Guía del teorema de clasificación para superficies compactas

A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces es un libro de texto de topología sobre la clasificación de superficies bidimensionales. Fue escrito por Jean Gallier y Dianna Xu , y publicado en 2013 por Springer-Verlag como el volumen 9 de su serie Geometry and Computing ( doi : 10.1007/978-3-642-34364-3 , ISBN) . 978-3-642-34363-6). El Comité de la Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de América ha recomendado su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. ^{[ 1 ]}

La clasificación de superficies (más formalmente, variedades bidimensionales compactas sin frontera) puede enunciarse de forma muy sencilla, ya que depende únicamente de la característica de Euler y la orientabilidad de la superficie. Una superficie orientable de este tipo debe ser topológicamente equivalente ( homeomorfa ) a una esfera , un toro o, más general , un cuerpo con asas , clasificado por su número de asas. Una superficie no orientable debe ser equivalente a un plano proyectivo , una botella de Klein o, más general, una superficie caracterizada por un número análogo: su número de tapas cruzadas . Para superficies compactas con frontera, la única información adicional necesaria es el número de componentes de la frontera. ^{[ 1 ]} Este resultado se presenta informalmente al comienzo del libro, como el primero de sus seis capítulos. El resto del libro presenta una formulación más rigurosa del problema, una presentación de las herramientas topológicas necesarias para demostrar el resultado y una demostración formal de la clasificación. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Otros temas de topología tratados en esta presentación incluyen complejos simpliciales , grupos fundamentales , homología simplicial y homología singular , y la conjetura de Poincaré . Los apéndices incluyen material adicional sobre incrustaciones y mapeos autointersecantes de superficies en el espacio tridimensional, como la superficie romana , la estructura de grupos abelianos finitamente generados , topología general , la historia del teorema de clasificación y el Hauptvermutung (el teorema que establece que toda superficie puede ser triangulada). ^{[ 2 ]}

Este es un libro de texto dirigido a estudiantes avanzados de pregrado o estudiantes de posgrado principiantes en matemáticas, ^{[ 2 ]} quizás después de haber completado un primer curso de topología. Se espera que los lectores del libro ya estén familiarizados con la topología general , el álgebra lineal y la teoría de grupos . ^{[ 1 ]} Sin embargo, como libro de texto, carece de ejercicios, y el crítico Bill Wood sugiere su uso para un proyecto estudiantil en lugar de para un curso formal. ^{[ 1 ]}

Muchos otros libros de texto de topología algebraica para posgrado incluyen la cobertura del mismo tema. ^{[ 4 ]} Sin embargo, al centrarse en un solo tema, el teorema de clasificación, el libro puede demostrar el resultado rigurosamente sin dejar de ser de un nivel general más bajo, ^{[ 4 ] [ 5 ]} proporcionar una mayor cantidad de intuición e historia, ^{[ 4 ]} y servir como "un recorrido motivador por las técnicas fundamentales de la disciplina". ^{[ 1 ]}

La reseñadora Clara Löh se queja de que algunas partes del libro son redundantes, y en particular que el teorema de clasificación puede demostrarse tanto con el grupo fundamental como con la homología (sin necesidad de ambos), que, por otro lado, varias herramientas importantes de la topología, incluido el teorema de Jordan-Schoenflies, no se demuestran, y que se omiten varios resultados de clasificación relacionados. ^{[ 3 ]} Sin embargo, el reseñador DV Feldman recomienda encarecidamente el libro, ^{[ 5 ]} Wood escribe «Este es un libro que me hubiera gustado tener en la escuela de posgrado», ^{[ 1 ]} y el reseñador Werner Kleinert lo llama «un texto introductorio de notable valor didáctico». ^{[ 2 ]}

• Sitio web del autor de Una guía del teorema de clasificación para superficies compactas que incluye una versión en PDF del Capítulo 1.