cassini . El nombre proviene de σπειρα, que significa "toro" en griego antiguo. ^{[ 1 ]}

Una sección espiral se define a veces como la curva de intersección de un toroide y un plano paralelo a su eje de simetría rotacional . Sin embargo, esta definición no incluye todas las curvas dadas por la definición anterior, a menos que se permitan planos imaginarios .

Las secciones espiricas fueron descritas por primera vez por el geómetra griego Perseo alrededor del año 150 a. C., y se consideran las primeras secciones tóricas descritas. El nombre espirico se debe a la notación antigua spira de un toro. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Comencemos con la ecuación habitual para el toroide:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

Intercambiando y y z de modo que el eje de revolución esté ahora en el plano xy , y estableciendo z = c para hallar la curva de intersección se obtiene

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+c^{2}).\,}$

En esta fórmula, el toroide se forma al rotar un círculo de radio a cuyo centro sigue otro círculo de radio b (no necesariamente mayor que a ; se permite la autointersección). El parámetro c es la distancia desde el plano de intersección hasta el eje de revolución. No existen secciones espirales con c  > b + a , ya que no hay intersección; el plano está demasiado lejos del toroide para intersecarlo.   

Al expandir la ecuación se obtiene la forma que se ve en la definición.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f\,}$

dónde

${\displaystyle d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2}),\ e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2}),\ f=-(a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}).\,}$

En coordenadas polares esto se convierte en

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})\,}$

o

${\displaystyle r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f.}$

Las secciones espirales de un toroide fusiforme, cuyos planos intersecan el huso (parte interior), constan de una curva exterior y una curva interior (véase la imagen).

Las isópticas de elipses e hipérbolas son secciones espirales. (Véase también el enlace web The Mathematics Enthusiast ).

Algunos ejemplos son la hipopedia y el óvalo de Cassini , así como sus variantes, como la lemniscata de Bernoulli . El óvalo de Cassini posee la notable propiedad de que el producto de las distancias a dos focos es constante. En comparación, la suma es constante en las elipses , la diferencia es constante en las hipérbolas y la razón es constante en los círculos .

• Weisstein, Eric W. "Sección espiritual" . MathWorld .
• Historia de MacTutor
• Descripción de 2Dcurves.com
• Biografía de Perseo según MacTutor
• El entusiasta de las matemáticas Número 9, artículo 4

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