Polígono fundamental

En el caso de género uno, se busca un polígono convexo fundamental para la acción por traslación de Λ = Z a ⊕ Z b en R ² = C donde a y b son linealmente independientes sobre R . (Después de realizar una transformación lineal real en R ² , se puede suponer si es necesario que Λ = Z ² = Z + Z i ; para una superficie de Riemann de género uno se puede tomar que tenga la forma Λ = Z ² = Z + Z ω, con Im ω > 0.) Un dominio fundamental está dado por el paralelogramo s x + t y para 0 < s , t < 1 donde x e y son generadores de Λ.

Si C es el interior de un polígono convexo fundamental, entonces las traslaciones C + x cubren R ² cuando x recorre Λ. De ello se deduce que los puntos frontera de C están formados por intersecciones C ∩ ( C + x ). Estos son conjuntos convexos compactos en ∂ C y, por lo tanto, vértices de C o lados de C . De ello se deduce que cada lado cerrado de C puede escribirse de esta manera. Trasladando por − x se deduce que C ∩ ( C − x ) también es un lado de C . Por lo tanto, los lados de C aparecen en pares paralelos de igual longitud. Los puntos extremos de dos de estos segmentos paralelos de igual longitud pueden unirse de manera que se intersequen y la intersección ocurra en los puntos medios de los segmentos de línea que unen los puntos extremos. De ello se deduce que las intersecciones de todos estos segmentos ocurren en el mismo punto. Trasladando ese punto al origen, se deduce que el polígono es centralmente simétrico; es decir, si un punto z está en el polígono, también lo está − z .

Es fácil ver que las traslaciones de un hexágono convexo con simetría central teselan el plano. Si A es un punto del hexágono, entonces la red está generada por los vectores de desplazamiento AB y AC donde B y C son los dos vértices que no son vecinos de A y no opuestos a A. De hecho, la segunda imagen muestra cómo el hexágono es equivalente al paralelogramo obtenido al desplazar los dos triángulos cortados por los segmentos AB y AC . Igualmente bien, la primera imagen muestra otra forma de hacer coincidir un teselado por paralelogramos con el teselado hexagonal . Si el centro del hexágono es 0 y los vértices en orden son a , b , c , −a , −b y −c , entonces Λ es el grupo abeliano con generadores a + b y b + c .

Se pueden crear exactamente cuatro topologías identificando los lados de un rombo de diferentes maneras. Estas se muestran a continuación como aristas direccionales A y B en un cuadrado, ya sea como secuencias AABB o ABAB.

El teorema de Fedorov , establecido por el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov en 1891, afirma que los paralelogramos y los hexágonos con simetría central son los únicos polígonos convexos que son dominios fundamentales. ^{[ 4 ]} Hay varias demostraciones de esto, algunas de las más recientes relacionadas con resultados en teoría de la convexidad , geometría de números y empaquetamiento de círculos , como la desigualdad de Brunn-Minkowski . ^{[ 5 ]} Aquí se presentarán dos demostraciones elementales debidas a HSM Coxeter y Voronoi . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

La demostración de Coxeter procede asumiendo que existe un polígono convexo con simetría central C con 2 m lados. Entonces, un gran paralelogramo cerrado formado por N ² paralelogramos fundamentales se teseló mediante traslaciones de C que van más allá de las aristas del gran paralelogramo. Esto induce un teselado en el toro C / N Λ. Sean v , e y f el número de vértices, aristas y caras en este teselado (teniendo en cuenta las identificaciones en el espacio cociente). Entonces, debido a que la característica de Euler-Poincaré de un toro es cero,

${\displaystyle v-e+f=0.}$

Por otro lado, dado que cada vértice está en al menos 3 aristas diferentes y cada arista está entre dos vértices,

${\displaystyle 3v\leq 2e.}$

Además, puesto que cada arista está en exactamente dos caras,

${\displaystyle 2e=2mf.}$

Por eso

${\displaystyle mf=e\leq 3(ev)=3f.}$

de modo que

${\displaystyle m\leq 3,}$

según sea necesario.

La demostración de Voronoi comienza con la observación de que cada arista de C corresponde a un elemento x de Λ. De hecho, la arista es la bisectriz ortogonal del radio desde 0 hasta x . Por lo tanto, el pie de la perpendicular desde 0 a cada arista se encuentra en el interior de cada arista. Si y es cualquier punto de la red, entonces 1/2 y no puede estar en C ; porque si lo estuviera, –1/2 y también estaría en C , lo que contradice que C sea un dominio fundamental para Λ. Sean ± x ₁ , ..., ± x _m los 2 m puntos distintos de Λ correspondientes a lados de C. Fijemos los generadores a y b de Λ. Así, x _i = α _i a + β _i b , donde α _i y β _i son enteros. No es posible que tanto α _i como β _i sean pares, ya que de lo contrario ± 1/2 x _i sería un punto de Λ en un lado, lo que contradice que C sea un dominio fundamental. Así pues, existen tres posibilidades para el par de enteros (α _i , β _i ) módulo 2: (0,1), (1,0) y (1,1). En consecuencia, si m > 3, habría x _i y x _j con i ≠ j con ambas coordenadas de x _i − x _j pares, es decir, 1/2 ( x _i + x _j ) se encuentra en Λ. Pero este es el punto medio del segmento de línea que une dos puntos interiores de aristas y, por lo tanto, se encuentra en C , el interior del polígono. Esto contradice de nuevo el hecho de que C es un dominio fundamental. Así pues, por reducción al absurdo, m ≤ 3, como se afirma.

Para una red Λ en C = R ² , se puede definir un dominio fundamental canónicamente utilizando la estructura conforme de C . Nótese que el grupo de transformaciones conformes de C viene dado por transformaciones afines complejas g ( z ) = az + b con a ≠ 0 . Estas transformaciones conservan la métrica euclidiana d ( z , w ) = | z − w | salvo un factor, además de conservar la orientación . Es el subgrupo del grupo de Möbius que fija el punto en ∞. La estructura métrica se puede utilizar para definir un dominio fundamental canónico mediante C = { z : d ( z , 0) < d ( z , λ ) para todo λ ≠ 0 en Λ}. (Es obvio por la definición que es un dominio fundamental). Este es un ejemplo de un dominio de Dirichlet o diagrama de Voronoi : dado que las traslaciones complejas forman un grupo abeliano, por lo que conmutan con la acción de Λ, estos conceptos coinciden. El dominio fundamental canónico para Λ = Z + Z ω con Im ω > 0 es un paralelogramo convexo simétrico o un hexágono con centro 0. Por equivalencia conforme, el período ω puede restringirse aún más para satisfacer | Re ω | ≤ 1/2 y | ω | ≥ 1 . Como mostró Dirichlet ("Teorema del hexágono de Dirichlet", 1850), para casi todo ω el dominio fundamental es un hexágono. Para Re ω > 0 , los puntos medios de los lados están dados por ±1/2, ± ω /2 y ±( ω – 1)/2 ; Los lados bisecan los radios correspondientes desde 0 ortogonalmente, lo que determina completamente los vértices. De hecho, el primer vértice debe tener la forma (1 + ix )/2 y ω (1 + iy )/2 con x e y reales; por lo tanto, si ω = a + ib , entonces a – by = 1 y x = b+ ay . Por lo tanto, ^y = ( a – 1)/ b y x = ( a² + b² ^– a )/ b . Los seis vértices son, por consiguiente, ± ω ( 1 – iy )/2 y ±(1 ± ix )/2 . ^{[ 8 ]}

Cada superficie de Riemann compacta X tiene una superficie de recubrimiento universal que es una superficie de Riemann simplemente conexa X . El grupo fundamental de X actúa como transformaciones de cubierta de X y puede identificarse con un subgrupo Γ del grupo de biholomorfismos de X . El grupo Γ actúa libremente sobre X con espacio cociente compacto X /Γ, que puede identificarse con X . Así, la clasificación de superficies de Riemann compactas puede reducirse al estudio de posibles grupos Γ. Por el teorema de uniformización, X es la esfera de Riemann, el plano complejo o el disco unitario/semiplano superior. El primer invariante importante de una superficie de Riemann compacta es su género , un invariante topológico dado por la mitad del rango del grupo abeliano Γ/[Γ, Γ] (que puede identificarse con el grupo de homología H ₁ ( X , Z ) ). El género es cero si el espacio de recubrimiento es la esfera de Riemann; uno si es el plano complejo; y mayor que uno si se trata del disco unitario o del semiplano superior. ^{[ 9 ]}

Los bihomolomorfismos de la esfera de Riemann son simplemente transformaciones de Möbius complejas, y toda transformación no identidad tiene al menos un punto fijo, ya que la matriz compleja correspondiente siempre tiene al menos un vector propio distinto de cero. Por lo tanto, si X es la esfera de Riemann, entonces X debe ser simplemente conexa y biholomorfa a la esfera de Riemann, la superficie de Riemann de género cero . Cuando X es el plano complejo, el grupo de biholomorfismos es el grupo afín, las transformaciones de Möbius complejas fijan ∞, por lo que las transformaciones g ( z ) = az + b con a ≠ 0. Las transformaciones no identidad sin puntos fijos son simplemente aquellas con a = 1 y b ≠ 0 , es decir, las traslaciones distintas de cero. El grupo Γ puede identificarse así con una red Λ en C y X con un cociente C /Λ, como se describe en la sección sobre polígonos fundamentales de género uno. En el tercer caso, cuando X es el disco unitario o el semiplano superior, el grupo de biholomorfismos consiste en las transformaciones de Möbius complejas que fijan el círculo unitario o el eje real. En el primer caso, las transformaciones corresponden a elementos del grupo SU(1, 1)/{± I }; en el segundo caso, corresponden a transformaciones de Möbius reales, es decir, elementos de SL(2, R )/{± I }. ^{[ 9 ]}

El estudio y la clasificación de los posibles grupos Γ que actúan libremente sobre el disco unitario o el semiplano superior con cociente compacto —los grupos fuchsianos de primera especie— se pueden realizar estudiando sus polígonos fundamentales, como se describe a continuación. Como observó Poincaré , cada uno de estos polígonos posee propiedades especiales: es convexo y tiene un emparejamiento natural entre sus lados. Estas propiedades no solo permiten recuperar el grupo, sino que también proporcionan una representación explícita del mismo mediante generadores y relaciones. Por el contrario, Poincaré demostró que cualquier polígono de este tipo da lugar a una superficie de Riemann compacta; de hecho, el teorema del polígono de Poincaré se aplicaba a polígonos más generales, donde se permitía que el polígono tuviera vértices ideales, pero su demostración solo era completa en el caso compacto, sin dichos vértices. Sin suposiciones sobre la convexidad del polígono, Maskit y de Rham dieron demostraciones completas , basadas en una idea de Siegel , y se pueden encontrar en Beardon (1983) , Iversen (1992) y Stillwell (1992) . Carathéodory dio un tratamiento elemental de la existencia de teselaciones por triángulos de Schwarz , es decir, recubrimientos por triángulos geodésicos con ángulos π / a , π / b , π / c con suma menor que π, donde a , b , c son enteros. Cuando todos los ángulos son iguales a π /2g , esto establece el recubrimiento por polígonos hiperbólicos regulares de 4g lados y, por lo tanto _, la existencia de una superficie de Riemann compacta particular de género g como espacio cociente. Este ejemplo especial, que tiene un grupo cíclico _Z2g de simetrías bihomolomorfas, se utiliza en el desarrollo que sigue. ^{[ 9 ]}

La clasificación, salvo homeomorfismo y difeomorfismo, de superficies de Riemann compactas implica la clasificación de 2-variedades cerradas orientables , también salvo homeomorfismo y difeomorfismo: cualesquiera dos 2-variedades con el mismo género son difeomorfas. De hecho, utilizando una partición de la unidad, toda 2-variedad cerrada orientable admite una métrica riemanniana . Para una superficie de Riemann compacta, también se puede introducir una métrica conforme, de modo que en coordenadas holomorfas la métrica toma la forma ρ ( z ) | dz | ² . Una vez elegida esta métrica, las aplicaciones localmente biholomorfas son precisamente difeomorfismos que preservan la orientación y que son conformes, es decir, escalan la métrica mediante una función suave. La existencia de coordenadas isotérmicas —que puede demostrarse mediante teoremas de existencia local para el laplaciano o la ecuación de Beltrami— muestra que a toda 2-variedad riemanniana cerrada y orientada se le puede asignar una estructura compleja compatible con su métrica, y por lo tanto posee la estructura de una superficie de Riemann compacta. Esta construcción demuestra que la clasificación de 2-variedades cerradas y orientables, salvo difeomorfismo u homeomorfismo, puede reducirse al caso de superficies de Riemann compactas. ^{[ 10 ]}

La clasificación de superficies de Riemann compactas, hasta homeomorfismo y difeomorfismo, puede realizarse utilizando el polígono fundamental. De hecho, como observó Poincaré, los polígonos fundamentales convexos para superficies de Riemann compactas H /Γ pueden construirse adaptando el método de Dirichlet del espacio euclidiano al espacio hiperbólico. Siguiendo a Nevanlinna y Jost, el dominio fundamental puede modificarse por etapas para obtener un polígono no convexo con vértices situados en una única órbita de Γ y lados geodésicos a trozos. La relación de emparejamiento de los lados también se modifica en cada una de estas etapas. Cada etapa implica cortar el polígono mediante un segmento geodésico diagonal en su interior y reconstruirlo utilizando una de las transformaciones de Möbius implicadas en el emparejamiento. No puede haber dos lados emparejados con un vértice común en la relación de emparejamiento final, que satisface propiedades similares a la relación original. Este polígono puede, a su vez, modificarse sucesivamente reconstruyéndolo tras cortarlo mediante un segmento geodésico diagonal a trozos en su interior. El polígono final tiene 4 vértices equivalentes g , con lados que son geodésicos por partes. Los lados están etiquetados por los elementos del grupo que dan la transformación de Möbius al lado pareado. El orden de etiquetado es

${\displaystyle a_{1},b_{1},a_{1}^{-1},b_{1}^{-1},\dots ,a_{g},b_{g},a_{g}^{-1},b_{g}^{-1},}$

de modo que Γ se genera mediante a _i y b _i sujetos a la única relación

${\displaystyle a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\cdots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}=1.}$

• 
  Superficie de género cero (esfera)
• 
  Superficie de género uno (toroide)
• 
  Superficie del género dos
• 
  Superficie del género tres

Utilizando la teoría de los números de intersección , se deduce que la forma obtenida al unir vértices mediante geodésicas es también un polígono propio, no necesariamente convexo, y es también un dominio fundamental con los mismos elementos del grupo que dan el emparejamiento. Esto produce un polígono fundamental con aristas dadas por segmentos geodésicos y con el etiquetado estándar. La abelianización de Γ, el grupo cociente Γ/[Γ, Γ] , es un grupo abeliano libre con 2 g generadores. Por lo tanto, el género g es un invariante topológico. Es fácil ver que dos superficies de Riemann con el mismo género son homeomorfas ya que como espacio topológico se obtienen al identificar lados de un polígono de 4 g lados —un polígono euclidiano en el modelo de Klein— mediante difeomorfismos entre lados emparejados. ^{[ 11 ]} La aplicación de esta construcción al polígono regular de 4 g lados permite ver la superficie de Riemann topológicamente como una rosquilla con g agujeros, la descripción estándar de superficies orientadas en textos introductorios sobre topología. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Existen varios resultados adicionales:

• Dos superficies de Riemann homeomórficas son difeomorfas.
• Cualquier polígono fundamental convexo de género g tiene N vértices donde 4 g ≤ N ≤ 12 g – 6.
• Un polígono de Dirichlet de género g tiene exactamente 12 g – 6 vértices para un conjunto abierto denso de centros.
• Toda superficie de Riemann de género g tiene un polígono fundamental de Fricke, es decir, un polígono convexo con emparejamiento canónico entre sus lados. (El polígono no tiene por qué ser necesariamente un polígono de Dirichlet).
• Después de una normalización y etiquetado adecuados de los generadores del grupo fundamental, el polígono de Fricke se determina de forma única y los 6 g – 6 parámetros reales que lo describen pueden utilizarse como parámetros analíticos reales globales para el espacio de Teichmüller en género g .

Estos resultados están ligados a la interrelación entre los homeomorfismos y el grupo fundamental: esto refleja el hecho de que el grupo de clases de mapeo de una superficie de Riemann —el grupo de autohomomorfismos cuasiconformes de una superficie de Riemann H /Γ módulo aquellos homotópicos a la identidad— puede identificarse con el grupo de automorfismos externos de Γ (el teorema de Dehn–Nielsen–Baer ). ^{[ 14 ]} Para ver esta conexión, observe que si f es un homeomorfismo cuasiconforme de X ₁ = H /Γ ₁ sobre X ₂ = H /Γ ₂ , entonces f se eleva a un homeomorfismo cuasiconforme f de H sobre sí mismo. Esta elevación es única salvo precomposición con elementos de Γ ₁ y postcomposición con elementos de Γ ₂ . Si π _i es la proyección de H sobre X _i , entonces f ∘ π ₁ = π ₂ ∘ f y Γ _i es simplemente el grupo de homeomorfismos g de H tales que π _i ∘ g = π _i . Si se cumple que f g = θ ( g ) f para g en Γ ₁ donde θ es un isomorfismo de grupo de Γ ₁ sobre Γ ₂ . Una elección diferente de f cambia θ por composición con un automorfismo interno: tales isomorfismos se denominan equivalentes . ^{[ 15 ]}

Dos isomorfismos θ y θ ′ son equivalentes si y solo si los homeomorfismos correspondientes f y f ' son homotópicos. De hecho, basta con demostrar que un autohomeomorfismo cuasiconforme f de una superficie induce un automorfismo interno del grupo fundamental si y solo si es homotópico al mapa identidad: en otras palabras, el homomorfismo del grupo de autohomeomorfismos cuasiconformes de H /Γ en Out Γ pasa al grupo de clases de mapeo en el que es inyectivo. En efecto, supongamos primero que F ( t ) es un camino continuo de autohomeomorfismos con F (0) = id y F (1) = f . Entonces hay un levantamiento continuo F ( t ) con F (0) = id. Además, para cada g en Γ, F ( t ) ∘ g ∘ F ( t ) ⁻¹ es un elemento de Γ que varía continuamente y es igual a g para t = 0 ; por lo tanto, la discreción de Γ obliga a que este elemento sea constante y, por consiguiente, igual a g, de modo que F ( t ) conmuta con Γ, por lo que F (1) induce el automorfismo trivial. Si, por otro lado, F es una elevación cuasiconforme de f que induce un automorfismo interno de Γ, después de la composición con un elemento Γ, si es necesario, se puede suponer que F conmuta con Γ. Dado que F es cuasiconforme, se extiende a un homeomorfismo cuasisimétrico del círculo que también conmuta con Γ. Cada g ≠ id en Γ es hiperbólico, por lo que tiene dos puntos fijos en el círculo a _± tales que para todos los demás puntos z , g ^{± n} ( z ) tiende a a _± cuando n tiende a infinito. Por lo tanto, F debe fijar estos puntos; dado que estos puntos son densos en el círculo a medida que g varía, se deduce que F fija el círculo unitario. Sea μ = F _z / F _z , de modo que μ es un diferencial de Beltrami invariante en Γ. Sea F ( t ) la solución de la ecuación de Beltrami tμnormalizada para fijar tres puntos en el círculo unitario. Entonces F ( t ) conmuta con Γ y, por lo tanto, como para F = F (1) , es la identidad en el círculo unitario. Por construcción, F ( t ) es una isotopía entre la identidad y F . Esto demuestra la inyectividad. ^{[ 15 ]}

La prueba de sobreyectividad se basa en comparar la métrica hiperbólica en D con una métrica de longitud de palabra en Γ. ^{[ 16 ]} Suponiendo sin pérdida de generalidad que 0 se encuentra en el interior de un polígono fundamental convexo C y que g es un elemento de Γ, el rayo de 0 a g (0) —la geodésica hiperbólica— pasa a través de una sucesión de traslaciones de C. Cada una de estas se obtiene a partir de la anterior aplicando un generador de Γ o un producto fijo de generadores (si las traslaciones sucesivas se encuentran en un vértice). De ello se deduce que la distancia hiperbólica entre 0 y g (0) es menor que 4 g veces la longitud de palabra de g más el doble del diámetro del polígono fundamental. Por lo tanto, la métrica en Γ d ₁ ( g , h ) = L ( h ⁻¹ g ) definida por la longitud de palabra L ( g ) satisface

${\displaystyle d(g(0),h(0))\leq a\,d_{1}(g,h)+b}$

para constantes positivas a y b . Recíprocamente, existen constantes positivas c y d tales que

${\displaystyle d_{1}(g,h)\leq c\,d(g(0),h(0))+d.}$

Dado un punto${\displaystyle z_{0}}$en el semiplano superior H y un subgrupo discreto Γ de PSL(2, R ) que actúa libremente de forma discontinua en el semiplano superior, entonces se puede definir el polígono de Dirichlet como el conjunto de puntos

${\displaystyle F=\{z\in \mathbf {H} :d(z,z_{0})<d(z,gz_{0})\;\;\forall g\in \Gamma ,g\neq 1\}}$

Aquí, d es una métrica hiperbólica en el semiplano superior. El polígono fundamental métrico se denomina más comúnmente polígono de Dirichlet .

• Este polígono fundamental es un dominio fundamental .
• Este polígono fundamental es convexo en el sentido de que la geodésica que une dos puntos cualesquiera del polígono está contenida completamente dentro del mismo.
• El diámetro de F es menor o igual que el diámetro de H /Γ. En particular, el cierre de F es compacto.
• Si Γ no tiene puntos fijos en H y H /Γ es compacto, entonces F tendrá un número finito de lados.
• Cada lado del polígono es un arco geodésico .
• Para cada lado s del polígono, existe precisamente otro lado s ′ tal que gs = s ′ para algún g en Γ. Por lo tanto, este polígono tendrá un número par de lados.
• El conjunto de elementos de grupo g que unen lados entre sí son generadores de Γ (nótese, sin embargo, que este conjunto de generadores no es necesariamente mínimo).
• El semiplano superior está recubierto por el cierre de F bajo la acción de Γ. Es decir,${\displaystyle H=\cup _{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}}$dónde${\displaystyle {\overline {F}}}$es el cierre de F.

En esta sección, partiendo de un polígono de Dirichlet arbitrario, se describirá el método de Nevanlinna (1953) , desarrollado en Jost (2002) , para modificar el polígono a un polígono no convexo con 4g vértices equivalentes y un emparejamiento canónico en los lados. Este tratamiento constituye una contraparte analítica de la clasificación topológica clásica de poliedros bidimensionales orientables presentada en Seifert y Threlfall (1934) .

Dada una superficie de Riemann de género g mayor que uno, Fricke describió otro polígono fundamental, el polígono canónico de Fricke , que es un ejemplo muy especial de polígono de Dirichlet. El polígono está relacionado con la presentación estándar del grupo fundamental de la superficie. La construcción original de Fricke es compleja y se describe en Fricke y Klein (1897) . Utilizando la teoría de las aplicaciones cuasiconformes de Ahlfors y Bers , Keen (1965) proporcionó una versión nueva, más corta y precisa de la construcción de Fricke. El polígono canónico de Fricke tiene las siguientes propiedades:

• El polígono de Fricke tiene 4g vértices que se encuentran todos en una órbita de Γ. Por vértice se entiende el punto donde se unen dos lados.
• Los lados se emparejan en pares distintos, de modo que hay un elemento único de Γ que lleva un lado al lado emparejado, invirtiendo la orientación. Dado que la acción de Γ preserva la orientación, si un lado se llama${\displaystyle A}$, entonces el otro elemento del par puede marcarse con la orientación opuesta.${\displaystyle A^{-1}}$.
• Los bordes del polígono estándar se pueden organizar de manera que la lista de lados adyacentes tome la forma${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{g}B_{g}A_{g}^{-1}B_{g}^{-1}}$. Es decir, se pueden disponer pares de lados de manera que se entrelacen de esta forma.
• Los lados son arcos geodésicos.
• Cada uno de los ángulos interiores del polígono de Fricke es estrictamente menor que π , por lo que el polígono es estrictamente convexo, y la suma de estos ángulos interiores es 2π .

La construcción anterior es suficiente para garantizar que cada lado del polígono sea un bucle cerrado (no trivial) en la superficie de Riemann H /Γ. Como tal, cada lado puede ser un elemento del grupo fundamental.${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )\equiv \Gamma }$. En particular, el grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )}$tiene 2 generadores g${\displaystyle A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},\cdots A_{g},B_{g}}$, con exactamente una restricción definitoria,

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{g}B_{g}A_{g}^{-1}B_{g}^{-1}=1}$.

El género de la superficie de Riemann H /Γ es g .

El área del polígono fundamental estándar es${\displaystyle 4\pi (g-1)}$donde g es el género de la superficie de Riemann (o, equivalentemente, donde 4g es el número de lados del polígono). Dado que el polígono estándar es un representante de H /Γ, el área total de la superficie de Riemann es igual al área del polígono estándar. La fórmula del área se deriva del teorema de Gauss-Bonnet y, en cierto sentido, se generaliza mediante la fórmula de Riemann-Hurwitz .